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莫比烏斯帶范文第1篇

說(shuō)教材

四年級(jí)學(xué)生對(duì)身邊的事物有強(qiáng)烈的好奇心和求知欲，并有一定的操作能力。依據(jù)學(xué)生的心理特點(diǎn)以及認(rèn)知發(fā)展規(guī)律，筆者確定如下的教學(xué)目標(biāo)：①學(xué)會(huì)制作莫比烏斯帶，了解莫比烏斯帶性質(zhì)以及在生活中的廣泛應(yīng)用。②初步體驗(yàn)“觀察、猜想、驗(yàn)證”解決問(wèn)題的方法，培養(yǎng)動(dòng)手操作能力。③開(kāi)拓學(xué)生數(shù)學(xué)視野，感受數(shù)學(xué)的神奇與價(jià)值，激發(fā)對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣。

教學(xué)重點(diǎn)：學(xué)會(huì)制作莫比烏斯帶，了解莫比烏斯帶的性質(zhì)。

教學(xué)難點(diǎn)：培養(yǎng)學(xué)生空間想象能力。

教學(xué)準(zhǔn)備：多媒體課件，正反兩面顏色不同的長(zhǎng)方形紙條，剪刀，雙面膠，記錄表。

“做數(shù)學(xué)”的過(guò)程

新課標(biāo)指出：教師是學(xué)生學(xué)習(xí)活動(dòng)的組織者、引導(dǎo)者與合作者。因此在本節(jié)課中，我主要采取設(shè)疑誘導(dǎo)法，引導(dǎo)發(fā)現(xiàn)法，鼓勵(lì)學(xué)生大膽猜想，動(dòng)手實(shí)踐得出結(jié)論，并用教育信息技術(shù)手段進(jìn)行輔助教學(xué)，使學(xué)生更好的了解莫比烏斯帶在生活中的應(yīng)用。

新課程提倡和凸顯“自主、合作、探究”學(xué)習(xí)，鼓勵(lì)學(xué)生在玩中學(xué)、做中學(xué)、合作中學(xué)。在本節(jié)課中主要運(yùn)用動(dòng)手操作法，自主探究法，讓學(xué)生獨(dú)立思考，合作交流“做數(shù)學(xué)”的過(guò)程，從中發(fā)現(xiàn)莫比烏斯帶奇異的性質(zhì)。

環(huán)節(jié)設(shè)計(jì)

為了有效地實(shí)現(xiàn)教學(xué)目標(biāo)，突出教學(xué)重點(diǎn)、突破難點(diǎn)，筆者設(shè)計(jì)了以下環(huán)節(jié)：

情境引入，激發(fā)興趣 新課開(kāi)始，筆者出示微視頻《聰明的執(zhí)事官》，詢(xún)問(wèn)同學(xué)們：這位聰明的執(zhí)事官是用什么方法讓小偷得到懲罰呢？這張小小的紙條里到底隱藏著什么奧秘？這樣在短時(shí)間內(nèi)激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，帶著疑問(wèn)進(jìn)入本節(jié)課的學(xué)習(xí)，也由此板書(shū)課題“莫比烏斯帶”。

揭曉謎底，動(dòng)手操作 在學(xué)生思考，說(shuō)說(shuō)自己的想法后，筆者現(xiàn)場(chǎng)演示莫比烏斯帶的制作過(guò)程，并展示結(jié)果：“農(nóng)民應(yīng)當(dāng)放掉，小偷因當(dāng)關(guān)押”，讓學(xué)生初步感受莫比烏斯帶的神奇，激發(fā)學(xué)生進(jìn)一步探究學(xué)習(xí)的興趣。

接著質(zhì)疑：莫比烏斯帶是誰(shuí)發(fā)明的？有什么特性？究竟應(yīng)該怎樣制作？讓學(xué)生帶著問(wèn)題觀看微課視頻“莫比烏斯帶的由來(lái)和制作”。學(xué)生觀看視頻后，組內(nèi)交流并匯報(bào)，教師適時(shí)板書(shū)。在確保學(xué)生都知道如何制作莫比烏斯帶基礎(chǔ)上，讓他們開(kāi)始動(dòng)手實(shí)踐，制作一個(gè)莫比烏斯帶。在學(xué)生自己動(dòng)手操作時(shí)，教師要及時(shí)巡視指導(dǎo)，確保每位學(xué)生都會(huì)做莫比烏斯帶，才能順利進(jìn)行下面的教學(xué)。

接著帶著學(xué)生一起感受一下莫比烏斯帶的特性。讓同學(xué)們拿出莫比烏斯帶，用手沿著它的邊走一走，感受莫比烏斯帶只有一條邊，再讓學(xué)生拿出筆沿著莫比烏斯帶中間的線(xiàn)畫(huà)一畫(huà)，感受它只有一個(gè)面。

通過(guò)這一環(huán)節(jié)，學(xué)生自己動(dòng)手操作，感受莫比烏斯帶的一條邊一個(gè)面的奇異特性，親身經(jīng)歷將實(shí)際問(wèn)題抽象為數(shù)學(xué)模型，并進(jìn)行解釋與應(yīng)用的過(guò)程，讓學(xué)生從中獲得數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的樂(lè)趣。

仔細(xì)觀察，應(yīng)用生活 筆者先讓學(xué)生聯(lián)系生活，找一找在哪里見(jiàn)過(guò)莫比烏斯帶。學(xué)生匯報(bào)后，教師用課件展示生活中的莫比烏斯帶：一是過(guò)山車(chē)。不少游樂(lè)園里過(guò)山車(chē)的輪套是莫比烏斯帶狀的，并且動(dòng)畫(huà)演示過(guò)山車(chē)輪套的運(yùn)動(dòng)路徑，提醒學(xué)生要學(xué)會(huì)仔細(xì)觀察生活中的事情。二是莫比烏斯爬梯。這個(gè)爬梯也只有一個(gè)面，所以我們爬在這個(gè)爬梯上會(huì)不會(huì)不知不覺(jué)爬到底，讓學(xué)生多運(yùn)動(dòng)的同時(shí)留心觀察周?chē)氖虑?。三是傳送帶。讓學(xué)生思考得出把傳送帶制成莫比烏斯圈形狀可以避免普通傳送帶單面受損的情況，使得其壽命延長(zhǎng)了整整一倍。四是垃圾回收標(biāo)志。引導(dǎo)學(xué)生感受標(biāo)志中莫比烏斯帶循環(huán)往復(fù)的幾何特征，蘊(yùn)含著永恒、無(wú)限的意義。

在這一環(huán)節(jié)，筆者根據(jù)小學(xué)生年齡特征和認(rèn)知規(guī)律，充分發(fā)揮多媒體課件的直觀作用，化抽象為具體，呈現(xiàn)了“莫比烏斯帶”的內(nèi)涵美，拓寬了學(xué)生數(shù)學(xué)視野。

