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教學目標

1.使學生了解奇偶性的概念,回會利用定義判斷簡單函數(shù)的奇偶性.

2.在奇偶性概念形成過程中,培養(yǎng)學生的觀察,歸納能力,同時滲透數(shù)形結(jié)合和特殊到一般的思想方法.

3.在學生感受數(shù)學美的同時,激發(fā)學習的興趣,培養(yǎng)學生樂于求索的精神.

教學重點,難點

重點是奇偶性概念的形成與函數(shù)奇偶性的判斷

難點是對概念的認識

教學用具

投影儀,計算機

教學方法

引導發(fā)現(xiàn)法

教學過程

一.引入新課

前面我們已經(jīng)研究了函數(shù)的單調(diào)性,它是反映函數(shù)在某一個區(qū)間上函數(shù)值隨自變量變化而變化的性質(zhì),今天我們繼續(xù)研究函數(shù)的另一個性質(zhì).從什么角度呢?將從對稱的角度來研究函數(shù)的性質(zhì).

對稱我們大家都很熟悉,在生活中有很多對稱,在數(shù)學中也能發(fā)現(xiàn)很多對稱的問題,大家回憶一下在我們所學的內(nèi)容中,特別是函數(shù)中有沒有對稱問題呢?

(學生可能會舉出一些數(shù)值上的對稱問題,等,也可能會舉出一些圖象的對稱問題,此時教師可以引導學生把函數(shù)具體化,如和等.)

結(jié)合圖象提出這些對稱是我們在初中研究的關于軸對稱和關于原點對稱問題,而我們還曾研究過關于軸對稱的問題,你們舉的例子中還沒有這樣的,能舉出一個函數(shù)圖象關于軸對稱的嗎?

學生經(jīng)過思考,能找出原因,由于函數(shù)是映射,一個只能對一個,而不能有兩個不同的,故函數(shù)的圖象不可能關于軸對稱.最終提出我們今天將重點研究圖象關于軸對稱和關于原點對稱的問題,從形的特征中找出它們在數(shù)值上的規(guī)律.

二.講解新課

2.函數(shù)的奇偶性(板書)

教師從剛才的圖象中選出,用計算機打出,指出這是關于軸對稱的圖象,然后問學生初中是怎樣判斷圖象關于軸對稱呢?(由學生回答,是利用圖象的翻折后重合來判定)此時教師明確提出研究方向:今天我們將從數(shù)值角度研究圖象的這種特征體現(xiàn)在自變量與函數(shù)值之間有何規(guī)律?

學生開始可能只會用語言去描述:自變量互為相反數(shù),函數(shù)值相等.教師可引導學生先把它們具體化,再用數(shù)學符號表示.(借助課件演示令比較得出等式,再令,得到,詳見課件的使用)進而再提出會不會在定義域內(nèi)存在,使與不等呢?(可用課件幫助演示讓動起來觀察,發(fā)現(xiàn)結(jié)論,這樣的是不存在的)

從這個結(jié)論中就可以發(fā)現(xiàn)對定義域內(nèi)任意一個,都有成立.最后讓學生用完整的語言給出定義,不準確的地方教師予以提示或調(diào)整.

(1)偶函數(shù)的定義:如果對于函數(shù)的定義域內(nèi)任意一個,都有,那么就叫做偶函數(shù).(板書)

(給出定義后可讓學生舉幾個例子,如等以檢驗一下對概念的初步認識)

提出新問題:函數(shù)圖象關于原點對稱,它的自變量與函數(shù)值之間的數(shù)值規(guī)律是什么呢?(同時打出或的圖象讓學生觀察研究)

學生可類比剛才的方法,很快得出結(jié)論,再讓學生給出奇函數(shù)的定義.

(2)奇函數(shù)的定義:如果對于函數(shù)的定義域內(nèi)任意一個,都有,那么就叫做奇函數(shù).(板書)

(由于在定義形成時已經(jīng)有了一定的認識,故可以先作判斷,在判斷中再加深認識)

例1.判斷下列函數(shù)的奇偶性(板書)

(1);(2);

(3);;

(5);(6).

