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      數(shù)學(xué)研究論文

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      數(shù)學(xué)研究論文

      數(shù)學(xué)研究論文范文第1篇

      【關(guān)鍵詞】科學(xué)哲學(xué)/數(shù)學(xué)哲學(xué)/數(shù)學(xué)哲學(xué)的革命

      【正文】

      本文有兩個(gè)互相關(guān)聯(lián)的目標(biāo):第一,對(duì)科學(xué)哲學(xué)對(duì)于數(shù)學(xué)哲學(xué)現(xiàn)展的重要影響作出綜合分析;第二,對(duì)新的研究與基礎(chǔ)主義的數(shù)學(xué)哲學(xué)進(jìn)行比較,從而清楚地指明數(shù)學(xué)哲學(xué)現(xiàn)展的革命性質(zhì)。

      一、從一些具體的研究談起

      如眾所知,由1890年至1940年的這五十年,可以被看成數(shù)學(xué)哲學(xué)研究的黃金時(shí)代:在這一時(shí)期中,弗雷格、羅素、布勞維爾和希爾伯特等,圍繞數(shù)學(xué)基礎(chǔ)問(wèn)題進(jìn)行了系統(tǒng)和深入的研究,并發(fā)展起了邏輯主義、直覺(jué)主義和形式主義等具有廣泛和深遠(yuǎn)影響的數(shù)學(xué)觀,從而為數(shù)學(xué)哲學(xué)的研究開(kāi)拓出了一個(gè)嶄新的時(shí)代,其影響也遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出了數(shù)學(xué)的范圍,特別是,基礎(chǔ)主義的數(shù)學(xué)哲學(xué)曾對(duì)維也納學(xué)派的科學(xué)哲學(xué)研究產(chǎn)生了十分重要的影響,而后者則曾在科學(xué)哲學(xué)的領(lǐng)域長(zhǎng)期占據(jù)主導(dǎo)的地位。

      然而,在四十年代以后,上述的情況發(fā)生了重要的變化。盡管邏輯主義等學(xué)派作出了極大的努力,他們的研究規(guī)劃卻都沒(méi)有能夠獲得成功,從而,在經(jīng)歷了所說(shuō)的“黃金時(shí)代”以后,數(shù)學(xué)哲學(xué)的發(fā)展就一度“進(jìn)入了一個(gè)悲觀的、停滯的時(shí)期”;與數(shù)學(xué)哲學(xué)的困境相對(duì)照,科學(xué)哲學(xué)則已逐步擺脫邏輯實(shí)證主義的傳統(tǒng)進(jìn)入了一個(gè)欣欣向榮的、新的發(fā)展時(shí)期。也正因?yàn)榇?,科學(xué)哲學(xué)的現(xiàn)展就對(duì)數(shù)學(xué)哲學(xué)家產(chǎn)生了巨大的吸引力,并對(duì)數(shù)學(xué)哲學(xué)的現(xiàn)展產(chǎn)生了十分重要的影響。

      就科學(xué)哲學(xué)對(duì)于數(shù)學(xué)哲學(xué)現(xiàn)代研究的影響而言,在最初主要是一些直接的推廣或移植。例如,作為新方向上研究工作的一個(gè)先驅(qū),拉卡托斯就曾直接把波普爾的證偽主義科學(xué)哲學(xué)推廣應(yīng)用到了數(shù)學(xué)的領(lǐng)域。盡管推廣和移植的工作是較為簡(jiǎn)單的,但這仍然依賴于獨(dú)立的分析與深入的研究,因?yàn)樵跀?shù)學(xué)與一般自然(經(jīng)驗(yàn))科學(xué)之間顯然存在有重要的質(zhì)的區(qū)別。

      為了使得由科學(xué)哲學(xué)中所吸取的觀念、概念、方法等確實(shí)有益于數(shù)學(xué)哲學(xué)的研究,最好的方法就是集中于相應(yīng)的研究問(wèn)題,也即是希望通過(guò)以科學(xué)哲學(xué)領(lǐng)域中某一(或某些)理論作為直接的研究背景以解決數(shù)學(xué)哲學(xué)中的某些基本問(wèn)題。例如,M.Hallett的論文“數(shù)學(xué)研究綱領(lǐng)方法論的發(fā)展”就以拉卡托斯的科學(xué)哲學(xué)理論,也即所謂的“科學(xué)研究綱領(lǐng)方法論”作為直接的研究背景,但Hallett在這一論文中所真正關(guān)注的則是數(shù)學(xué)的方法論問(wèn)題。因而,盡管其聲稱“希望能找到與科學(xué)研究綱領(lǐng)方法論相類似的數(shù)學(xué)發(fā)展的方法論準(zhǔn)則”,Hallett的實(shí)際工作卻與拉卡托斯的科學(xué)哲學(xué)理論表現(xiàn)出了一定的差異。特別是,由于Hallett清楚地認(rèn)識(shí)到:“數(shù)學(xué)與經(jīng)驗(yàn)科學(xué)之間的差異無(wú)疑是十分重要的”;“物理學(xué)可以依賴于不斷增加的事實(shí)性命題,但是數(shù)學(xué)中卻不存在這樣的對(duì)應(yīng)物?!币虼?,在Hallett看來(lái),相應(yīng)的科學(xué)方法論準(zhǔn)則(即新的理論能作出某些預(yù)言,這些預(yù)言并已得到了確證),就不可能被直接推廣到數(shù)學(xué)的領(lǐng)域。

      與上述的方法論原則相對(duì)照,Hallett提出,新的理論在解決非特設(shè)性的重要問(wèn)題方面的成功可以被用作判斷數(shù)學(xué)進(jìn)步的準(zhǔn)則。Hallett并指出,這一準(zhǔn)則即是對(duì)希爾伯特在先前所已明確提出的相應(yīng)思想的一種改進(jìn)。從而,這就確實(shí)不能被看成對(duì)于科學(xué)研究綱領(lǐng)方法論的直接推廣。

      在數(shù)學(xué)哲學(xué)領(lǐng)域內(nèi)我們并可看到一種不斷增長(zhǎng)的自覺(jué)性,即是關(guān)于科學(xué)哲學(xué)領(lǐng)域中的思想或理論對(duì)于數(shù)學(xué)哲學(xué)“可應(yīng)用性”或“可推廣性”的深入思考。例如,H.Mehrtens在他的論文“庫(kù)恩的理論與數(shù)學(xué):關(guān)于數(shù)學(xué)的‘新編年史’的討論”一文中,就明確提出了這樣的思想:在將庫(kù)恩的理論推廣應(yīng)用到數(shù)學(xué)時(shí),應(yīng)當(dāng)首先考慮兩個(gè)問(wèn)題:第一,“在數(shù)學(xué)中是否存在有這類東西(按指革命)?”第二,如果答案是肯定的話,“這一概念對(duì)數(shù)學(xué)編年史的研究是否有確定的、富有成果的應(yīng)用?”

      顯然,即使前一個(gè)問(wèn)題可以說(shuō)是一種直接的推廣或移植,后一問(wèn)題的解答則依賴于更為深入的分析和獨(dú)立的研究,因?yàn)?,這不僅涉及到了對(duì)庫(kù)恩理論的評(píng)價(jià),而且也直接依賴于關(guān)于應(yīng)當(dāng)如何去從事數(shù)學(xué)哲學(xué)(和數(shù)學(xué)史)研究的基本思想。

      正是從這樣的立場(chǎng)出發(fā),Mehrtens提出:“盡管(數(shù)學(xué)中)存在有可以稱之為‘革命’或‘危機(jī)’的現(xiàn)象,我對(duì)這兩個(gè)概念持否定的態(tài)度,因?yàn)?,它們并不能成為歷史研究的有利工具?!?/p>

      當(dāng)然,上述的結(jié)論并不意味著Mehrtens對(duì)庫(kù)恩的理論持完全否定的態(tài)度;恰恰相反,Mehrtens明確地指出,庫(kù)恩所提出的“范式”和“科學(xué)共同體”這兩個(gè)概念對(duì)于數(shù)學(xué)史(和數(shù)學(xué)哲學(xué))的研究有著十分重要的意義。Mehrtens寫道:“圍繞著科學(xué)共同體的社會(huì)學(xué)概念具有很大的解釋力量——在我看來(lái)——它們?yōu)閿?shù)學(xué)編年史提供了關(guān)鍵的概念?!?/p>

      上述的批判態(tài)度和深入分析顯然表明了一種獨(dú)立研究的態(tài)度,從而,與簡(jiǎn)單的推廣或移植相比,這就是一種真正的進(jìn)步。作為這種進(jìn)步的又一實(shí)例,我們還可看基切爾(P.Kitcher)的數(shù)學(xué)哲學(xué)研究。

      一般地說(shuō),基切爾在數(shù)學(xué)哲學(xué)領(lǐng)域內(nèi)的工作主要就是將庫(kù)恩的科學(xué)哲學(xué)理論推廣應(yīng)用到了數(shù)學(xué)之中,特別是,基切爾不僅由庫(kù)恩的理論中吸取了很多具體的成分,更吸取了一些重要的基本思想,即如關(guān)于科學(xué)活動(dòng)社會(huì)—文化性質(zhì)的分析等。另外,基切爾所主要關(guān)注的則是數(shù)學(xué)歷史發(fā)展的合理性問(wèn)題。例如,正是從這一立場(chǎng)出發(fā),基切爾首先考察了什么是數(shù)學(xué)變化的基本單位?;袪枌懙溃骸耙粋€(gè)首要的任務(wù),就是應(yīng)當(dāng)以關(guān)于數(shù)學(xué)變化單位的更為精確的描述去取代關(guān)于‘?dāng)?shù)學(xué)知識(shí)狀況’的模糊說(shuō)法。這一問(wèn)題與關(guān)注科學(xué)知識(shí)增長(zhǎng)的哲學(xué)家們所面臨的問(wèn)題在形式上是互相平行的。我認(rèn)為,在這兩種情形中,我們都應(yīng)借助于一個(gè)多元體,也即由多種不同成分所組成的實(shí)踐(practice)的變化,來(lái)理解知識(shí)的增長(zhǎng)。”