小組探究，展示作品 為了繼續(xù)讓學(xué)生感受莫比烏斯帶的神奇，筆者讓學(xué)生大膽猜想用剪刀沿著莫比烏斯帶的二分之一線(xiàn)、三分之一線(xiàn)或者是四分之一線(xiàn)一直剪下去，會(huì)有什么結(jié)果？并引導(dǎo)學(xué)生動(dòng)手操作進(jìn)行驗(yàn)證。此時(shí)課件出示探究要求，讓學(xué)生有序進(jìn)行合作探究。最后小組匯報(bào)并展示作品后，教師引導(dǎo)學(xué)生回顧：發(fā)現(xiàn)在探究過(guò)程中我們往往先是提出猜想，然后通過(guò)自己動(dòng)手進(jìn)行驗(yàn)證，尋找答案，我們學(xué)習(xí)過(guò)程也是如此。

這一環(huán)節(jié)，教師引導(dǎo)學(xué)生不僅動(dòng)腦想，還要?jiǎng)邮肿?，在培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力的同時(shí)，培養(yǎng)學(xué)生解決問(wèn)題的能力，掌握一定的學(xué)習(xí)方法，使學(xué)生更好地理解數(shù)學(xué)、運(yùn)用數(shù)學(xué)，促進(jìn)學(xué)生全面和諧的發(fā)展。

莫比烏斯帶范文第2篇

2、古希臘哲學(xué)家亞里士多德（Aristotle,公元前384-322）認(rèn)為，無(wú)窮大可能是存在的，因?yàn)橐粋€(gè)有限量是無(wú)限可分的，但是無(wú)限是不能達(dá)到的。

3、12世紀(jì)，印度出現(xiàn)了一位偉大的數(shù)學(xué)家布哈斯克拉（Bhaskara），他的概念比較接近理論化的概念。

4、將8水平置放成∞來(lái)表示無(wú)窮大符號(hào)是在英國(guó)人沃利斯（John Wallis,）的論文《算術(shù)的無(wú)窮大》（1655年出版）一書(shū)中首次使用的。

莫比烏斯帶范文第3篇

關(guān)鍵詞：小學(xué)數(shù)學(xué)；實(shí)驗(yàn)教學(xué)；教育觀念；教學(xué)方法

在小學(xué)數(shù)學(xué)課程改革的熱潮中，要求我們數(shù)學(xué)教師時(shí)刻以新課程理念為指導(dǎo)，自覺(jué)改變教育觀念，創(chuàng)造性地使用教材，大力改進(jìn)教學(xué)方法，著力改革學(xué)習(xí)方式，努力促使學(xué)生得到全面、持續(xù)、和諧的發(fā)展，這是我們每位小學(xué)數(shù)學(xué)教師現(xiàn)行素質(zhì)教育下的一大使命。下面就結(jié)合自己的教學(xué)經(jīng)歷談幾點(diǎn)自己的拙見(jiàn)。

一、突出實(shí)驗(yàn)教學(xué)，促進(jìn)學(xué)生理解

蘇霍姆林斯基說(shuō)：“人的內(nèi)心深處有一種根深蒂固的需求；希望自己是發(fā)現(xiàn)者、研究者、探索者。在兒童的精神世界里，這種需求特別強(qiáng)烈?！痹谛W(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中我們要為學(xué)生提供實(shí)驗(yàn)教學(xué)的探究素材，在數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)中真正實(shí)現(xiàn)“做數(shù)學(xué)”，并在“做數(shù)學(xué)”中獲得知識(shí)、形成能力。如“圓錐體的體積”一課，為了避免學(xué)生學(xué)習(xí)圓錐的體積后，在實(shí)際運(yùn)用公式時(shí)容易把圓錐的體積=等底等高圓柱體積的三分之一中的三分之一遺漏。所以，在教學(xué)中我更突出了本課的實(shí)驗(yàn)教學(xué)，把學(xué)習(xí)的主動(dòng)權(quán)交給了學(xué)生，讓每個(gè)學(xué)生都經(jīng)歷“提出猜測(cè)―設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)―動(dòng)手操作―得出公式”的自主探究學(xué)習(xí)的過(guò)程，課堂上我讓學(xué)生拿出自己課前準(zhǔn)備好的兩個(gè)等底等高的圓柱和圓錐，深入實(shí)踐，用自己的學(xué)具驗(yàn)證自己的猜想，學(xué)生到操場(chǎng)上用圓錐裝滿(mǎn)沙子，倒入自己的圓柱中，看看幾次可以裝滿(mǎn)。在我適當(dāng)?shù)囊龑?dǎo)下，讓學(xué)生根據(jù)自己的設(shè)想自由探究等底等高的圓錐體和圓柱體體積之間的關(guān)系、圓錐體體積的計(jì)算方法。學(xué)生在實(shí)驗(yàn)教學(xué)中加深了對(duì)圓錐體和圓柱體等底、等高圓錐體體積才是圓柱體體積的三分之一的理解。

二、注重實(shí)驗(yàn)教學(xué)，豐富學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)

充分的活動(dòng)是生命成長(zhǎng)的歷程。小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，學(xué)習(xí)比較抽象的問(wèn)題或者操作性比較強(qiáng)的知識(shí)時(shí)，要注重實(shí)驗(yàn)教學(xué)，給學(xué)生提供充分的活動(dòng)、參與的機(jī)會(huì)，并讓學(xué)生在實(shí)驗(yàn)教學(xué)中自主探索、合作交流。如，在“用排水法求不規(guī)則物體的體積”的教學(xué)中，為了能讓學(xué)生認(rèn)識(shí)、驗(yàn)證，并應(yīng)用排水法測(cè)量不規(guī)則物體的體積，我深知任何一個(gè)設(shè)想都應(yīng)該通過(guò)親身的實(shí)踐去驗(yàn)證才能得到結(jié)論，才能加以應(yīng)用。因此實(shí)驗(yàn)教學(xué)更是本節(jié)課的一大重點(diǎn)，只有學(xué)生在實(shí)驗(yàn)教學(xué)中親自動(dòng)手，才能更好地理解“水面上升空間的大小即浸入水中物體體積”，進(jìn)而感悟“轉(zhuǎn)化”的數(shù)學(xué)思想，因此在科學(xué)實(shí)驗(yàn)室中我給學(xué)生準(zhǔn)備了量杯和西紅柿。在教學(xué)過(guò)程中，我首先要求學(xué)生用自己的學(xué)具去嘗試探究，學(xué)生能夠用通過(guò)觀察兩次量杯中水的刻度變化得出西紅柿的體積，很好理解用放入物體之后的水面刻度減去放入之前的水面刻度，就能得出被測(cè)物體的體積。在理解了排水法求不規(guī)則物體之后，我還給學(xué)生提供一個(gè)大的長(zhǎng)方體容器，在沒(méi)有刻度的情況下想辦法也求出西紅柿的體積。學(xué)生對(duì)于問(wèn)題解決更加感興趣了，小組內(nèi)展開(kāi)了討論，在交流中發(fā)現(xiàn)很多學(xué)生能夠測(cè)出長(zhǎng)方體容器的長(zhǎng)、寬、高，以及量出前后兩次水面的高度，最后求出了西紅柿的體積。在整個(gè)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)過(guò)程中，學(xué)生由“想象―觀察―實(shí)驗(yàn)―再實(shí)驗(yàn)”得到更深層次的理解，首腦并用，合作交流，成為數(shù)學(xué)知識(shí)問(wèn)題解決的探索者。這樣的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，使學(xué)生不但豐富了生活學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，能夠使他們的創(chuàng)新意識(shí)、實(shí)踐能力得到更好的培養(yǎng)和發(fā)展。

