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教學(xué)建議

1.知識結(jié)構(gòu):

本小節(jié)主要學(xué)習(xí)解直角三角形的概念,直角三角形中除直角外的五個元素之間的關(guān)系以及直角三角形的解法.

2.重點(diǎn)和難點(diǎn)分析:

教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn):直角三角形的解法.

本節(jié)的重點(diǎn)和難點(diǎn)是直角三角形的解法.為了使學(xué)生熟練把握直角三角形的解法,首先要使學(xué)生知道什么叫做解直角三角形,直角三角形中三邊之間的關(guān)系,兩銳角之間的關(guān)系,邊角之間的關(guān)系.正確選用這些關(guān)系,是正確、迅速地解直角三角形的關(guān)鍵.

3.深刻熟悉銳角三角函數(shù)的定義,理解三角函數(shù)的表達(dá)式向方程的轉(zhuǎn)化.

銳角三角函數(shù)的定義:

實(shí)際上分別給了三個量的關(guān)系:a、b、c是邊的長、、和是由用不同方式來決定的三角函數(shù)值,它們都是實(shí)數(shù),但它與代數(shù)式的不同點(diǎn)在于三角函數(shù)的值是有一個銳角的數(shù)值參與其中.

當(dāng)這三個實(shí)數(shù)中有兩個是已知數(shù)時(shí),它就轉(zhuǎn)化為一個一元方程,解這個方程,就求出了一個直角三角形的未知的元素.

如:已知直角三角形ABC中,,求BC邊的長.

畫出圖形,可知邊AC,BC和三個元素的關(guān)系是正切函數(shù)(或余切函數(shù))的定義給出的,所以有等式

,

由于,它實(shí)際上已經(jīng)轉(zhuǎn)化了以BC為未知數(shù)的代數(shù)方程,解這個方程,得

.

即得BC的長為.

又如,已知直角三角形斜邊的長為35.42cm,一條直角邊的長29.17cm,求另一條邊所對的銳角的大小.

畫出圖形,可設(shè)中,,于是,求的大小時(shí),涉及的三個元素的關(guān)系是

也就是

這時(shí),就把以為未知數(shù)的代數(shù)方程轉(zhuǎn)化為了以為未知數(shù)的方程,經(jīng)查三角函數(shù)表,得

.

由此看來,表達(dá)三角函數(shù)的定義的4個等式,可以轉(zhuǎn)化為求邊長的方程,也可以轉(zhuǎn)化為求角的方程,所以成為解三角形的重要工具.

4.直角三角形的解法可以歸納為以下4種,列表如下:

5.注重非直角三角形問題向直角三角形問題的轉(zhuǎn)化

由上述(3)可以看到,只要已知條件適當(dāng),所有的直角三角形都是可解的.值得注重的是,它不僅使直角三角形的計(jì)算問題得到徹底的解決,而且給非直角三角形圖形問題的解決鋪平了道路.不難想到,只要能把非直角三角形的圖形問題轉(zhuǎn)化為直角三角形問題,就可以通過解直角三角形而獲得解決.請看下例.

例如,在銳角三角形ABC中,,求這個三角形的未知的邊和未知的角(如圖)

這是一個銳角三角形的解法的問題,我們只需作出BC邊上的高(想一想:作其它邊上的高為什么不好.),問題就轉(zhuǎn)化為兩個解直角三角形的問題.

在Rt中,有兩個獨(dú)立的條件,具備求解的條件,而在Rt中,只有已知條件,暫時(shí)不具備求解的條件,但高AD可由解時(shí)求出,那時(shí),它也將轉(zhuǎn)化為可解的直角三角形,問題就迎刃而解了.解法如下:

解:作于D,在Rt中,有

;

又,在Rt中,有

∴

又,

∴

于是,有

由此可知,把握非直角三角形的圖形向直角三角形轉(zhuǎn)化的途徑和方法是十分重要的,如

(1)作高線可以把銳角三角形或鈍角三角形轉(zhuǎn)化為兩個直角三角形.

(2)作高線可以把平行四邊形、梯形轉(zhuǎn)化為含直角三角形的圖形.

(3)連結(jié)對角線,可以把矩形、菱形和正方形轉(zhuǎn)化為含直角三角形的圖形.

(4)如圖,等腰三角形AOB是正n邊形的n分之一.作它的底邊上的高,就得到直角三角形OAM,OA是半徑,OM是邊心距,AB是邊長的一半,銳角.

6.要善于把某些實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為解直角三角形問題.

很多實(shí)際問題都可以歸結(jié)為圖形的計(jì)算問題,而圖形計(jì)算問題又可以歸結(jié)為解直角三角形問題.

我們知道,機(jī)器上用的螺絲釘問題可以看作計(jì)算問題,而圓柱的側(cè)面可以看作是長方形圍成的(如圖).螺紋是以一定的角度旋轉(zhuǎn)上升,使得螺絲旋轉(zhuǎn)時(shí)向前推進(jìn),問直徑是6mm的螺絲釘,若每轉(zhuǎn)一圈向前推進(jìn)1.25mm,螺紋的初始角應(yīng)是多少度多少分?

據(jù)題意,螺紋轉(zhuǎn)一周時(shí),把側(cè)面展開可以看作一個直角三角形,直角邊AC的長為

,

另一條直角邊為螺釘推進(jìn)的距離,所以

,

設(shè)螺紋初始角為,則在Rt中,有

∴.

即,螺紋的初始角約為.

這個例子說明,生產(chǎn)和生活中有很多實(shí)際問題都可以抽象為一個解直角三角形問題,我們應(yīng)當(dāng)注重培養(yǎng)這種把數(shù)學(xué)知識應(yīng)用于實(shí)際生活的意識和能力.