      在基切爾看來(lái),后者事實(shí)上也就是庫(kù)恩的“范式”概念的主要涵義。然而,基切爾在此并沒(méi)有逐一地去尋找“范式”(或“專業(yè)質(zhì)基”)的各個(gè)成分(如“符號(hào)的一般化”、“模型”、“價(jià)值觀”、“范例”等)在數(shù)學(xué)中的對(duì)應(yīng)物,而是對(duì)“數(shù)學(xué)實(shí)踐(活動(dòng))”的具體內(nèi)容作出了自己的獨(dú)立分析?;袪柼岢?,“我以為我們應(yīng)當(dāng)集中于數(shù)學(xué)實(shí)踐的變化,并把數(shù)學(xué)實(shí)踐看成是由以下五個(gè)成分所組成的:語(yǔ)言,所接受的命題,所接受的推理,被認(rèn)為是重要的問(wèn)題,和元數(shù)學(xué)觀念?!憋@然,這即是對(duì)庫(kù)恩基本思想的創(chuàng)造性應(yīng)用。

      其次,基切爾又具體地指明了若干個(gè)這樣的條件,在滿足這些條件的情況下,數(shù)學(xué)實(shí)踐的變化可被看成是合理的。從而,這也就十分清楚地表明了在基切爾與庫(kù)恩之間所存在的一個(gè)重要區(qū)別:盡管前者從庫(kù)恩那里吸取了不少有益的思想,但他所采取的是理性主義、而并非是像庫(kù)恩那樣的非理性主義立場(chǎng)。這一轉(zhuǎn)變當(dāng)然也是批判性的立場(chǎng)和獨(dú)立思考的直接結(jié)果。

      二、新方向上研究的共同特征

      盡管在新方向上工作的數(shù)學(xué)哲學(xué)家有著不同的研究背景和工作重點(diǎn),在觀念上也可能具有一定的分歧和差異;但是,從整體上說(shuō),這些工作又有著明顯的共同點(diǎn),后者事實(shí)上更為清楚地表明了來(lái)自科學(xué)哲學(xué)的重要影響。

      1.對(duì)于數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)性和擬經(jīng)驗(yàn)性的肯定

      所謂數(shù)學(xué)的經(jīng)驗(yàn)性,就其原始的意義而言,即是對(duì)數(shù)學(xué)與其它自然科學(xué)同一性(analogy,或similarity)的確認(rèn)。這一認(rèn)識(shí)事實(shí)上構(gòu)成新方向上所有工作的共同出發(fā)點(diǎn)。

      關(guān)于數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)性的斷言顯然正是對(duì)于傳統(tǒng)觀念的直接否定,即數(shù)學(xué)知識(shí)不應(yīng)被看成無(wú)可懷疑的絕對(duì)真理,數(shù)學(xué)的發(fā)展也并非數(shù)學(xué)真理在數(shù)量上的簡(jiǎn)單積累。從而,這也就如Echeverria等人所指出的,它將“數(shù)學(xué)從柏拉圖所置于的寶座上拉下來(lái)了?!?/p>

      事實(shí)上,人們?cè)鴱母鞣N不同的角度對(duì)數(shù)學(xué)與自然科學(xué)的同一性進(jìn)行了論證。諸如奎因(W.V.Quine)和普特南(H.Putnam)的“功能的同一性”,拉卡托斯的“方法論的同一性”,基切爾的“認(rèn)識(shí)論的同一性”,古德曼(N.Goodman)和托瑪茲克(T.Tymoczko)的“本體論的同一性”,A.Ibarra和T.Mormann的“結(jié)構(gòu)的同一性”,等等。另外,在筆者看來(lái),對(duì)于經(jīng)驗(yàn)性的肯定事實(shí)上也可被看成關(guān)于數(shù)學(xué)的社會(huì)—文化觀念(這是在新方向上工作的數(shù)學(xué)哲學(xué)家所普遍接受的)的一個(gè)直接結(jié)論。這就是說(shuō),如果數(shù)學(xué)與其它自然科學(xué)一樣,最終都應(yīng)被看成人類的一種創(chuàng)造性活動(dòng),并構(gòu)成了整個(gè)人類文化的一個(gè)有機(jī)組成成分,那么,數(shù)學(xué)的發(fā)展無(wú)疑就是一個(gè)包含有猜想與反駁、錯(cuò)誤與嘗試的復(fù)雜過(guò)程,而且,“數(shù)學(xué)的內(nèi)涵與改變最終是由我們的實(shí)際利益與其它科學(xué)的認(rèn)識(shí)論目標(biāo)所決定的?!?/p>

      其次,如果說(shuō)數(shù)學(xué)的經(jīng)驗(yàn)性集中地反映了數(shù)學(xué)與其它自然科學(xué)的同一性,那么,對(duì)于數(shù)學(xué)擬經(jīng)驗(yàn)性(quasi-empirical)的強(qiáng)調(diào)則就突出地表明了數(shù)學(xué)的特殊性。

      具體地說(shuō),我們?cè)诖怂婕暗闹饕沁@樣一個(gè)問(wèn)題:除去在實(shí)際活動(dòng)中的成功應(yīng)用外,就數(shù)學(xué)理論而言,是否還存在其它的判斷標(biāo)準(zhǔn)?另外,擬經(jīng)驗(yàn)的數(shù)學(xué)觀的核心就在于明確肯定了數(shù)學(xué)有自己特殊的價(jià)值標(biāo)準(zhǔn),這就是新的研究工作對(duì)于數(shù)學(xué)自身的意義,即如其是否有利于已有問(wèn)題的解決或方法的改進(jìn)等。顯然,后者事實(shí)上也就是實(shí)際數(shù)學(xué)工作者真實(shí)態(tài)度的一個(gè)直接反映。例如,美國(guó)著名數(shù)學(xué)家麥克萊恩(S.MacLane)就曾這樣寫道:“數(shù)學(xué)各個(gè)領(lǐng)域中的進(jìn)步包括兩個(gè)互補(bǔ)的方面:重要問(wèn)題的解決以及對(duì)于所獲得結(jié)果的理解。”

      由此可見(jiàn),我們就應(yīng)同時(shí)肯定數(shù)學(xué)的經(jīng)驗(yàn)性和擬經(jīng)驗(yàn)性。顯然,就本文的論題而言,這事實(shí)上也就表明了:為了在數(shù)學(xué)哲學(xué)的研究中取得實(shí)質(zhì)性的進(jìn)展,我們不僅應(yīng)當(dāng)保持頭腦的開(kāi)放性,也即應(yīng)當(dāng)努力從科學(xué)哲學(xué)中吸取更多有益的思想、概念和問(wèn)題,同時(shí)也應(yīng)高度重視數(shù)學(xué)的特殊性,即在一定程度上保持?jǐn)?shù)學(xué)哲學(xué)的相對(duì)獨(dú)立性。

      2.對(duì)于數(shù)學(xué)方法論的高度重視

      理性主義與非理性主義的長(zhǎng)期爭(zhēng)論無(wú)疑是科學(xué)哲學(xué)現(xiàn)展的一個(gè)重要特點(diǎn);與此相對(duì)照,理性主義的立場(chǎng)在數(shù)學(xué)哲學(xué)領(lǐng)域中卻似乎沒(méi)有受到嚴(yán)重的挑戰(zhàn),但是,后者并不意味著現(xiàn)已存在某種為人們所普遍接受的關(guān)于數(shù)學(xué)發(fā)展合理性的理論,恰恰相反,后一目標(biāo)的實(shí)現(xiàn)還有待于長(zhǎng)期的努力。

      然而,在這一方面確已取得了一定的進(jìn)步,特別是,相對(duì)于早期的簡(jiǎn)單“移植”而言,現(xiàn)今人們普遍地更加重視對(duì)那些源自科學(xué)哲學(xué)的概念、觀點(diǎn)和理論的分析和批判。例如,就庫(kù)恩的影響而言,人們現(xiàn)已認(rèn)識(shí)到,對(duì)于數(shù)學(xué)的社會(huì)—文化性質(zhì)的確認(rèn),并不意味著我們必須采取相對(duì)主義或非理性主義的立場(chǎng);另外,在肯定數(shù)學(xué)歷史發(fā)展合理性的同時(shí),人們也認(rèn)識(shí)到了這種發(fā)展并不能簡(jiǎn)單地被納入某一特定的模式。事實(shí)上,就如格拉斯(E.Glas)所指出的:“理性”本身也是一個(gè)歷史的概念:“‘理性’在一定程度上是社會(huì)化建構(gòu)的,……即包括有一個(gè)社會(huì)協(xié)商的過(guò)程?!睆亩?,在此所需要的就是一種辯證的綜合。例如,正是從這樣的立場(chǎng)出發(fā),格拉斯提出,我們應(yīng)對(duì)庫(kù)恩和拉卡托斯的理論進(jìn)行整合:“拉卡托斯的方法論立場(chǎng)至少應(yīng)當(dāng)用像庫(kù)恩那樣的社會(huì)和歷史的觀點(diǎn)予以補(bǔ)充和平衡。”

      值得指出的是,這種整合的立場(chǎng)事實(shí)上也就是科學(xué)哲學(xué)現(xiàn)展的一個(gè)重要特點(diǎn),特別是,這即是科學(xué)哲學(xué)領(lǐng)域中所謂的“新歷史主義學(xué)派”所采取的一個(gè)基本立場(chǎng):他們對(duì)先前的各種理論(包括理性主義與非理性主義)普遍地采取了批評(píng)的立場(chǎng),并希望能通過(guò)對(duì)立理論的整合發(fā)展出關(guān)于科學(xué)發(fā)展合理性的新理論。從而,在這一方面我們也就可以看到科學(xué)哲學(xué)對(duì)于數(shù)學(xué)哲學(xué)現(xiàn)代研究的重要影響。