三、強(qiáng)化實(shí)驗(yàn)教學(xué)，放飛學(xué)生心靈

學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)應(yīng)注重強(qiáng)化學(xué)生主動(dòng)進(jìn)行觀察、實(shí)驗(yàn)、猜測(cè)、推理交流等數(shù)學(xué)活動(dòng)?，F(xiàn)如今的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，我們不僅要關(guān)注學(xué)生的學(xué)習(xí)生活經(jīng)驗(yàn)，更要通過(guò)強(qiáng)化實(shí)驗(yàn)教學(xué)來(lái)豐富學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)，幫助學(xué)生從形象思維向抽象思維過(guò)渡，從而達(dá)到再現(xiàn)數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)過(guò)程，給學(xué)生足夠的時(shí)間和空間去實(shí)驗(yàn)教學(xué)，讓學(xué)生積極參與到知識(shí)技能的建構(gòu)過(guò)程中。如“神奇的莫比烏斯帶”一課，這一節(jié)數(shù)學(xué)活動(dòng)課對(duì)于我們來(lái)說(shuō)是比較新奇的，從未接觸過(guò)，對(duì)于學(xué)生更是陌生，在教學(xué)參考書(shū)中更是少有介紹，而在教科書(shū)中有一句建議：“讓學(xué)生了解莫比烏斯帶?！焙芏嘟處熢诮虒W(xué)中就布置學(xué)生自己回去看，沒(méi)有重視本課的教學(xué)，而我在本課的教學(xué)中強(qiáng)化了實(shí)驗(yàn)教學(xué)，通過(guò)設(shè)計(jì)3個(gè)活動(dòng)環(huán)節(jié)：（1）做莫比烏斯帶，并驗(yàn)證它只有1條邊和1個(gè)面；（2）沿二分之一線(xiàn)剪開(kāi)并猜想可以剪成什么形狀，再動(dòng)手驗(yàn)證；

莫比烏斯帶范文第4篇

柏拉圖 (Plato 427-347 BC.)或者說(shuō)蘇格拉底-柏拉圖是西方哲學(xué)的一個(gè)里程碑，這正象孔子 (551-479 B.C.) 或者說(shuō)老子-孔子是中國(guó)思想（參見(jiàn)論中國(guó)思想）的一個(gè)里程碑一樣，我們雖然不是把一切都?xì)w功于他們，但是他們集成性地代表了兩種哲學(xué)的開(kāi)端和基礎(chǔ)，直至今天我們?nèi)晕闯浞值卣J(rèn)識(shí)他們的意義。對(duì)于西方哲學(xué)界來(lái)說(shuō)，柏拉圖和亞理士多德 (Aristotle 384—322B.C.)代表了西方哲學(xué)的不同的傾向，這和老子與孔子的關(guān)系相似，雖然亞理士多德是柏拉圖的學(xué)生，他們的分歧所暗示的意義也未得到充分的理解，而且人們似乎沒(méi)有注意到在孔子和柏拉圖之間存在同樣重要的或許是更深刻的關(guān)聯(lián)，盡管孔子和柏拉圖在歷史上沒(méi)有任何聯(lián)系，但歷史卻以一種超越時(shí)空的方式揭示了這樣一種互補(bǔ)性的關(guān)聯(lián)的存在。本文不是從他們各自的學(xué)說(shuō)上具體地討論他們的異同，而只是把他們作為代表來(lái)探討東西方文化思想在起源上的關(guān)聯(lián)。

1． 理念與形式

柏拉圖的“理念” (idea，eidos)具有多重含義，但基本地不是直接地指語(yǔ)言表達(dá)的概念，這個(gè)工作是由亞理士多德發(fā)展的，柏拉圖的理念最核心的意義是理想或典范，是指事物的空間形式的存在，所以在他那里理念與形式同義，這由他的著名的床的比喻 (理想國(guó)10) 可以清楚地看出，事物的理念就是事物的完美的抽象形式，而不是事物之間的抽象關(guān)系，這是理解柏拉圖的理念的一個(gè)要點(diǎn)。

理念就是絕對(duì)的形式，床的理念除了僅僅是完美的形式外，不具有任何物理性質(zhì)，這種特征正與幾何形式的純粹性一樣，比如作為幾何元素的平面是沒(méi)有厚度的，即沒(méi)有經(jīng)驗(yàn)的具體性質(zhì)，因此純粹的空間形式就是絕對(duì)性的理念，但它不是幾何畫(huà)法中的圖形，這正如柏拉圖所說(shuō)的畫(huà)家也只是對(duì)具體事物的模仿一樣，絕對(duì)的幾何形式通過(guò)幾何圖形而被表達(dá)，理念通過(guò)思想而被“回憶”，這就給沒(méi)有感性性質(zhì)、不能看到、不可捉摸的理念帶來(lái)可見(jiàn)的陽(yáng)光，光的比喻在柏拉圖的對(duì)話(huà)中是重要的，這是他遺留給西方哲學(xué)和神學(xué)重要的財(cái)富之一。具體的事物只是由于“分有”了理念而成為了可以感覺(jué)到的真實(shí)，工匠只是按照理念而制造具體的床。具體事物是千差萬(wàn)別、經(jīng)常變化的，而理念是事物完全的、純粹的、永不發(fā)生變化的形式，因此也是絕對(duì)的、永恒的，正是在這個(gè)意義上，理念具有本體意義，是一種超驗(yàn)的“存在”，柏拉圖還沒(méi)有本體與存在相區(qū)別的理解，理念的超驗(yàn)性是不可理解的，它只能存在于靈魂中，正是基于這一點(diǎn)，靈魂因理念而不朽，這就是柏拉圖靈魂不朽論的真正基石。永恒而必然的知識(shí)的本質(zhì)就是理念，在這個(gè)意義上知識(shí)是絕對(duì)的，因此作為真理的知識(shí)是先于一切經(jīng)驗(yàn)的超驗(yàn)存在，因此知識(shí)就是對(duì)理念回憶，學(xué)習(xí)無(wú)非就是回憶，這就是柏拉圖的知識(shí)回憶理論。柏拉圖以理念奠定了西方哲學(xué)的基礎(chǔ)，而他所遺留的問(wèn)題即理念作為概念的表達(dá)——共相也是西方哲學(xué)二千多年來(lái)迄今為止消化不了的公案。