(要求學生口答,選出1-2個題說過程)

解:(1)是奇函數(shù).(2)是偶函數(shù).

(3),是偶函數(shù).

前三個題做完,教師做一次小結(jié),判斷奇偶性,只需驗證與之間的關系,但對你們的回答我不滿意,因為題目要求是判斷奇偶性而你們只回答了一半,另一半沒有作答,以第(1)為例,說明怎樣解決它不是偶函數(shù)的問題呢?

學生經(jīng)過思考可以解決問題，指出只要舉出一個反例說明與不等.如即可說明它不是偶函數(shù).(從這個問題的解決中讓學生再次認識到定義中任意性的重要)

從(4)題開始,學生的答案會有不同,可以讓學生先討論,教師再做評述.即第(4)題中表面成立的=不能經(jīng)受任意性的考驗,當時,由于,故不存在,更談不上與相等了,由于任意性被破壞,所以它不能是奇偶性.

教師由此引導學生,通過剛才這個題目,你發(fā)現(xiàn)在判斷中需要注意些什么?(若學生發(fā)現(xiàn)不了定義域的特征,教師可再從定義啟發(fā),在定義域中有1,就必有-1,有-2,就必有2,有,就必有,有就必有,從而發(fā)現(xiàn)定義域應關于原點對稱,再提出定義域關于原點對稱是函數(shù)具有奇偶性的什么條件?

可以用(6)輔助說明充分性不成立,用(5)說明必要性成立,得出結(jié)論.

(3)定義域關于原點對稱是函數(shù)具有奇偶性的必要但不充分條件.(板書)

由學生小結(jié)判斷奇偶性的步驟之后,教師再提出新的問題:在剛才的幾個函數(shù)中有是奇函數(shù)不是偶函數(shù),有是偶函數(shù)不是奇函數(shù),也有既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù),那么有沒有這樣的函數(shù),它既是奇函數(shù)也是偶函數(shù)呢?若有,舉例說明.

經(jīng)學生思考,可找到函數(shù).然后繼續(xù)提問:是不是具備這樣性質(zhì)的函數(shù)的解析式都只能寫成這樣呢?能證明嗎?

例2.已知函數(shù)既是奇函數(shù)也是偶函數(shù),求證:.(板書)(試由學生來完成)

證明:既是奇函數(shù)也是偶函數(shù),

=,且,

=.

,即.

證后,教師請學生記住結(jié)論的同時,追問這樣的函數(shù)應有多少個呢?學生開始可能認為只有一個,經(jīng)教師提示可發(fā)現(xiàn),只是解析式的特征,若改變函數(shù)的定義域,如,,,,它們顯然是不同的函數(shù),但它們都是既是奇函數(shù)也是偶函數(shù).由上可知函數(shù)按其是否具有奇偶性可分為四類

(4)函數(shù)按其是否具有奇偶性可分為四類:(板書)

例3.判斷下列函數(shù)的奇偶性(板書)

(1);(2);(3).

由學生回答,不完整之處教師補充.

解:(1)當時,為奇函數(shù),當時,既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù).

(2)當時,既是奇函數(shù)也是偶函數(shù),當時,是偶函數(shù).

(3)當時,于是,

當時,,于是=,

綜上是奇函數(shù).

教師小結(jié)(1)(2)注意分類討論的使用,(3)是分段函數(shù),當檢驗,并不能說明具備奇偶性,因為奇偶性是對函數(shù)整個定義域內(nèi)性質(zhì)的刻畫,因此必須均有成立,二者缺一不可.

三.小結(jié)

1.奇偶性的概念

2.判斷中注意的問題

四.作業(yè)略

五.板書設計

2.函數(shù)的奇偶性例1.例3.

(1)偶函數(shù)定義

(2)奇函數(shù)定義

(3)定義域關于原點對稱是函數(shù)例2.小結(jié)

具備奇偶性的必要條件

(4)函數(shù)按奇偶性分類分四類