      艾斯帕瑞(W.Aspray)和基切爾這樣寫道:“……數(shù)學(xué)哲學(xué)應(yīng)當(dāng)關(guān)注與那些研究人類知識(shí)其它領(lǐng)域(特別是,自然科學(xué))同一類型的問(wèn)題。例如,哲學(xué)家們應(yīng)當(dāng)考慮這樣的問(wèn)題:數(shù)學(xué)知識(shí)是如何增長(zhǎng)的?什么是數(shù)學(xué)進(jìn)步?是什么使得某一數(shù)學(xué)觀點(diǎn)(或理論)優(yōu)于其它的觀點(diǎn)(或理論)?什么是數(shù)學(xué)解釋?”特別是,“數(shù)學(xué)在其發(fā)展中是否遵循任何方法論的原則?”事實(shí)上,在艾斯帕瑞和基切爾看來(lái),如何對(duì)數(shù)學(xué)方法論作出恰當(dāng)?shù)恼f(shuō)明就構(gòu)成了在新方向上工作的數(shù)學(xué)哲學(xué)家的核心問(wèn)題。顯然,這一立場(chǎng)也是與現(xiàn)代科學(xué)哲學(xué)中對(duì)于科學(xué)方法論的高度重視完全一致的。

      3.對(duì)于數(shù)學(xué)史的強(qiáng)調(diào)

      如眾所知,對(duì)于科學(xué)史的突出強(qiáng)調(diào)也是科學(xué)哲學(xué)現(xiàn)代研究的一個(gè)重要特征。正如克倫瓦(M.Crowe)所指出的:“在庫(kù)恩以前,科學(xué)哲學(xué)長(zhǎng)期為邏輯實(shí)證主義所支配,后者認(rèn)為科學(xué)史是與他們的研究毫不相關(guān)的;但是,這種形勢(shì)現(xiàn)在已經(jīng)有了改變……科學(xué)哲學(xué)家們現(xiàn)已認(rèn)識(shí)到了歷史研究的重要性?!边@就是說(shuō),“如果沒(méi)有給予科學(xué)史應(yīng)有的重視,科學(xué)性質(zhì)的分析就是不可能的?!笨茖W(xué)哲學(xué)的上述變化對(duì)在新方向上工作的數(shù)學(xué)哲學(xué)家也產(chǎn)生了極大的影響。例如,在以上所提及的各篇論文和著作中,歷史案例的分析都占據(jù)了十分重要的位置??梢哉f(shuō)歷史方法事實(shí)上已成為數(shù)學(xué)哲學(xué)現(xiàn)代研究的基本方法之一。

      作為一種自覺(jué)的努力,我們?cè)诖诉€可特別提及以下的四部論文集:(1)由艾斯帕瑞和基切爾所編輯的HistoryandPhilsophyofModernMathematics(1988);(2)由J.Echeverria等人所編輯的TheSpaceofMathematics:Philosophical,EpistemologicalandHistoricalExploration(1992);(3)由吉利斯所編輯的RevolutioninMathematics(1992);(4)由H.Breger和E.Grosholz編輯的TheGrowthofMathematicalKnowledge(即將出版)。

      這些編輯者的一個(gè)共同特點(diǎn)是,他們不僅認(rèn)為數(shù)學(xué)方法論的任一理論都應(yīng)用歷史的案例加以檢驗(yàn),而且更大力提倡數(shù)學(xué)史家與數(shù)學(xué)哲學(xué)家的密切合作,并認(rèn)為雙方都可以從這種合作中得益匪淺。例如,Breger和Grosholz在他們的序言中這樣寫道:“這一論文集源自編輯者的這樣一個(gè)信念,即數(shù)學(xué)哲學(xué)的重要論題可以由哲學(xué)家與歷史學(xué)家的有組織對(duì)話得到啟示?!覀兿M麣v史的材料能在數(shù)學(xué)哲學(xué)家那里獲得更為深入和系統(tǒng)的應(yīng)用;同樣地,我們也希望哲學(xué)家由歷史所激發(fā)的思考能給歷史學(xué)家提供新的問(wèn)題和思想。”顯然,這種態(tài)度與傳統(tǒng)的把數(shù)學(xué)哲學(xué)與數(shù)學(xué)史絕對(duì)地分割開(kāi)來(lái)的作法是截然相反的。

      最后,我們?cè)诖诉€可提及所謂的“奠基于數(shù)學(xué)史之上的數(shù)學(xué)哲學(xué)”。具體地說(shuō),相關(guān)的數(shù)學(xué)哲學(xué)家在此所希望的就是能發(fā)展出關(guān)于數(shù)學(xué)知識(shí)的這樣一種理論,它能正確地反映數(shù)學(xué)的歷史發(fā)展,即“現(xiàn)代的數(shù)學(xué)知識(shí)是由初始的狀態(tài)經(jīng)由一系列的合理轉(zhuǎn)變得以形成的”(基切爾語(yǔ))。顯然,按照這樣的觀點(diǎn),數(shù)學(xué)史對(duì)于數(shù)學(xué)哲學(xué)的重要性就得到了進(jìn)一步的強(qiáng)化:正是前者為數(shù)學(xué)哲學(xué)的研究提供了基本的素材和最終的檢驗(yàn)。這也就是說(shuō),“數(shù)學(xué)史對(duì)于數(shù)學(xué)哲學(xué)來(lái)說(shuō),不僅不是無(wú)關(guān)的,并事實(shí)上占有核心的地位。”

      4.實(shí)際數(shù)學(xué)工作者的“活的哲學(xué)”

      應(yīng)當(dāng)指出,對(duì)于數(shù)學(xué)史的高度重視不僅直接涉及到了數(shù)學(xué)方法論的研究,而且也標(biāo)志著數(shù)學(xué)哲學(xué)研究立場(chǎng)的重要轉(zhuǎn)變。在新方向上工作的數(shù)學(xué)哲學(xué)家們幾乎一致地認(rèn)為,實(shí)際的數(shù)學(xué)活動(dòng)應(yīng)當(dāng)成為數(shù)學(xué)哲學(xué)理論研究的出發(fā)點(diǎn)和最終依據(jù)?!罢軐W(xué)沒(méi)有任何理由可以繼續(xù)無(wú)視實(shí)際的數(shù)學(xué)活動(dòng)。事實(shí)上,正是這種實(shí)踐應(yīng)當(dāng)為數(shù)學(xué)哲學(xué)提供問(wèn)題及其解決所需要的素材。”

      當(dāng)然,上述的轉(zhuǎn)變直接反映了實(shí)際數(shù)學(xué)工作者的心聲。這也就如麥克萊恩所指出的:“數(shù)學(xué)哲學(xué)應(yīng)當(dāng)建立在對(duì)于這一領(lǐng)域(按指數(shù)學(xué))中所實(shí)際發(fā)生的一切的仔細(xì)觀察之上。”

      最后,值得指出的是,艾斯帕瑞和基切爾并曾從這樣的角度對(duì)數(shù)學(xué)方法論研究的意義進(jìn)行了分析。他們這樣寫道:“如果我們具有了這樣的原則,歷史學(xué)家就可以此為依據(jù)對(duì)實(shí)際歷史與理想狀況之間的差距作出研究,從而發(fā)現(xiàn)這樣的有趣情況,在其間由于某些外部力量造成了對(duì)于方法論的偏離。另外,數(shù)學(xué)家們則可能會(huì)發(fā)現(xiàn)以下的研究具有一定的啟示意義,即他們所選擇的研究領(lǐng)域是如何由過(guò)去的數(shù)學(xué)演變而生成的,某些方法論的原則又如何在核心概念的更新中始終發(fā)揮了特別重要的作用。并非言過(guò)其實(shí)的是,這些答案……—還可能對(duì)數(shù)學(xué)家關(guān)于各種研究途徑合理性及某些觀念意義的爭(zhēng)論起到一定的啟發(fā)作用?!憋@然,這一認(rèn)識(shí)與現(xiàn)代科學(xué)哲學(xué)中對(duì)于方法論的強(qiáng)調(diào)是完全一致的。

      三、數(shù)學(xué)哲學(xué)的革命

      從整體上說(shuō),與先前的基礎(chǔ)主義數(shù)學(xué)哲學(xué)相比,新方向上的研究無(wú)論就基本的數(shù)學(xué)觀,或是就研究問(wèn)題、研究方法和基本的研究立場(chǎng)而言,都已發(fā)生了十分重要的變化。我們就可以說(shuō),數(shù)學(xué)哲學(xué)已經(jīng)歷了一場(chǎng)深刻的革命。

      1.研究立場(chǎng)的轉(zhuǎn)移,即由與實(shí)際數(shù)學(xué)活動(dòng)的嚴(yán)重分離轉(zhuǎn)移到了與它的密切結(jié)合。

      由于深深地沉溺于對(duì)已有的數(shù)學(xué)理論和方法可靠性的疑慮或不安,因此,邏輯主義等學(xué)派在基礎(chǔ)研究中普遍地采取了“批判和改造”的立場(chǎng),即都認(rèn)為應(yīng)當(dāng)對(duì)已有的數(shù)學(xué)理論和方法進(jìn)行嚴(yán)格的批判或?qū)彶?,并通過(guò)改造或重建以徹底解決數(shù)學(xué)的可靠性問(wèn)題。從而,基礎(chǔ)主義的數(shù)學(xué)哲學(xué)主要地就是一種規(guī)范性的研究,而也正因?yàn)榇?,基礎(chǔ)研究在整體上就暴露出了嚴(yán)重脫離實(shí)際數(shù)學(xué)活動(dòng)的弊病。

      與此相對(duì)照,在新方向上工作的數(shù)學(xué)哲學(xué)家普遍采取了相反的立場(chǎng),即是認(rèn)為數(shù)學(xué)哲學(xué)應(yīng)當(dāng)成為實(shí)際數(shù)學(xué)工作者的“活的哲學(xué)”,也即應(yīng)當(dāng)“真實(shí)地反映當(dāng)我們使用、講授、發(fā)現(xiàn)或發(fā)明數(shù)學(xué)時(shí)所作的事”(赫斯語(yǔ))。顯然,基本立場(chǎng)的上述轉(zhuǎn)移事實(shí)上也就意味著數(shù)學(xué)哲學(xué)性質(zhì)的重要改變:這已不再是實(shí)際數(shù)學(xué)工作者所必須遵循的某些先驗(yàn)的、絕對(duì)的教條。