2． 形式的流變

柏拉圖的形式理念最終沒(méi)有得到清晰的展開(kāi)和表達(dá)，雖然柏拉圖以對(duì)話(huà)的方式反復(fù)辯論，最關(guān)鍵的問(wèn)題是比喻無(wú)法清晰地表達(dá)理念與真實(shí)的事物之問(wèn)的過(guò)渡——“分有”，事物的理念可以在思想中被想象（回已），但無(wú)法用形式自身表達(dá)身與現(xiàn)實(shí)世界的關(guān)系，柏拉圖認(rèn)為，畫(huà)家和詩(shī)人也只是模仿具體的事物，不能表達(dá)理念自身。空間形式的表達(dá)是由幾何學(xué)實(shí)現(xiàn)的，雖然西方的幾何學(xué)在古代就有了充分的發(fā)展，但那只是靜止的幾何學(xué)（平移變換的歐氏幾何），遠(yuǎn)沒(méi)有達(dá)到對(duì)流變的形式的認(rèn)識(shí)。柏拉圖雖然可以從其它的希臘先哲中吸取關(guān)于事物的變動(dòng)不居的思想和幾何知學(xué)的知識(shí)，而且也有對(duì)幾何形式、事物屬性的變化和空間之間復(fù)雜關(guān)系的模糊認(rèn)識(shí) (蒂邁歐篇) ，但他產(chǎn)生沒(méi)有形式流變的思想，更說(shuō)不上有效的形式流變的表達(dá)方法，他始終在形式與概念之間徘徊。一直到近代拓?fù)鋷缀沃胁庞辛藢?duì)形式流變的發(fā)現(xiàn)和研究，這首先就是著名的莫比烏斯帶 (Mobius strip)，因德國(guó)數(shù)學(xué)家Ferdinand Mobius (1790-1868)而得名。取一根紙帶將其兩端扭轉(zhuǎn)180度粘接起來(lái)就是一個(gè)莫比烏斯帶：在每一個(gè)局部紙帶上都有兩個(gè)面 (陰與陽(yáng))，但對(duì)于整條紙帶來(lái)說(shuō)卻只有一個(gè)面，它簡(jiǎn)單而神奇地將陰與陽(yáng)合二為一?。▍⒁?jiàn)附圖）如果用一根可以任意拓?fù)渥冃蔚墓茏哟婕垘?，我們?nèi)钥梢詫?shí)現(xiàn)這種容器內(nèi)外(陰陽(yáng))面的粘合，但是不能把管子兩端用翻轉(zhuǎn)內(nèi)面的方法粘接起來(lái)，那樣只能得到一個(gè)像輪胎一樣的空心環(huán)，我們必須把管子的一端從管子從它自身穿入后再將兩端粘合，這就是只有一個(gè)面的克萊因瓶Klein bottle ，因德國(guó)數(shù)學(xué)家Felix Klein (1849=1925) 而得名。

莫比烏斯帶和克萊因瓶只是作為拓?fù)鋷缀蔚闹独怀浞盅芯?，作為幾何圖形的性質(zhì)它們是清晰、間單、甚至是優(yōu)美的，但人們對(duì)它的所表達(dá)的事物性質(zhì)卻迷惑不解，幾乎所有的數(shù)學(xué)家，哲學(xué)家，愛(ài)好者都對(duì)它的性質(zhì)著迷，但難于理解這種簡(jiǎn)單的幾何圖象所表達(dá)的神秘性質(zhì)：兩個(gè)面如何是一個(gè)面？一個(gè)面又如何是兩個(gè)面？它們是從形式的流變中的揭示了幾何學(xué)的哲學(xué)，用幾何學(xué)的方法表現(xiàn)了最深刻的哲學(xué)原理，這種西方哲學(xué)和幾何學(xué)所未充分了解的秘密卻在古代中國(guó)思想家中得到了充分的領(lǐng)悟。如果我們把莫比烏斯帶和克萊因瓶進(jìn)一步進(jìn)行抽象的綜合，即去掉它們的空間性質(zhì)，我們可以得到一個(gè)更加抽象的思想圖式，它就是中國(guó)太極圖 (見(jiàn)附圖) 。它抽象地表達(dá)了存在于一切事物之中的絕對(duì)性質(zhì)——陰與陽(yáng)和它們的統(tǒng)一，這就是古老的中國(guó)理念“道” 和“易”?！爸浒祝仄浜?，為天下式，常德不忒，復(fù)歸于無(wú)極?！?老子：第二十八章) 太極圖和老子的這段話(huà)的對(duì)應(yīng)性令人驚嘆，這不是圖形和語(yǔ)言的牽強(qiáng)附會(huì)，而是理念的一致。莫比烏斯帶和克萊因瓶表現(xiàn)了陰陽(yáng)的流變統(tǒng)一過(guò)程，但卻沒(méi)有產(chǎn)生表達(dá)這種思想理念的結(jié)果，因?yàn)槲鞣秸軐W(xué)中缺少這種理念，中國(guó)哲學(xué)有這種超越的思想理念，但是沒(méi)有清晰的表達(dá)方法，因?yàn)橹袊?guó)古代缺少充分發(fā)展的幾何學(xué)，只能用簡(jiǎn)單的圖式表達(dá)最透徹的哲學(xué)思想，這不是圖式的神秘，而是思想自身所具有的透視性的深邃性。借助于莫比烏斯帶和克萊因瓶，太極圖所包含的哲學(xué)思想可以被更形象地表示出來(lái)，而借助于中國(guó)思想的理念，幾何學(xué)的原理可以得到更深刻的認(rèn)識(shí)，比如對(duì)一些近代幾何的概念如非歐幾何、射影幾何、變換群等等，都可以有較好的理解，甚至對(duì)一些復(fù)雜的數(shù)學(xué)物理思想如物理空間等都可以有助于理解，實(shí)際上有一些在現(xiàn)代科學(xué)最前沿探索的學(xué)者都自覺(jué)地從中國(guó)思想理念中尋找啟示，如渾沌理論，非線(xiàn)性理論等等，或許中國(guó)思想將給予我們更深刻的東西。 3. 真、善、美之道