一、教學(xué)目標(biāo)

1.使學(xué)生把握直角三角形的邊角關(guān)系,會運(yùn)用勾股定理、直角三角形的兩個銳角互余及銳角三角函數(shù)解直角三角形;

2.通過綜合運(yùn)用勾股定理,直角三角形的兩個銳角互余及銳角三角函數(shù)解直角三角形,逐步培養(yǎng)學(xué)生分析問題、解決問題的能力;

3.通過本節(jié)的學(xué)習(xí),向?qū)W生滲透數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想,培養(yǎng)他們良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣.

二、重點(diǎn)·難點(diǎn)·疑點(diǎn)及解決辦法

1.重點(diǎn):直角三角形的解法。

2.難點(diǎn):三角函數(shù)在解直角三角形中的靈活運(yùn)用。

3.疑點(diǎn):學(xué)生可能不理解在已知的兩個元素中,為什么至少有一個是邊。

4.解決辦法:設(shè)置疑問,引導(dǎo)學(xué)生主動發(fā)現(xiàn)方法與途徑,解決重難點(diǎn),以相似三角形知識為背景解決疑點(diǎn)。

三、教學(xué)步驟

(一)明確目標(biāo)

1.在三角形中共有幾個元素?

2.如圖直角三角形ABC中,這五個元素間有哪些等量關(guān)系呢?

(1)邊角之間關(guān)系

(2)三邊之間關(guān)系

(勾股定理)

(3)銳角之間關(guān)系。

以上三點(diǎn)正是解直角三角形的依據(jù),通過復(fù)習(xí),使學(xué)生便于應(yīng)用。

(二)整體感知

教材在繼銳角三角函數(shù)后安排解直角三角形,目的是運(yùn)用銳用三角函數(shù)知識,對其加以復(fù)習(xí)鞏固。同時(shí),本課又為以后的應(yīng)用舉例打下基礎(chǔ)。因此在把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題之后,就是運(yùn)用本課——解直角三角形的知識來解決的。綜上所述,解直角三角形一課在本章中是起到承上啟下作用的重要一課。

(三)教學(xué)過程

1.我們已把握Rt的邊角關(guān)系、三邊關(guān)系、角角關(guān)系,利用這些關(guān)系,在知道其中的兩個元素(至少有一個是邊)后,就可求出其余的元素。這樣的導(dǎo)語既可以使學(xué)生大概了解解直角三角形的概念,同時(shí)又陷入思考,為什么兩個已知元素中必有一條邊呢,激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情。

2.教師在學(xué)生思考后,繼續(xù)引導(dǎo)“為什么兩個已知元素中至少有一條邊?”讓全體學(xué)生的思維目標(biāo)一致,在作出準(zhǔn)確回答后,教師請學(xué)生概括什么是解直角三角形?(由直角三角形中除直角外的兩個已知元素,求出所有未知元素的過程,叫做解直角三角形)。

3.例題

例1在中,為直角,所對的邊分別為,且,解這個三角形。

解直角三角形的方法很多,靈活多樣,學(xué)生完全可以自己解決,但例題具有示范作用。因此,此題在處理時(shí),首先,應(yīng)讓學(xué)生獨(dú)立完成,培養(yǎng)其分析問題、解決問題能力,同時(shí)滲透數(shù)形結(jié)合的思想。其次,教師組織學(xué)生比較各種方法中哪些較好,選一種板演。

解:(1),

(2),

∴

(3)

∴

完成之后引導(dǎo)學(xué)生小結(jié)“已知一邊一角,如何解直角三角形?”

答:先求另外一角,然后選取恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)關(guān)系式求另兩邊。計(jì)算時(shí),利用所求的量如不比原始數(shù)據(jù)簡便的話,最好用題中原始數(shù)據(jù)計(jì)算,這樣誤差小些,也比較可靠,防止第一步錯導(dǎo)致一錯到底。

例2在Rt中,,解這個三角形。

在學(xué)生獨(dú)立完成之后,選出最好方法,教師板書。

解:(1),

查表得;

(2)

(3),

∴。

注重:例1中的b和例2中的c都可以利用勾股定理來計(jì)算,這時(shí)要查平方表和平方根表,這樣做有時(shí)會比上面用含四位有效數(shù)字的數(shù)乘(或除)以另一含四位有效數(shù)字的數(shù)要方便一些。但先后要查兩次表,并作一次加法(或減法)或者使用計(jì)算器求平方、平方根及三角正數(shù)值等。

4.鞏固練習(xí)

解直角三角形是解實(shí)際應(yīng)用題的基礎(chǔ),因此必須使學(xué)生熟練把握。為此,教材配備了練習(xí)P.23中1、2練習(xí)1針對各種條件,使學(xué)生熟練解直角三角形;練習(xí)2代入數(shù)據(jù),培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)算能力。

[參考答案]

1.(1);

(2)由求出或;

(3),

或;

(4)或。

2.(1);

(2)。

說明:解直角三角形計(jì)算上比較繁瑣,條件好的學(xué)校答應(yīng)用計(jì)算器。但無論是否使用計(jì)算器,都必須寫出解直角三角形的整個過程。要求學(xué)生認(rèn)真對待這些題目,不要馬馬虎虎,努力防止出錯,培養(yǎng)其良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣。

(四)總結(jié)擴(kuò)展

1.請學(xué)生小結(jié):在直角三角形中,除直角外還有五個元素,知道兩個元素(至少有一個是邊),就可以求出另三個元素。

2.幻燈片出示圖表,請學(xué)生完成

四、布置作業(yè)

教材P.32習(xí)題6.4A組3。

[參考答案]

3.;

五、板書設(shè)計(jì)