      2.對(duì)于數(shù)學(xué)史的高度重視。

      由于邏輯主義等學(xué)派所關(guān)注的主要是數(shù)學(xué)的邏輯重建,因此,在這些學(xué)派看來(lái),數(shù)學(xué)的真實(shí)歷史就不具有任何的重要性,或者說(shuō)即是與數(shù)學(xué)的哲學(xué)分析完全不相干的,而數(shù)學(xué)哲學(xué)家所唯一應(yīng)當(dāng)重視的則就是邏輯分析的方法。

      與基礎(chǔ)主義者的上述作法相對(duì)立,在新方向上工作的數(shù)學(xué)哲學(xué)家則普遍地對(duì)數(shù)學(xué)史給予了高度的重視。例如,這就正如Echeverria等人所指出的:“對(duì)于數(shù)學(xué)活動(dòng)的歷史和社會(huì)層面的關(guān)注清楚地表明了‘新’的數(shù)學(xué)哲學(xué)與傳統(tǒng)的新弗雷格主義傾向的區(qū)別,而后者在本世紀(jì)前半葉曾在這一學(xué)科中占據(jù)支配的地位?!憋@然,這事實(shí)上也就可以被看成上述的基本立場(chǎng)的一個(gè)直接表現(xiàn)。

      更為一般地說(shuō),人們并逐步確立了這樣的認(rèn)識(shí):“沒(méi)有數(shù)學(xué)史的數(shù)學(xué)哲學(xué)是空洞的;沒(méi)有數(shù)學(xué)哲學(xué)的數(shù)學(xué)史是盲目的?!保ɡㄍ兴拐Z(yǔ))這不僅標(biāo)志著方法論的重要變革,而且也為深入開(kāi)展數(shù)學(xué)哲學(xué)(和數(shù)學(xué)史)的研究指明了努力的方向。

      3.研究問(wèn)題的轉(zhuǎn)移。

      由于對(duì)已有的數(shù)學(xué)理論和方法可靠性的極大憂慮構(gòu)成了邏輯主義等學(xué)派的基礎(chǔ)研究工作的共同出發(fā)點(diǎn),因此,基礎(chǔ)主義的數(shù)學(xué)哲學(xué)主要地就是圍繞所謂的“數(shù)學(xué)基礎(chǔ)問(wèn)題”展開(kāi)的。這也就是指:如何為數(shù)學(xué)奠定可靠的基礎(chǔ),從而徹底地解決數(shù)學(xué)的可靠性問(wèn)題?

      與此相對(duì)照,現(xiàn)代的數(shù)學(xué)哲學(xué)家一般不再關(guān)心數(shù)學(xué)的可靠性問(wèn)題,而這事實(shí)上也就是數(shù)學(xué)工作者實(shí)際態(tài)度的直接反映。這就正如斯坦納(M.Steiner)等人所指出的,這是數(shù)學(xué)哲學(xué)研究的一個(gè)明顯和無(wú)可辯駁的出發(fā)點(diǎn),即人們具有一定的數(shù)學(xué)知識(shí),這些數(shù)學(xué)知識(shí)并已獲得了證實(shí),從而就是可靠的。

      對(duì)于力圖為實(shí)際數(shù)學(xué)工作者建立“活的哲學(xué)”的數(shù)學(xué)哲學(xué)家來(lái)說(shuō),數(shù)學(xué)哲學(xué)研究的核心問(wèn)題無(wú)疑就在于:如何對(duì)數(shù)學(xué)(活動(dòng))作出合理的解釋?托瑪茲克說(shuō):“數(shù)學(xué)哲學(xué)始于這樣的思考,即是如何為數(shù)學(xué)提供一般的解釋,也即提供一種能揭示數(shù)學(xué)本質(zhì)特性并對(duì)人們?nèi)绾文軌驈氖聰?shù)學(xué)活動(dòng)作出解釋的綜合觀點(diǎn)。”顯然,這也就表明了,方法論的問(wèn)題何以會(huì)在數(shù)學(xué)哲學(xué)的現(xiàn)代研究中占據(jù)特別重要的位置。

      4.動(dòng)態(tài)的、經(jīng)驗(yàn)和擬經(jīng)驗(yàn)的數(shù)學(xué)觀對(duì)于靜態(tài)的、絕對(duì)主義的數(shù)學(xué)觀的取代。

      盡管邏輯主義等學(xué)派對(duì)什么是數(shù)學(xué)的最終基礎(chǔ)有著不同的看法,但是,從總體上說(shuō),他們所體現(xiàn)的又都可以說(shuō)是一種靜態(tài)的、絕對(duì)主義的數(shù)學(xué)觀,因?yàn)椋麄兌枷M芡ㄟ^(guò)自己的工作為數(shù)學(xué)奠定一個(gè)“永恒的、可靠的基礎(chǔ)”,這樣,數(shù)學(xué)的進(jìn)一步發(fā)展也就可以被看成無(wú)可懷疑的真理在數(shù)量上的單純積累。

      如果說(shuō)靜態(tài)的、絕對(duì)主義的數(shù)學(xué)觀在基礎(chǔ)主義的數(shù)學(xué)哲學(xué)中占據(jù)了主導(dǎo)的地位,那么,由于把著眼點(diǎn)轉(zhuǎn)移到了實(shí)際的數(shù)學(xué)活動(dòng),人們現(xiàn)已不再把數(shù)學(xué)的發(fā)展看成是無(wú)可懷疑的真理在數(shù)量上的簡(jiǎn)單積累;與此相反,作為人類的一種創(chuàng)造性活動(dòng),數(shù)學(xué)發(fā)展顯然是一個(gè)包含有猜測(cè)、錯(cuò)誤和嘗試、證明和反駁、檢驗(yàn)與改進(jìn)的復(fù)雜過(guò)程,并依賴于個(gè)體與群體的共同努力。從而,這種動(dòng)態(tài)的、經(jīng)驗(yàn)和擬經(jīng)驗(yàn)的數(shù)學(xué)觀就已逐漸取代傳統(tǒng)的靜態(tài)的和絕對(duì)主義的數(shù)學(xué)觀在這一領(lǐng)域中占據(jù)了主導(dǎo)的地位。

      綜上可見(jiàn),相對(duì)于基礎(chǔ)主義而言,現(xiàn)代的數(shù)學(xué)哲學(xué)無(wú)論就研究問(wèn)題、研究方法,或是就研究的基本立場(chǎng)和主要觀念而言,都已發(fā)生了質(zhì)的變化。因而,我們可以明確地?cái)嘌裕涸跀?shù)學(xué)哲學(xué)的現(xiàn)展中已經(jīng)發(fā)生了革命性的變化。由于所有這些變化都與來(lái)自科學(xué)哲學(xué)的影響有著十分緊密的聯(lián)系,因此,這也就最為清楚地表明了這種影響對(duì)于數(shù)學(xué)哲學(xué)現(xiàn)展的特殊重要性。

      【參考文獻(xiàn)】

      1.M.Hallett,"TowardsaTheoryofMathematicalResearchProgrammes",inTheBritishJournalforPhilosophyofScience,30[1979],p.2

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      3.P.Kitcher,"MathematicalNaturalism",inHistoryandPhilsophyofModernMathematics,ed.byW.Aspray&P.Kitcher,UniversityofMinnesotaPress,1988,p.299,315

      數(shù)學(xué)研究論文范文第2篇

      例1(湖南湘潭市)如圖1,將一副七巧板拼成一只小貓,則下圖中∠AOB=.

      解析觀察發(fā)現(xiàn)這里正方形內(nèi)的七巧板有5塊是等腰直角三角形,1塊正方形和1塊銳角為45°的平行四邊形。利用數(shù)字標(biāo)出組成正方形和小貓的七巧板之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系,如圖2所示,∠AOB內(nèi)部的兩塊是等腰直角三角形,則∠AOB=90°.

      例2(湖北荊門市)用四個(gè)全等的矩形和一個(gè)小正方形拼成如圖3所示的大正方形,已知大正方形的面積是144,小正方形的面積是4,若用x,y表示矩形的長(zhǎng)和寬(x>y),則下列關(guān)系式中不正確的是()

      (A)x+y=12.(B)x-y=2.(C)xy=35.(D)x+y=144.

      解析觀察拼圖3可發(fā)現(xiàn):大正方形的邊長(zhǎng)是矩形的長(zhǎng)和寬之和;小正方形的邊長(zhǎng)是矩形的長(zhǎng)和寬之差.由大正方形的面積是144可知其邊長(zhǎng)是12,即x+y=12①;由小正方形的邊長(zhǎng)是4可知其邊長(zhǎng)是2,即x-y=2②,因此選項(xiàng)A和B的關(guān)系式均正確.解①、②得x=7,y=5.因此:xy=35,x+y=74.所以答案為選擇D.

      點(diǎn)評(píng)例1、例2的拼圖試題在教材中是具有相應(yīng)原型的,這里改編成中考試題可謂老樹(shù)發(fā)新枝。事實(shí)上學(xué)生若能認(rèn)真觀察圖形的本身特點(diǎn)進(jìn)而找到相應(yīng)數(shù)量關(guān)系,準(zhǔn)確解答并不是件難事。

      2與多邊形、圓相結(jié)合,注重考察學(xué)生對(duì)幾何性質(zhì)的綜合運(yùn)用.

      例3(陜西省)如圖4,梯形ABCD中,AB∥CD,∠ADC+∠BCD=90°,且DC=2AB,分別以DA、AB、BC為邊向梯形外作正方形,其面積分別為S1、S2、S3,則S1、S2、S3之間的關(guān)系是.