在柏拉圖的對(duì)話(huà)中，理念、美、真理、知識(shí)和善相互說(shuō)明，糾纏難解，但它們的基石是形式，他用美對(duì)形式進(jìn)行抽象和說(shuō)明，他用美來(lái)解釋理念 真理、知識(shí)之間的關(guān)系。理念就是事物的完美的形式，它沒(méi)有差別，沒(méi)有局部，因此它才是美的，在這個(gè)意義上，美就就是具體事物的完全形式，因此美就是對(duì)咸性事物的抽象和超越，絕對(duì)的形式就是美。但是事物之間是存在分別的，因此也存在許多理念，這樣在理念之上還有一個(gè)更高的理念，柏拉圖稱(chēng)之為善 (理想國(guó)6) “這個(gè)給予知識(shí)的對(duì)象以真理，給予知識(shí)的主體以認(rèn)識(shí)能力的東西，就是善的理念。它乃是知識(shí)和認(rèn)識(shí)中的真理的原因。真理和知識(shí)都是美的，但善的理念比這兩者更美，這也就是善的知識(shí)?！彼岳砟钸€不是最終的存在，理念通過(guò)美而被自己超越(更美)，這樣借助于美的再一次超越，柏拉圖從理念上升到最高形式——善。理念是超驗(yàn)的，它自身沒(méi)有回歸此岸之路，因此它最終只能成為屬于神的性質(zhì)的善，美不能用來(lái)說(shuō)明神，柏拉圖也無(wú)法再對(duì)善有所言說(shuō)，這樣柏拉圖的哲學(xué)就停留在不可逾越的二元分裂上。

中國(guó)的道的思想是自身變易的，表現(xiàn)為一切事物的陰陽(yáng)相對(duì)性質(zhì)和陰與陽(yáng)的超越互生上，從克萊因瓶的形象可以看到以陽(yáng)入陰和陰中生陽(yáng)的流變過(guò)程，從每一個(gè)局部看，陰陽(yáng)是明顯對(duì)立的，但從全體看，則沒(méi)有陰陽(yáng)的分別，而是合一的統(tǒng)一。所以中國(guó)思想的理念不是固化的美的形式，而是形式流變的自身，形式流變的的固化就是它的死亡，它是流變的美自身，因此太極圖也不是美的形式，雖然從圖形上看它也是美的，它蘊(yùn)含的是變化的美， 流動(dòng)的美，是思想的美，因此也就是美的自身，在這個(gè)意義上美與善是自身的同一。中國(guó)的文化精神充滿(mǎn)了自身的和諧統(tǒng)一，人與天是世間最綜合的陰陽(yáng)事物，“天人合一”正是這樣一種世間所有事物在自身的變易中超越統(tǒng)一的理念。陰陽(yáng)之道不是絕對(duì)對(duì)立的，中國(guó)思想也不是二元對(duì)立的，而是自身生生不息的超越統(tǒng)一。

真理畢竟是以知識(shí)表達(dá)的，柏拉圖的知識(shí)學(xué)說(shuō)其實(shí)不是關(guān)于事物的性質(zhì)與關(guān)系的具體知識(shí)，而是關(guān)于思想與理念的關(guān)系的見(jiàn)解，這是很多人誤解他的知識(shí)回憶說(shuō)的原因。柏拉圖所說(shuō)的回憶其實(shí)就是指思想，理念是超驗(yàn)的存在，它不能被感覺(jué)到，也不能被肉眼看到，只有思想（回憶）才能接近它，因此在他看來(lái)，知識(shí)就是對(duì)理念的回憶，我們完全可以理解工匠在制造一張床的時(shí)候是按照他思想中 (回憶) 的理念進(jìn)行的，這一點(diǎn)也不奇怪。所以理念雖然是超驗(yàn)的，但思想可以接近它，柏拉圖的回憶就是這樣一個(gè)思想接近理念的過(guò)程。理念作為真理的知識(shí)是無(wú)法最終地把握的，蘇格拉底的形象是承認(rèn)自己是無(wú)知的辯論者，他的真正的意思是說(shuō)沒(méi)有最終的知識(shí)，而只有對(duì)知識(shí)的追求，辯論和對(duì)話(huà)就是這樣一個(gè)雙方一起探求真知識(shí)的過(guò)程，因此雖然絕對(duì)的知識(shí)即理念是達(dá)不到的，但在對(duì)理念的追求中人們可以分享到理念的陽(yáng)光，柏拉圖著名的洞穴比喻的真意義正是在這里。蘇格拉底的辯論和柏拉圖的對(duì)話(huà)也就是這樣一個(gè)無(wú)限接近真理的過(guò)程。

在中國(guó)哲學(xué)中， 道的理念表現(xiàn)在世間事物的全體上，陰和陽(yáng)就是絕對(duì)的事物性質(zhì)，但不是絕對(duì)的事物，因此它不是超驗(yàn)的存在，它實(shí)現(xiàn)自己在一切事物上，但唯獨(dú)沒(méi)有自己的絕對(duì)形式——“大相無(wú)形”，在任何具體的，局部的事物上都有陰與陽(yáng)的對(duì)立，但沒(méi)有絕對(duì)的單陰與單陽(yáng)的存在，它在對(duì)立的超越中存在，它因變易而永生，人們?cè)谒枷胫邪盐账?，太極圖和八卦圖就是思想的路標(biāo)或思想的范式，這是中國(guó)哲學(xué)即中國(guó)思想最本質(zhì)的特征。當(dāng)然作為人類(lèi)對(duì)事物的知識(shí)，它有自己的發(fā)生、學(xué)習(xí)、積累的 消化的過(guò)程，這是知識(shí)在發(fā)展和積累中的更新，即知識(shí)自身的變易，這才是真正的知識(shí)自身——真理，孔子說(shuō)：“篤信好學(xué)，守死善道?！?論語(yǔ)：泰伯) 正是在不斷的學(xué)習(xí)和追求中才能得道和守道。老子強(qiáng)調(diào)柔弱、虛靜、無(wú)爭(zhēng)、溪谷等思想，這是指靜態(tài)中的流變，是“知其雄”而“守其雌”， 是孕育中的新生，克萊因瓶的的主體也是陰包陽(yáng)的瓶（杯）形，沒(méi)有陰，陽(yáng)無(wú)從可生，但陽(yáng)一但產(chǎn)生，陰就不是昔日之陰了，因此形式的流不是反復(fù)舊形式的循環(huán)，而是無(wú)時(shí)不在的更新，但是克萊因瓶作為一種固化了的形式表現(xiàn)不了這一種更高的理念，它只是流變形式死亡的軀殼，因此從西方傳統(tǒng)思想模式出發(fā)無(wú)法理解莫經(jīng)烏斯帶簡(jiǎn)單中的神秘，更不會(huì)導(dǎo)至更高層次的的流變中的更新理念，但是更加抽象的太極圖卻能指導(dǎo)人的思想活化它們，從思想中看到它的流動(dòng)和更新，這是“大象無(wú)形”的變易，是“無(wú)為而無(wú)不為”把握和再生，是“中庸”的包容、信念、等待與希望，這些偉大的思想都充分反映在中國(guó)古老的文化觀念中：道的超越，易的永恒，“湯之盤(pán)銘：荀日新，日日新，又日新?！保ù髮W(xué)）中國(guó)思想因自身徹底的超越精神而崇高，這種美常常使人感到內(nèi)心的顫栗。