      解析此題中所求三個(gè)正方形的面積S1、S2、S3之間的關(guān)系實(shí)質(zhì)是求梯形ABCD的兩個(gè)腰長(zhǎng)及上底邊邊長(zhǎng)

      三者的平方關(guān)系.可利用梯形的高來(lái)建立橋梁

      作用.如圖5,分別過(guò)點(diǎn)

      A、B做AEDC,BFDC,

      垂足分別為E、F.設(shè)

      梯形ABCD的高為h,

      AB=a,DE=x,則DC=2a,FC=a-x.由于∠ADC+∠BCD=90°,可證得AED∽CFB,有h2=ax-x.S1=AD2=h2+x2=ax,S2=a2,S3=BC2=h2+(a-x)2=a2-ax.因此:S1+S3=S2.

      例4(江蘇南通市)在一次數(shù)學(xué)探究性學(xué)習(xí)活動(dòng)中,某學(xué)習(xí)小組要制作一個(gè)圓錐體模型,操作規(guī)則是:在一塊邊長(zhǎng)為16cm的正方形紙片上剪出一個(gè)扇形和一個(gè)圓,使得扇形圍成圓錐的側(cè)面時(shí),圓恰好是該圓錐的底面.他們首先設(shè)計(jì)了如圖6所示的方案一,發(fā)現(xiàn)這種方案不可行,于是他們調(diào)整了扇形和圓的半徑,設(shè)計(jì)了如圖7所示的方案二.(兩個(gè)方案的圖中,圓與正方形相鄰兩邊及扇形的弧均相切.方案一中扇形的弧與正方形的兩邊相切)

      (1)請(qǐng)說(shuō)明方案一不可行的理由;

      (2)判斷方案二是否可行?若可行,請(qǐng)確定圓錐的母線長(zhǎng)及其底面圓半徑;若不可行,請(qǐng)說(shuō)明理由.

      解析(1)因?yàn)樯刃蜛BC的弧長(zhǎng)=×16×2π=8π,因此圓的半徑應(yīng)為4cm.由于所給正方形紙片的對(duì)角線長(zhǎng)為cm,而制作這樣的圓錐實(shí)際需要正方形紙片的對(duì)角線長(zhǎng)為cm,由于,所以方案一不可行.

      (2)設(shè)圓錐底面圓的半徑為r,圓錐的母線長(zhǎng)為R,則①,②,由①②,可解得,.故所求圓錐的母線長(zhǎng)為cm,底面圓的半徑為cm.

      點(diǎn)評(píng)將正方形與多邊形、圓結(jié)合是中考中出現(xiàn)頻率較高的題目。此類題目涉及知識(shí)點(diǎn)較多,跨度較大,需要學(xué)生具有較為扎實(shí)的基本功,具有綜合運(yùn)用相關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)的能力。

      3與“動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題”相結(jié)合,注重考察學(xué)生對(duì)不變因素的探究能力.

      例5(湖北武漢市)正方形ABCD中,點(diǎn)O是對(duì)角線AC的中點(diǎn),P是對(duì)角線AC上一動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)P作PFCD于點(diǎn)F。如圖8,當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)O重合時(shí),顯然有DF=CF.

      (1)如圖9,若點(diǎn)P在線段AO上(不與點(diǎn)A、O重合),PEPB且PE交CD于點(diǎn)E.

      ①求證:DF=EF;

      ②寫出線段PC、PA、CE之間的一個(gè)等量關(guān)系,并證明你的結(jié)論;

      (2)若點(diǎn)P在線段OC上(不與點(diǎn)O、C重合),PEPB且PE交直線CD于點(diǎn)E。請(qǐng)完成圖10并判斷(1)中的結(jié)論①、②是否分別成立?若不成立,寫出相應(yīng)的結(jié)論(所寫結(jié)論均不必證明)

      解析(1)①如圖11過(guò)點(diǎn)P做PHBC,垂足為點(diǎn)H,連接PD.此時(shí)四邊形PFCH為正方形.容易證出APB≌APD,推得∠BPC=∠DPC,進(jìn)一步可得∠BPH=∠DPF;由∠BPH+∠HPE=90°,∠EPF+∠HPE=90°,得∠BPH=∠EPF.因?yàn)镻EDC,可證得DF=FE.

      ②由EF+CE=PC得:DF=EF=PC-EC.因?yàn)镻F∥AD,有,將DF=PC-EC代入得:PC=PA+CE.

      (2)連接PB、PD,做PFDC,PHBC,垂足分別為F、H,在DC延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)E,使得PEPB.此時(shí)有結(jié)論①DF=EF成立.而結(jié)論②不成立,PC、PA、EC存在PA=PC+EC關(guān)系.證明與②類似,略.

      點(diǎn)評(píng)動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題是中考熱點(diǎn)問(wèn)題之一,它要求學(xué)生善于抓住運(yùn)動(dòng)變化的規(guī)律性和不變因素,把握運(yùn)動(dòng)與靜止的辨證關(guān)系.例5中,無(wú)論動(dòng)點(diǎn)P在線段AC上如何運(yùn)動(dòng),∠BPE是直角以及四邊形PFCH為正方形是不變的.

      4與對(duì)稱、旋轉(zhuǎn)相結(jié)合,注重考察學(xué)生變換的數(shù)學(xué)思想.

      例6(重慶市)如圖13,在正方形紙片ABCD中,對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O,折疊正方形紙片ABCD,使AD落在BD上,點(diǎn)A恰好與BD上的點(diǎn)F重合.展開(kāi)后,折痕DE分別交AB、AC于點(diǎn)E、G,.連接GF.下列結(jié)論:①∠AGD=112.5°;②tan∠AED=2;③SAGD=SOGD;④四邊形AEFG是菱形;⑤BE=2OG.其中正確結(jié)論的序號(hào)是.

      解析由題意可知AED和FED關(guān)于ED所在的直線對(duì)稱,有AE=EF,AG=GF,∠ADE=∠FDE=∠ADB=22.5°.則∠AGD=180°-∠ADE-∠DAG=112.5°.由于易求得∠AGE=∠AEG=67.5°,則AE=AG.因而,AE=EF=FG=AG,四邊形AEFG是菱形.設(shè)AE=k,容易證得EFB和OGF均是等腰直角三角形,則EB=k,OG=k.因此EB=2OG.所以正確的結(jié)論是①、④、⑤,其余結(jié)論顯然不成立。

      例7(黑龍江齊齊哈爾市)已知:正方形ABCD中,∠MAN=45°,∠MAN繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn),它的兩邊分別交CB,DC(或它們的延長(zhǎng)線)于點(diǎn)M,N.當(dāng)∠MAN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到BM=DN時(shí)(如圖14),易證BM+DN=MN.

      (1)當(dāng)∠MAN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到BM≠DN時(shí)(如圖15),線段BM,ND和MN之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系?寫出猜想,并加以證明.

      (2)當(dāng)∠MAN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到如圖16的位置時(shí),線段BM,ND和MN之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系?請(qǐng)直接寫出你的猜想.

      解析(1)如圖17,把AND繞點(diǎn)A順時(shí)針90°,得到ABE,則有DN=BE,∠EAM=∠MAN=45°.進(jìn)而可證得:AEM≌AMN.所以MN=ME=MB+EB=MB+DN.

      (2)線段BM,ND和MN之間存在MN=DN-MB.

      點(diǎn)評(píng)平移、翻折和旋轉(zhuǎn)是初中幾何重要的三種變換方式,變換之后的幾何圖形與原圖形對(duì)應(yīng)的邊、角均相等.巧妙的運(yùn)用變換的基本性質(zhì)或構(gòu)造變換圖形,均可以使題目的解答簡(jiǎn)易而順暢.

      5與函數(shù)圖象相結(jié)合,注重考察學(xué)生的數(shù)形結(jié)合思想.

      例8(湖南長(zhǎng)沙市)在平面直角坐標(biāo)系中,一動(dòng)點(diǎn)P(x,y)從M(1,0)出發(fā),沿由A(-1,1),B(-1,-1),C(1,-1),D(1,1)四點(diǎn)組成的正方形邊線(如圖18)按一定方向運(yùn)動(dòng)。圖19是P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路程s(個(gè)單位)與運(yùn)動(dòng)時(shí)間(秒)之間的函數(shù)圖象,圖20是P點(diǎn)的縱坐標(biāo)y與P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路程s之間的函數(shù)圖象的一部分.

      (1)s與t之間的函數(shù)關(guān)系式是:;

      (2)與圖20相對(duì)應(yīng)的P點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑是:;P點(diǎn)出發(fā)秒首次到達(dá)點(diǎn)B;

      (3)寫出當(dāng)3≤s≤8時(shí),y與s之間的函數(shù)關(guān)系式,并在圖16中補(bǔ)全函數(shù)圖象.

      解析(1)圖19是正比例函數(shù)圖象,易求得s與t之間的函數(shù)關(guān)系式為:S=(t≥0)

      (2)從圖20的函數(shù)圖象可以看出,動(dòng)點(diǎn)P的縱y在運(yùn)動(dòng)時(shí)隨時(shí)間t的增大開(kāi)始時(shí)逐漸增大,而后又不變,最后又減小至0,說(shuō)明P點(diǎn)在正方形的運(yùn)動(dòng)路徑是:MDAN.由圖18、19可知,P點(diǎn)從點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B的路程為5,速度為0.5,所以首次到達(dá)點(diǎn)B需要時(shí)間為10秒.

      (3)結(jié)合圖18和圖20,分析可得,第1秒之前,動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)M向點(diǎn)D處運(yùn)動(dòng);第1至3秒時(shí),動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)D向點(diǎn)A處運(yùn)動(dòng);第3至5秒時(shí),動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A向點(diǎn)B處運(yùn)動(dòng);第5至7秒時(shí),動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B向點(diǎn)C處運(yùn)動(dòng);第7至8秒時(shí),動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)C向點(diǎn)M處運(yùn)動(dòng).時(shí)間段不同,函數(shù)關(guān)系不同,因此列分段函數(shù)為:當(dāng)3≤s<5,y=4-s;當(dāng)5≤s<7,y=-1;當(dāng)7≤s≤8,y=s-8.補(bǔ)全的函數(shù)圖象如圖21.

      點(diǎn)評(píng)函數(shù)圖象問(wèn)題是數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想的重要體現(xiàn),在中考試卷中也往往作為具有一定區(qū)分度的題目出現(xiàn)。例8是一個(gè)分段函數(shù)問(wèn)題,其關(guān)鍵是依據(jù)函數(shù)圖象弄清楚點(diǎn)P在正方形ABCD上的哪一段運(yùn)動(dòng),坐標(biāo)與時(shí)間、路程如何變化.

      6與實(shí)際問(wèn)題相結(jié)合,注重考察學(xué)生構(gòu)建數(shù)學(xué)模型的能力.

      例9(湖北荊門市)某人定制了一批地磚,每塊地磚(如圖21所示)是邊長(zhǎng)為0.4米的正方形ABCD,點(diǎn)E、F分別在邊BC和CD上,CFE、ABE和四邊形AEFD均由單一材料制成,制成CFE、ABE和四邊形AEFD的三種材料的每平方米價(jià)格依次為30元、20元、10元,若將此種地磚按圖22所示的形式鋪設(shè),且能使中間的陰影部分組成四邊形EFGH.

      (1)判斷圖22中四邊形EFGH是何形狀,并說(shuō)明理由;

      (2)E、F在什么位置時(shí),定制這批地磚所需的材料費(fèi)用最???

      解析:(1)四邊形EFGH是正方形.圖22可以看作是由四塊圖21所示地磚繞C點(diǎn)按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°后得到的,故CE=CF=CG=CH.因此CEF是等腰直角三角形.所以因此四邊形EFGH是正方形.

      數(shù)學(xué)研究論文范文第3篇

      [論文摘要]:愛(ài)因斯坦說(shuō)過(guò)“興趣是最好的老師”。數(shù)學(xué)概念引入的好壞往往直接影響著學(xué)生對(duì)整個(gè)概念理解的效果,好的引入可以集中學(xué)生的注意力,啟發(fā)他們的學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī),使學(xué)生聽(tīng)課能抓住重點(diǎn),產(chǎn)生強(qiáng)烈的求知欲望。文章主要針對(duì)數(shù)學(xué)概念的引入舉例講授幾種常見(jiàn)的方法并且分析其優(yōu)點(diǎn)。

      數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)思維的細(xì)胞,是形成數(shù)學(xué)知識(shí)體系的基本要素,是數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)的核心。數(shù)學(xué)定理、公式和方法都是反映數(shù)學(xué)對(duì)象和數(shù)學(xué)概念間的關(guān)系,只有具有正確明晰的概念,才能牢固的掌握基礎(chǔ)知識(shí)。同時(shí),在深入理解數(shù)學(xué)概念的過(guò)程中使得學(xué)生的抽象思維得到發(fā)展。在教學(xué)過(guò)程中,學(xué)生學(xué)習(xí)概念有一個(gè)準(zhǔn)備過(guò)程,這個(gè)過(guò)程就稱為“概念的引入”。

      一、從與概念有關(guān)的趣事引入

      興趣可以喚起某種動(dòng)機(jī),興趣可以培養(yǎng)人的意志,改變?nèi)说膽B(tài)度,引導(dǎo)學(xué)生成為學(xué)習(xí)的主人。因此我們?cè)趥湔n時(shí)要充分挖掘知識(shí)的趣味因素,找一些有關(guān)本節(jié)概念的,易于理解的趣題作引例,牢牢抓住學(xué)生注意力,調(diào)動(dòng)其積極思維,使學(xué)生既對(duì)概念感興趣,又大致了解這個(gè)概念的知識(shí)用途。

      舉例說(shuō)明:介紹“點(diǎn)的軌跡”。老師事先準(zhǔn)備好一段麻繩和一個(gè)彩色小球,將彩球綁在麻繩的一端。教師從一進(jìn)教室可以邊走邊演示——彩色小球不停地旋轉(zhuǎn)。這樣一來(lái),學(xué)生注意力一下子被吸引,并且表現(xiàn)出極大興趣。老師在講桌前站定后,便立即停止演示,隨后要求學(xué)生解釋剛才的現(xiàn)象。學(xué)生的思維被調(diào)動(dòng)起來(lái)。在對(duì)學(xué)生的解釋作出評(píng)價(jià)后,引出課題“點(diǎn)的軌道”然后引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合生活中常見(jiàn)的“點(diǎn)的軌道”現(xiàn)象給下定義。這樣,一個(gè)抽象的概念就在有趣的實(shí)驗(yàn)中得到充分的展示,學(xué)生對(duì)于點(diǎn)的軌跡也有了形象的理解。從實(shí)物引入概念,反映了概念的物質(zhì)性、現(xiàn)實(shí)性,符合認(rèn)識(shí)規(guī)律,給學(xué)生留下的印象比較深刻持久。

      二、問(wèn)題引入

      波利亞說(shuō)過(guò):?jiǎn)栴}是數(shù)學(xué)的心臟。先提出一個(gè)典型問(wèn)題,讓學(xué)生動(dòng)腦思考,在問(wèn)題的解決中引入概念,使得學(xué)生對(duì)概念的理解更加深入。

      舉例說(shuō)明:按比例分配的概念。在學(xué)習(xí)按比例分配時(shí),老師可以提出這樣的問(wèn)題:“同學(xué)們,今天老師帶了12個(gè)乒乓球作為禮物送給3個(gè)同學(xué),應(yīng)該如何分配?”“平均分?!薄凹偃绨堰@12個(gè)乒乓球作為獎(jiǎng)品,獎(jiǎng)給在運(yùn)動(dòng)會(huì)中獲得一二三等獎(jiǎng)的同學(xué),又該如何分配呢?”在學(xué)生積極思考后,老師可以說(shuō):“其實(shí),在我們的日常生活、工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)、經(jīng)濟(jì)建設(shè)等各項(xiàng)工作中,都會(huì)遇到很多不能平均分配的問(wèn)題。例如,我們喝的酸奶中的水、牛奶、糖的成分會(huì)一樣多嗎?”由此就可以引出按照比例分配的概念,這樣使得學(xué)生在思考的過(guò)程中加深對(duì)概念的理解!

      三、舊知引入

      中國(guó)古典小說(shuō),在每章節(jié)末說(shuō),“要知后事如何?且聽(tīng)下回分解”。在每回開(kāi)頭“上回講到------且說(shuō)-------?!倍潭痰膸拙湓挘邢葐⒑?,銜接自然,使人看了上章想看下章,恨不得一口氣把這本書讀完。這種古老的說(shuō)書技巧,也可以用來(lái)引入概念,使新舊概念自然街按,連為一體。

      舉例說(shuō)明:幾何概念的貫穿。在學(xué)習(xí)幾何知識(shí)時(shí),按照一條線----二條線(平行與垂直)------三條線(三角形)-----四條線(四邊形)-----多于四條線(多邊形)-----圓這樣的結(jié)構(gòu),且用數(shù)量關(guān)系、位置關(guān)系作支柱,隨著知識(shí)的增加,新知識(shí)不斷納入原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中去。比如還可以在已經(jīng)學(xué)習(xí)了“平行四邊形”的概念的基礎(chǔ)上引入“矩形”、“菱形”、“正方形”等等。利用學(xué)生已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn),以定義的方式給出,讓學(xué)生主動(dòng)地與自己的頭腦中原有的知識(shí)相互聯(lián)系、相互作用,理解它的意義,從而獲得新概念。

      四、聯(lián)系實(shí)際引入

      新課程標(biāo)準(zhǔn)要求:“數(shù)學(xué)教育應(yīng)努力激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)情感,將數(shù)學(xué)與學(xué)生生活、學(xué)習(xí)聯(lián)系起來(lái),學(xué)習(xí)有活力的、活生生的數(shù)學(xué)”。那么,用生活中的實(shí)際例子來(lái)引入數(shù)學(xué)概念,聯(lián)系生活實(shí)際講數(shù)學(xué),把生活經(jīng)驗(yàn)數(shù)學(xué)化,把數(shù)學(xué)問(wèn)題生活化,更有利于學(xué)生掌握和理解概念。

      舉例說(shuō)明:比例的意義與性質(zhì)。老師說(shuō):“同學(xué)們,我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了比,在我們?nèi)梭w上有許多有趣的比。例如:拳頭滾動(dòng)一周的長(zhǎng)度與腳的長(zhǎng)度的比是1:1,身高和胸圍長(zhǎng)度比大約是2:1。這些有趣的比作用非常大,比如你到商店去買襪子,只要將襪底在你的拳頭上繞一周,就會(huì)知道這雙襪子是否適合你穿。而這些奧秘是用比例知識(shí)來(lái)計(jì)算的,今天我們就來(lái)研究比例的意義和性質(zhì)?!崩蠋熯x取一些生動(dòng)形象的實(shí)際例子來(lái)引入數(shù)學(xué)概念,既可以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī),又符合學(xué)生由感性到理性的認(rèn)識(shí)規(guī)律。

      五、通過(guò)類比引入

      根據(jù)新舊知識(shí)的連結(jié)點(diǎn)、相似點(diǎn),采用類比的方法引入概念。數(shù)學(xué)有著嚴(yán)密的科學(xué)體系,數(shù)學(xué)知識(shí)的連貫性很強(qiáng),多數(shù)概念都產(chǎn)生于或者發(fā)展與相應(yīng)的原有知識(shí)的基礎(chǔ)上,所以用類比引入新概念有利于學(xué)生在思維中將一定的知識(shí)和技能從已知的對(duì)象遷移到未知的對(duì)象上去,有利于培養(yǎng)學(xué)生的探索發(fā)現(xiàn)能力。

      舉例說(shuō)明:(1)類比“方程”和“不等式”:方程:含有未知數(shù)的等式;不等式:表示兩個(gè)數(shù)或兩個(gè)代數(shù)式不相等的算式。(2)類比“分?jǐn)?shù)”和“分式”:分?jǐn)?shù):把單位“1”平均分成若干份,表示這樣的一份或幾份的數(shù)叫做分?jǐn)?shù)。分母表示把一個(gè)物體平均分成幾份,分子表示取了其中的幾份;分式:整式A除以整式B,可以表示成的形式。如果除式B中含有字母,那么稱為分式。這種方法導(dǎo)入自然,使學(xué)生能從類推中促進(jìn)知識(shí)的遷移,發(fā)現(xiàn)新知識(shí),從而掌握新知識(shí)。

      參考文獻(xiàn)

      [1]吳憲芳.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)概論[M].湖北教育出版社,2005.