莫比烏斯帶范文第5篇

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)；創(chuàng)客理念；課程載體

【中圖分類(lèi)號(hào)】G623.5 【文獻(xiàn)標(biāo)志碼】A 【文章編號(hào)】1005-6009（2017）17-0035-04

【作者簡(jiǎn)介】汪樹(shù)林，江蘇省如皋市東陳鎮(zhèn)丁北小學(xué)（江蘇如皋，226571）教科室主任，高級(jí)教師，南通市骨干教師。

在互聯(lián)網(wǎng)時(shí)代大數(shù)據(jù)、云計(jì)算背景下，以創(chuàng)新為靈魂的創(chuàng)客教育引領(lǐng)著小學(xué)數(shù)學(xué)教育教學(xué)改革與實(shí)踐。作為創(chuàng)客教育的重要載體，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)?zāi)軌蛴行Ыy(tǒng)整課程資源，實(shí)現(xiàn)跨學(xué)科、跨領(lǐng)域的知識(shí)融合和技能整合，并能幫助兒童擺脫“離身思維”，實(shí)現(xiàn)手腦結(jié)合，形成“具身認(rèn)知”。數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)將成為開(kāi)啟數(shù)學(xué)創(chuàng)客教育新動(dòng)力的引擎。

一、從“創(chuàng)客視角”看數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的課程價(jià)值

美籍匈牙利數(shù)學(xué)教育家波利亞曾經(jīng)說(shuō)過(guò)：“數(shù)學(xué)有兩個(gè)側(cè)面，一方面是歐幾里得式的嚴(yán)謹(jǐn)科學(xué)，從這方面看，數(shù)學(xué)像一門(mén)系統(tǒng)的演繹科學(xué)；另一方面，創(chuàng)造過(guò)程中的數(shù)學(xué)，看起來(lái)卻像一門(mén)實(shí)驗(yàn)性的歸納科學(xué)?！睆摹皠?chuàng)客視角”看，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)有著獨(dú)特的課程價(jià)值。

1.思想與實(shí)踐對(duì)接。

數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)是指兒童在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中所產(chǎn)生的操作性、印象性、符號(hào)性的實(shí)驗(yàn)或準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)（虛擬實(shí)驗(yàn)），它超越了純粹的“紙筆數(shù)學(xué)”，讓兒童的數(shù)學(xué)思想與數(shù)學(xué)實(shí)踐實(shí)現(xiàn)對(duì)接。例如：教學(xué)蘇教版四下《三角形三邊關(guān)系》時(shí)，筆者向每個(gè)學(xué)生提供一根長(zhǎng)15厘米的小棒，讓他們自主創(chuàng)造“結(jié)構(gòu)性素材”――將小棒分成三段。然后，讓學(xué)生嘗試圍三角形，并在圍三角形的過(guò)程中展開(kāi)自我追問(wèn)――為什么有的能?chē)?，有的圍不成？最后讓學(xué)生用表格將實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行分類(lèi)整理，使他們產(chǎn)生對(duì)“三角形三邊關(guān)系”的理性認(rèn)識(shí)。在上述實(shí)驗(yàn)中，學(xué)生的數(shù)學(xué)思想和動(dòng)手操作實(shí)現(xiàn)對(duì)接，數(shù)學(xué)思維得到提升。

2.歸納與演繹交融。

數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)開(kāi)辟了兒童“用手思考”問(wèn)題的道路，正是在動(dòng)手做的過(guò)程中，兒童的數(shù)學(xué)思維得到啟迪。在數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)中，兒童須進(jìn)行必要的凝聚――抽象和概括，須經(jīng)歷猜想、探究、嘗試與論證的過(guò)程。例如：教學(xué)蘇教版三上《兩位數(shù)除以一位數(shù)》時(shí)，筆者首先出示63÷3，讓學(xué)生用手中的小棒進(jìn)行實(shí)驗(yàn)。有的學(xué)生先將個(gè)位上的3根平均分成3份，還有的學(xué)生先將十位上的6捆平均分成3份。接著，筆者出示76÷2，學(xué)生依然是兩種分法，但已經(jīng)有學(xué)生意識(shí)到“先分十位”的方式更合理、方便。筆者接著出示42÷3，這時(shí)個(gè)位上的2不夠分，學(xué)生只能從高位開(kāi)始。學(xué)生通過(guò)實(shí)驗(yàn)理解算理后，筆者讓他們列豎式計(jì)算，由此演繹生成“兩位數(shù)除以一位數(shù)”的算法。從工具操作到表象歸納再到符號(hào)演繹，學(xué)生的實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)上升為數(shù)學(xué)的理性認(rèn)知。

3.思維與創(chuàng)造共生。

數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)是兒童數(shù)學(xué)創(chuàng)造性思維的孵化器。在數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的過(guò)程中，兒童主動(dòng)進(jìn)行觀察、想象、推理等思維過(guò)程，主動(dòng)進(jìn)行畫(huà)圖、剪拼、測(cè)量等動(dòng)手操作活動(dòng)。例如：教學(xué)綜合實(shí)踐活動(dòng)課《神奇的“莫比烏斯圈”》時(shí)，筆者首先讓學(xué)生觀察、觸摸、感知：“莫比烏斯圈”只有一個(gè)面、一條邊。然后，筆者讓學(xué)生用剪刀沿“莫比烏斯圈”的中線(xiàn)將其剪開(kāi)，學(xué)生驚奇地發(fā)現(xiàn)：剪開(kāi)后的“莫比烏斯圈”變成一個(gè)大紙環(huán)。接著讓學(xué)生進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，用剪刀沿著“莫比烏斯圈”的三等分線(xiàn)剪開(kāi)，在這一過(guò)程中，學(xué)生萌生出不少創(chuàng)造性想法：“老師，如果把磁帶做成‘莫比烏斯圈’，就不用翻面了”；“老師，如果把‘輸送帶’做成‘莫比烏斯圈’，或許能延長(zhǎng)使用壽命呢”……學(xué)生創(chuàng)意連連。最后，筆者向?qū)W生展示了迷人的“莫比烏斯建筑”和“莫比烏斯涼鞋”，進(jìn)一步激發(fā)兒童的創(chuàng)造性思維。

二、用創(chuàng)客理念反思數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)的問(wèn)題

在數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的過(guò)程中，教師應(yīng)致力于讓兒童的抽象思維與形象思維并存，感性觀察與理性認(rèn)知交織，如此，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)才能激發(fā)兒童的興趣，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)才能成為兒童的研究與探索方式。然而，當(dāng)我們用創(chuàng)客理念反思數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)時(shí)，卻發(fā)現(xiàn)了諸多問(wèn)題。

1.數(shù)學(xué)講解對(duì)實(shí)驗(yàn)操作的代替。

在實(shí)踐中，筆者發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的開(kāi)展往往蜻蜓點(diǎn)水般一帶而過(guò)，有些教師甚至將豐富生動(dòng)的“做實(shí)驗(yàn)”簡(jiǎn)化為說(shuō)實(shí)驗(yàn)、講實(shí)驗(yàn)、演實(shí)驗(yàn)。例如：教學(xué)蘇教版四上《可能性》時(shí)，有的教師為了節(jié)約課堂教學(xué)時(shí)間，將自認(rèn)為枯燥、煩瑣的摸球?qū)嶒?yàn)簡(jiǎn)化或懸置，而代之以數(shù)學(xué)講解，讓學(xué)生猜測(cè)摸球結(jié)果，然后直接出示數(shù)學(xué)家為研究“等可能性”進(jìn)行的拋硬幣實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)。如此，學(xué)生體驗(yàn)不到事件的隨機(jī)性，更談不上掌握統(tǒng)計(jì)方法、感悟概率思想。

2.數(shù)學(xué)結(jié)果對(duì)實(shí)驗(yàn)過(guò)程的僭越。

在數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)過(guò)程中，有的教師為追求實(shí)驗(yàn)結(jié)果一步到位或?qū)嶒?yàn)過(guò)程的順暢而對(duì)實(shí)驗(yàn)步驟進(jìn)行提前告知、過(guò)度預(yù)設(shè)，致使學(xué)生在數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)過(guò)程中操作簡(jiǎn)單、思維膚淺。例如：教W蘇教版五下《圓的周長(zhǎng)》時(shí)，一位教師首先出示圓周率近似數(shù)――3.14，接著讓學(xué)生實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證。于是，學(xué)生用“繞線(xiàn)法”或“滾圓法”測(cè)量出圓周長(zhǎng)，通過(guò)計(jì)算圓周長(zhǎng)和直徑的商，他們發(fā)現(xiàn)結(jié)果并不是3.14。有的學(xué)生為了迎合教師篡改或杜撰實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，有的甚至直接進(jìn)行數(shù)學(xué)計(jì)算。充滿(mǎn)樂(lè)趣的探究實(shí)驗(yàn)被教師誤導(dǎo)為驗(yàn)證實(shí)驗(yàn)，而教師對(duì)實(shí)驗(yàn)過(guò)程又缺乏具體、明確的指導(dǎo)，導(dǎo)致實(shí)驗(yàn)結(jié)果對(duì)實(shí)驗(yàn)過(guò)程的僭越。

3.實(shí)驗(yàn)操作對(duì)數(shù)學(xué)思想的輕視。

在數(shù)學(xué)“創(chuàng)客活動(dòng)”中，實(shí)驗(yàn)是數(shù)學(xué)的載體，思想是數(shù)學(xué)的靈魂，要警惕學(xué)生淪為機(jī)械的操作工。教師必須引領(lǐng)學(xué)生進(jìn)行深度的數(shù)學(xué)思考，讓他們感悟、體驗(yàn)、應(yīng)用數(shù)學(xué)思想。例如：“間隔排列”是數(shù)學(xué)經(jīng)典問(wèn)題，有的教師進(jìn)行實(shí)驗(yàn)教學(xué)時(shí)缺少對(duì)相應(yīng)學(xué)具的分組操作，忽視讓學(xué)生感悟?qū)?yīng)思想，因此學(xué)生無(wú)法理解“為什么‘兩端物體’相同，‘兩端物體’比‘中間物體’多1”，從而導(dǎo)致他們?cè)趹?yīng)用時(shí)不知所措――“到底是加1、減1還是相等呢？”

三、借創(chuàng)客教育探尋數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的“眾創(chuàng)路徑”

作為一種體驗(yàn)式學(xué)習(xí)，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)可以讓兒童在做中學(xué)，做中玩，做中研，做中創(chuàng)。在實(shí)驗(yàn)過(guò)程中，教師要努力充當(dāng)“創(chuàng)客導(dǎo)師”，營(yíng)造創(chuàng)想氛圍，打造創(chuàng)想空間，激發(fā)兒童的創(chuàng)想意識(shí)，對(duì)兒童的創(chuàng)新實(shí)驗(yàn)進(jìn)行眾扶、眾籌，讓兒童想創(chuàng)、敢創(chuàng)、能創(chuàng)。

1.從束到放，通過(guò)“對(duì)比實(shí)驗(yàn)”引發(fā)兒童的主動(dòng)之意。

在數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的過(guò)程中，教師要觸發(fā)學(xué)生主動(dòng)學(xué)習(xí)的愿望，讓他們自主建構(gòu)。教學(xué)蘇教版六下《圓錐的體積》時(shí)，很多教師直接出示結(jié)構(gòu)性素材――等底等高的圓柱和圓錐，其實(shí)，這是一種學(xué)生在教師強(qiáng)制下的“被實(shí)驗(yàn)”――學(xué)生被迫選擇圓柱且是等底等高的圓柱。教師教學(xué)時(shí)可以出示大小、形狀不同的立體模型（如長(zhǎng)方體、正方體、圓柱體、三棱柱等），讓學(xué)生自主選擇并說(shuō)明原因。

師：你們?yōu)槭裁催x擇圓柱？

生：圓柱和圓錐的底面都是圓形，便于比較。

師：這里有多種規(guī)格的圓柱和圓錐（等底不等高1組、等高不等底1組、等底等高2組、不等底不等高2組），你們選擇那種規(guī)格？

生：我選擇等底等高的圓柱和圓錐，這樣便于比較。

接著，教師可以讓學(xué)生用上述圓柱和圓錐（裝沙子、水）進(jìn)行對(duì)比實(shí)驗(yàn)。學(xué)生發(fā)現(xiàn)有3組實(shí)驗(yàn)的結(jié)果是“圓柱體積大約是圓錐體積的3倍”，其中兩組是等底等高，一組是不等底不等高。然后組織學(xué)生討論，在討論中，學(xué)生認(rèn)識(shí)到：由于沙子之間有空隙，所以用水做實(shí)驗(yàn)更科學(xué)。他們還感悟到：等底等高的圓柱和圓錐，圓柱的體積一定是圓錐的3倍；而圓柱的體積是圓錐的3倍，它們可能等底等高，也可能不等底不等高。學(xué)生還用“高瘦瘦和矮胖胖”生動(dòng)地解釋了不等底不等高這組的實(shí)驗(yàn)結(jié)果。學(xué)生充分發(fā)揮了能動(dòng)性，真正經(jīng)歷了推理圓錐體積計(jì)算公式的全過(guò)程，真正成了數(shù)學(xué)意義上的“創(chuàng)客”。