      數(shù)學(xué)研究論文范文第4篇

      1.創(chuàng)設(shè)情境,培養(yǎng)興趣

      以創(chuàng)設(shè)情境為主線,根據(jù)教材的特點(diǎn)、教學(xué)的方法和學(xué)生的具體學(xué)情,把學(xué)生引入一種與問(wèn)題有關(guān)的情境中,讓學(xué)生通過(guò)觀察,不斷積累豐富的感性認(rèn)識(shí),讓學(xué)生在實(shí)踐感受中逐步認(rèn)知,發(fā)展,乃至創(chuàng)造,以提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì)。在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中情境教學(xué)的運(yùn)用,可以達(dá)到提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì)的目的。教育學(xué)家烏申斯基說(shuō):沒(méi)有絲毫興趣的強(qiáng)制學(xué)習(xí),將會(huì)扼殺學(xué)生探求真理的欲望。興趣是學(xué)習(xí)的重要?jiǎng)恿?,也是最好的老師。在?shí)踐中,我經(jīng)常巧妙地創(chuàng)設(shè)情境,引導(dǎo)學(xué)生從害怕數(shù)學(xué)到愛(ài)學(xué)數(shù)學(xué),提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣,取得了事半功倍的效果。如常常用實(shí)際問(wèn)題或設(shè)置懸念導(dǎo)入新課來(lái)激發(fā)學(xué)生的求知欲;或者在教學(xué)過(guò)程中為研究需要而臨時(shí)產(chǎn)生一些嘗試性的研究活動(dòng),以及在教學(xué)過(guò)程中,學(xué)生提出了意想不到的觀點(diǎn)或方案等。顯然,關(guān)鍵在教師要?jiǎng)?chuàng)設(shè)好問(wèn)題情境,必須要從學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣出發(fā),

      要從知識(shí)的形成過(guò)程出發(fā),要貼近學(xué)生生活,要帶有激勵(lì)性和挑戰(zhàn)性。只有這樣,才能引發(fā)學(xué)生的自主性學(xué)習(xí),使學(xué)生的認(rèn)知過(guò)程和情感過(guò)程統(tǒng)一起來(lái)。

      2.自主探究,建構(gòu)新知

      “以學(xué)生的發(fā)展為本”是新課程理念的最高境界,要發(fā)展學(xué)生智力,培養(yǎng)學(xué)生能力,教師在教學(xué)過(guò)程中,始終把學(xué)生放在主體的位置,教師所做的備課、組織教學(xué)、教學(xué)目標(biāo)的確定、教學(xué)過(guò)程的設(shè)計(jì)、教學(xué)方法的選用等等工作,都從學(xué)生的實(shí)際出發(fā),要在課堂上最大限度地盡量地使學(xué)生動(dòng)口、動(dòng)手、動(dòng)腦,極大地調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性和主動(dòng)性,養(yǎng)成良好的自學(xué)習(xí)慣,培養(yǎng)刻苦鉆研精神。促進(jìn)學(xué)生主動(dòng)參與、主動(dòng)探索、主動(dòng)思考、主動(dòng)實(shí)踐。如果創(chuàng)設(shè)的情境達(dá)到了前面的要求,那么學(xué)生會(huì)自然地產(chǎn)生一種探究的欲望。教師只要適當(dāng)?shù)亟M織引導(dǎo),把學(xué)習(xí)的主動(dòng)權(quán)交給學(xué)生,讓學(xué)生自主地嘗試、操作、觀察、動(dòng)手、動(dòng)腦,完成探究活動(dòng)。因?yàn)閷W(xué)生是信息加工的主體,是意義的主動(dòng)建構(gòu)者,教師是學(xué)生意義建構(gòu)的幫助者、促進(jìn)者。

      3.合作交流,完善認(rèn)知

      在教學(xué)中,通過(guò)創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境,合作小組內(nèi)自主探索、交流、對(duì)話,獲得成效。小組之間互相交流、評(píng)價(jià),達(dá)到教學(xué)互動(dòng)、互促,形成比、學(xué)、趕、幫的學(xué)習(xí)氛圍,從而使學(xué)生在合作交流的過(guò)程中學(xué)會(huì)與他人合作,并能與他人交流思維的過(guò)程和結(jié)果,體會(huì)在解決問(wèn)題過(guò)程中與他人合作的重要性和感受獲得成功的喜悅。組織學(xué)生合作交流要注意以下幾點(diǎn):①合理分組。按學(xué)生學(xué)習(xí)可能性水平與學(xué)生品質(zhì)把學(xué)生分成不同層次,實(shí)行最優(yōu)化組合,組建“學(xué)習(xí)合作小組”;②培養(yǎng)和訓(xùn)練學(xué)生的合作技能。即要提出合作建議讓學(xué)生學(xué)會(huì)合作,小組合作交流要充分體現(xiàn)學(xué)生的自主性,而且要求學(xué)生按一定的合作程序有效地開(kāi)展活動(dòng);③教師的激勵(lì)性的評(píng)價(jià)是進(jìn)一步促進(jìn)合作的催化劑。評(píng)價(jià)應(yīng)是更多地重視對(duì)小組的評(píng)價(jià),注重小組成員的參與度及活動(dòng)結(jié)果中的成果,從而培養(yǎng)學(xué)生的合作精神,縮小優(yōu)差生的距離;④教師要參與學(xué)生的小組活動(dòng)。教師既要巡視并檢查學(xué)生對(duì)問(wèn)題的解決情況,又要收集學(xué)生的學(xué)習(xí)信息,以便適時(shí)引導(dǎo)、點(diǎn)撥,促進(jìn)其思維的不斷深化,完善認(rèn)知。

      數(shù)學(xué)研究論文范文第5篇

      關(guān)鍵詞:新課改疑慮問(wèn)題

      新一輪基礎(chǔ)教育改革給我們每一位教師帶來(lái)了嚴(yán)峻的挑戰(zhàn)和不可多得的機(jī)遇。本次課程改革,不僅改變了教師的教育觀念,而且還改變了老師們每天都在進(jìn)行著的習(xí)以為常的教學(xué)方式、教學(xué)行為。因此,對(duì)我們每一位教師提出了更高的要求,教師只有在教學(xué)中解決了這幾方面的問(wèn)題,才能更好地開(kāi)展教學(xué)。

      一、課堂教學(xué)中探究學(xué)習(xí)實(shí)施的疑慮

      疑慮一:關(guān)于探究中的錯(cuò)誤

      傳統(tǒng)教育是"永遠(yuǎn)正確"的教育,是消滅錯(cuò)誤、鄙視錯(cuò)誤的教育,這種教育讓學(xué)生在錯(cuò)誤面前得到的是緊張、羞愧,而不是理性的分析與反思??茖W(xué)的歷程正是在無(wú)數(shù)的失敗與對(duì)成功的批判中發(fā)展的。教育背景中學(xué)生的失敗是讓他們掌握得到真理方法的重要途徑,美國(guó)教育家杜威說(shuō)過(guò):"失敗是有教導(dǎo)性的。真正懂得思考的人,從失敗和成功中學(xué)得一樣多。"所以,教師要善待學(xué)生在探究中的錯(cuò)誤,要指導(dǎo)學(xué)生去發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤,并以此引導(dǎo)他們掌握驗(yàn)證的方法與對(duì)錯(cuò)誤的坦誠(chéng)態(tài)度。

      疑慮二:關(guān)于學(xué)生探究前的知識(shí)基礎(chǔ)

      探究學(xué)習(xí)不僅需要一定的知識(shí)為基礎(chǔ),而且要求學(xué)習(xí)者具備應(yīng)用知識(shí)的能力。但是,我們不能因?yàn)閷W(xué)生缺乏知識(shí)基礎(chǔ),就放棄探究學(xué)習(xí)本身,實(shí)際上,科學(xué)家在進(jìn)行某項(xiàng)科學(xué)探究活動(dòng)前,也不一定就完全具備了進(jìn)行探究的知識(shí)基礎(chǔ),他必須在探究中不斷學(xué)習(xí),才能彌補(bǔ)知識(shí)上的缺陷。所以,在學(xué)生進(jìn)行探究活動(dòng)前,教師要做充分的準(zhǔn)備,特別需要了解:

      (1)即將進(jìn)行的探究學(xué)習(xí)需要的知識(shí)基礎(chǔ)是什么?

      (2)目前學(xué)生的知識(shí)基礎(chǔ)能夠達(dá)到什么水平?還缺少哪些?

      (3)學(xué)生可以通過(guò)什么途徑掌握那些知識(shí)?

      (4)不同基礎(chǔ)的學(xué)生可能存在的差異是什么?

      疑慮三:關(guān)于探究能力

      能力的形成需要一個(gè)過(guò)程,這一點(diǎn)大多數(shù)教師都有親身體會(huì),不論是培養(yǎng)學(xué)生解數(shù)學(xué)題的能力,還是解決物理問(wèn)題的能力,或者是語(yǔ)文教師提高學(xué)生寫作的能力,都需要一個(gè)較長(zhǎng)的過(guò)程。探究能力也是如此,應(yīng)當(dāng)盡可能早地進(jìn)行這種能力的培養(yǎng),最好從幼兒園、小學(xué)就開(kāi)始。可惜的是,過(guò)去幼兒園與小學(xué)還不夠重視,因此進(jìn)入初中的學(xué)生非常缺乏探究的經(jīng)驗(yàn)與能力。這就需要我們教師們花費(fèi)一定的時(shí)間補(bǔ)上這一課。

      疑慮四:關(guān)于教學(xué)進(jìn)度

      要花時(shí)間,必然影響教學(xué)進(jìn)度。問(wèn)題是:大多數(shù)學(xué)校在安排每學(xué)年教學(xué)進(jìn)度時(shí),并沒(méi)有考慮這一點(diǎn)。還是按照大綱中的知識(shí)要求與課本知識(shí)章節(jié)排出一學(xué)年的教學(xué)進(jìn)度。這種以知識(shí)為中心的進(jìn)度安排,本身就違背了新課程以能力發(fā)展為核心的要求。因此,要面對(duì)本地本校的實(shí)際,實(shí)事求是地構(gòu)建切實(shí)可行的課改方案。我認(rèn)為:每學(xué)期開(kāi)頭的幾周要將進(jìn)度放慢一點(diǎn),特別是起始年級(jí),要調(diào)查研究這個(gè)年級(jí)學(xué)生探究能力的基本水平,選擇本學(xué)習(xí)期望達(dá)到的能力目標(biāo),在開(kāi)學(xué)的三周內(nèi),進(jìn)行必要的探究技能,包括:自學(xué)、討論、圖書資料查詢、網(wǎng)絡(luò)運(yùn)用、解釋、實(shí)驗(yàn)等)培訓(xùn)。后面的教學(xué)再進(jìn)一步強(qiáng)化學(xué)科探究的技能,一旦學(xué)生能力形成,學(xué)習(xí)的效率必然會(huì)得到提高,教學(xué)進(jìn)度的問(wèn)題也就好解決了。

      疑慮五:關(guān)于探究學(xué)習(xí)的尺度

      在探究學(xué)習(xí)的視野中,課本就是探究的資源之一,但是,僅僅坐在課堂里,是得不到探究學(xué)習(xí)所需要的豐富資源的。探究學(xué)習(xí)需要學(xué)生走出教室,走進(jìn)大自然、走進(jìn)社會(huì)、走進(jìn)圖書館、走進(jìn)實(shí)驗(yàn)室、走進(jìn)網(wǎng)絡(luò)世界。不過(guò),不論學(xué)生走到哪里,學(xué)校與教師依然要重視資源的開(kāi)發(fā)問(wèn)題。教師可以篩選確定適合學(xué)生水平的資源庫(kù)。當(dāng)然,學(xué)生親身經(jīng)歷對(duì)自然或社會(huì)的探究,收集第一手的資料,與在圖書館、網(wǎng)絡(luò)或資源庫(kù)的第二手資料結(jié)合起來(lái),因?yàn)?,這兩種資料及其收集能力,都有不可替代的價(jià)值。

      疑慮六:關(guān)于探究學(xué)習(xí)的資源開(kāi)發(fā)

      在探究學(xué)習(xí)的視野中,課本就是探究的資源之一,但是,僅僅坐在課堂里,是得不到探究學(xué)習(xí)所需要的豐富資源的。探究學(xué)習(xí)需要學(xué)生走出教室,走進(jìn)大自然、走進(jìn)社會(huì)、走進(jìn)圖書館、走進(jìn)實(shí)驗(yàn)室、走進(jìn)網(wǎng)絡(luò)世界。這就要求學(xué)校與教師依然要重視資源的開(kāi)發(fā)問(wèn)題,精心選擇最有利于學(xué)生進(jìn)行探究學(xué)習(xí)的教學(xué)平臺(tái),教師還可以篩選確定適合學(xué)生水平的資源庫(kù)。當(dāng)然,學(xué)生親身經(jīng)歷對(duì)自然或社會(huì)的探究,收集第一手的資料,要與在圖書館、網(wǎng)絡(luò)或資源庫(kù)的第二手資料結(jié)合起來(lái),因?yàn)?,這兩種資料及其收集能力,都有不可替代的價(jià)值。

      疑慮七:關(guān)于考試與評(píng)價(jià)制度改革

      考試與評(píng)價(jià)改革似乎是教師們反對(duì)探究學(xué)習(xí)最有力的理由,但是,高考已經(jīng)發(fā)展到能力為評(píng)價(jià)核心的階段,注重能力的培養(yǎng)將逐步成為教學(xué)的中心任務(wù),考試與評(píng)價(jià)制度本身將進(jìn)行改革,學(xué)分制等更注重學(xué)習(xí)過(guò)程的發(fā)展性評(píng)價(jià),將取代過(guò)去以考試為主的評(píng)價(jià)。新的評(píng)價(jià)機(jī)制主要突出兩點(diǎn):一是強(qiáng)調(diào)綜合評(píng)價(jià);二是強(qiáng)調(diào)過(guò)程性評(píng)價(jià)。用發(fā)展的眼光對(duì)學(xué)生進(jìn)行評(píng)價(jià)。在強(qiáng)調(diào)綜合性評(píng)價(jià),過(guò)程性評(píng)價(jià)的同時(shí),也不要忽視必要的甄別和選拔考試,只是不要把它看成唯一的標(biāo)準(zhǔn)。目前,我國(guó)還沒(méi)有取消甄別和選拔考試,選拔考試仍然是我國(guó)選拔人才有效的辦法之一。

      二、課堂教學(xué)中教師存在問(wèn)題

      問(wèn)題一:流于形式。教師已經(jīng)有意識(shí)地把新課程引入課堂,但是,仔細(xì)觀察就會(huì)發(fā)現(xiàn),在部分教師的課堂上,只是一種形式,缺乏實(shí)質(zhì)性改變。教學(xué)只求“表面熱鬧”。有的教師上課表面看起來(lái)課堂氣氛異?;钴S,盲目追求課堂教學(xué)中提問(wèn)題的數(shù)量,一定程度上忽視了學(xué)生的參與度不均衡,學(xué)生間的合作不夠主動(dòng)等問(wèn)題,不能給學(xué)生充裕的時(shí)間,忽視對(duì)學(xué)生技能的訓(xùn)練與培養(yǎng)。其實(shí),“活而不亂”才是新課程背景下課堂教學(xué)追求的理想目標(biāo)。

      問(wèn)題二:過(guò)于追求教學(xué)的情境化。創(chuàng)設(shè)教學(xué)情境,不僅可以使學(xué)生容易掌握數(shù)學(xué)知識(shí)和技能,而且可以使學(xué)生更好地體驗(yàn)教學(xué)內(nèi)容中的情感,使原來(lái)枯燥的、抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)變得生動(dòng)形象、饒有興趣。但部分教師過(guò)于注重教學(xué)的情境化,為了創(chuàng)設(shè)情境可謂是“冥思苦想”,好像數(shù)學(xué)課脫離了情境,就不是新課程理念下的數(shù)學(xué)課。事實(shí)說(shuō)明,有些教師辛辛苦苦創(chuàng)設(shè)的情境,并沒(méi)有起到應(yīng)有的作用。往往因?yàn)楸焕蠋焺?chuàng)設(shè)的情境所吸引,而久久不能進(jìn)入學(xué)習(xí)狀態(tài)。

      問(wèn)題三:教師在課堂上不敢張口講話。不知從何時(shí)起,我們的數(shù)學(xué)教學(xué)很忌諱老師的“講”。不少老師把“少講”或“不講”作為平時(shí)教學(xué)的一個(gè)原則,因?yàn)樗麄冎?,講了就會(huì)有“灌輸”“填鴨”之嫌。從學(xué)習(xí)方式看,學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)可以分為兩種基本形式:一種是有意義的接受學(xué)習(xí),一種是有意義的發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)。無(wú)論是有意義的發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí),還是有意義的接受學(xué)習(xí)都是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的重要學(xué)習(xí)方式。在改革的同時(shí),我們要注意對(duì)傳統(tǒng)的繼承和發(fā)展。課堂上是不是講,真正的問(wèn)題在于講什么、怎樣講。一般來(lái)說(shuō),陳述性的、事實(shí)性的知識(shí),可以讓學(xué)生運(yùn)用接受學(xué)習(xí)的方法進(jìn)行學(xué)習(xí)。教師該引導(dǎo)的要引導(dǎo),該問(wèn)的要問(wèn),該點(diǎn)的要點(diǎn),該講的要講,要充分發(fā)揮教師和學(xué)生兩方面的主動(dòng)性和創(chuàng)造性。

      問(wèn)題四:教學(xué)過(guò)于追求手段現(xiàn)代化。運(yùn)用多媒體計(jì)算機(jī)輔助教學(xué),能較好地處理好大與小,遠(yuǎn)與近,動(dòng)與靜,快與慢,局部與整體的關(guān)系,使學(xué)生形成鮮明的表象,啟迪學(xué)生的思維,擴(kuò)大信息量,提高教學(xué)效率。為此,講課教師不惜花費(fèi)一周甚至數(shù)周的時(shí)間精心制作課件??山Y(jié)果并不理想,有的課件不過(guò)是課本搬家,只是起到了替代小黑板的作用;有的教師把界面搞得五彩繽紛,以為這樣可以吸引學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,結(jié)果適得其反,學(xué)生的注意力被鮮艷的色彩所吸引,忘記了聽(tīng)老師講課,而忽略了課堂教學(xué)中應(yīng)掌握的知識(shí)。計(jì)算機(jī)輔助教學(xué)要用在點(diǎn)子上,要注重實(shí)效。使用新技術(shù)并不一定代表新的教學(xué)思想。屏幕不能代替必要的板書,學(xué)具操作不能代替必要的教具演示,教師只有把現(xiàn)代化教學(xué)手段與傳統(tǒng)的教學(xué)手段(教具、學(xué)具、黑板)有機(jī)結(jié)合起來(lái)使用,優(yōu)勢(shì)互補(bǔ),使教學(xué)手段整體優(yōu)化,才能提高課堂教學(xué)效率。

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