2.從迷到思，通過(guò)“模型實(shí)驗(yàn)”彰顯兒童的思維之美。

兒童在生活、學(xué)習(xí)中會(huì)產(chǎn)生許多迷思概念（即與科學(xué)概念不一致的概念），在教學(xué)中，教師可以運(yùn)用數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)點(diǎn)化兒童思維，讓兒童的思維澄清、敞亮。小學(xué)六年級(jí)數(shù)學(xué)試卷有這樣一道選擇題：一個(gè)真分?jǐn)?shù)，如果分子和分母同時(shí)加上k（k>0），所得分?jǐn)?shù)（ ）（選填>、

師：老師這兒有一杯糖水，其中糖占糖水的■，如果老師再加入k克糖，糖、糖水、含糖率分別發(fā)生了怎樣的變化？

生1：糖多了，糖水也多了。

生2：變甜了。

師：變甜了就是什么變化了？

生3：含糖率升高了。

師：現(xiàn)在你知道一個(gè)分?jǐn)?shù)的分子和分母同時(shí)加上同一個(gè)大于0的數(shù)，分?jǐn)?shù)變大的道理了嗎？

抽象的不等式問(wèn)題可以用糖水濃度實(shí)驗(yàn)來(lái)解釋?zhuān)戎庇^、形象又嚴(yán)密、深刻，學(xué)生感受到了數(shù)學(xué)的美妙與神奇。

3.從低到高，通過(guò)“模擬實(shí)驗(yàn)”呈現(xiàn)兒童的解放之趣。

數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的過(guò)程應(yīng)該成為兒童感受數(shù)學(xué)力量的過(guò)程，應(yīng)充分彰顯兒童的解放之趣。教學(xué)蘇教版三下《長(zhǎng)方形的面積》時(shí)，筆者引導(dǎo)學(xué)生做貼瓷磚的“模擬實(shí)驗(yàn)”。首先給出一張小長(zhǎng)方形紙（長(zhǎng)、寬均為整厘米數(shù)），讓學(xué)生用面積為1平方厘米的小正方形塑料片進(jìn)行拼擺，直觀感知長(zhǎng)方形紙的面積；然后出示一張大長(zhǎng)方形紙，先讓學(xué)生估計(jì)長(zhǎng)方形紙的面積，再用直尺分別量出長(zhǎng)方形紙的長(zhǎng)和寬，接著再次讓他們用面積為1平方厘米的小正方形塑料片拼擺，學(xué)生發(fā)現(xiàn)塑料片不夠拼擺了。

師：不夠拼擺怎么辦呢？

生1：可以用筆畫(huà)出空出的部分，然后數(shù)一數(shù)。

生2：可以先用小正方形塑料片擺一行，然后畫(huà)一條橫線(xiàn)，再沿著這條橫線(xiàn)向上對(duì)折。

生3：可以在頭腦中想象。

師：一定得畫(huà)滿(mǎn)、折滿(mǎn)么？有沒(méi)有更簡(jiǎn)單的方法？

生4：只要把小正方形擺在長(zhǎng)方形紙的長(zhǎng)邊和寬邊上，然后用長(zhǎng)邊上的個(gè)數(shù)乘寬邊上的個(gè)數(shù)。

生5：長(zhǎng)方形紙的長(zhǎng)邊長(zhǎng)度就是長(zhǎng)邊上小正方形的個(gè)數(shù)，寬邊長(zhǎng)度就是寬邊上小正方形的個(gè)數(shù)，所以我們只要知道長(zhǎng)方形紙的長(zhǎng)和寬，就能算出長(zhǎng)方形紙的面積。

至此，長(zhǎng)方形的面積計(jì)算公式產(chǎn)生了。教師故意設(shè)置“缺斤短兩”的工具，讓學(xué)生超越實(shí)驗(yàn)的工具理性，由自我的實(shí)踐理性邁向數(shù)學(xué)的解放理性。

4.從外到內(nèi)，通過(guò)“切片實(shí)驗(yàn)”滿(mǎn)足兒童的成長(zhǎng)之需。

數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)?zāi)茏寖和怙@的實(shí)踐操作與內(nèi)隱的數(shù)學(xué)思維有機(jī)融合，讓活動(dòng)成為外化的思維，讓思維成為內(nèi)化的活動(dòng)。正是在這個(gè)意義上，“用手思考”也可以理解為“用頭腦做”“用頭腦看”“用頭腦聽(tīng)”……如以下習(xí)題：小英像圖1這樣擺正方形，擺1個(gè)需要4根小棒，擺2個(gè)需要7根小棒，擺3個(gè)需要多少根小棒？擺10個(gè)呢？擺15個(gè)呢？100根小棒能擺多少個(gè)正方形？

教學(xué)時(shí)，筆者讓學(xué)生做“切片實(shí)驗(yàn)”，即用火柴棒擺前幾個(gè)圖形探究規(guī)律。在實(shí)驗(yàn)過(guò)程中，筆者適時(shí)介入――“擺1個(gè)正方形需要幾根火柴棒？”“擺2個(gè)正方形需要增加幾根火柴棒？”“上下看，增加幾根？”“左右看，增加幾根？”……學(xué)生用表格對(duì)操作結(jié)果進(jìn)行整理，形成“實(shí)驗(yàn)切片”。當(dāng)學(xué)生操作到第3個(gè)正方形時(shí)，筆者引導(dǎo)他們觀察，并將實(shí)驗(yàn)結(jié)果用算式進(jìn)行記錄，學(xué)生產(chǎn)生了多樣化的數(shù)學(xué)表達(dá)：

生1：4，4+3，4+3×2……

生2：1+3，1+2×3，1+3×3……

生3：2+2，4+3，6+4……

生4：1×2+2×1，1×3+2×2，1×4+2×3……

師：還需要接著擺下去嗎？

生：不用了，我們找到規(guī)律了。

數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)為數(shù)學(xué)理解提供了“外源幫助”，數(shù)學(xué)理解為數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)提供了“內(nèi)源支撐”。在數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)過(guò)程中，兒童囊覽擋僮韉墓ぞ咝岳斫庾呦虺越操作的關(guān)系性理解、創(chuàng)新性理解，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)自我的思維躍遷，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)室也成為兒童的“創(chuàng)想空間站”和“數(shù)學(xué)創(chuàng)客坊”。`

【參考文獻(xiàn)】

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