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摘要：本文利用復(fù)化辛普森公式導(dǎo)證的計算公路匝道坐標(biāo)的通用公式。利用fx-4500p計算器編程計算放樣點位坐標(biāo)。

關(guān)鍵詞：復(fù)化辛普森公式公路匝道編程坐標(biāo)計算

一、引言

匝道是組成高等及公路立交的基本單元，其形式千變?nèi)f化，就線形而言，也是由直線段、回旋曲線段、圓曲線段組成。但是，組成立交的匝道涉及線形的曲率變化特點，利用復(fù)化辛普森公式導(dǎo)證了計算公路匝道點位坐標(biāo)的通用公式。并利用卡西歐fx-4500p計算器編程計算公路匝道點位坐標(biāo)。

二、公路匝道點位坐標(biāo)計算

1.公路匝道中線形式

公路匝道中線是由直線—回旋曲線—圓曲線（r1）—回旋曲線—圓曲線（r2）—回旋曲線—直線的順序組成的，其中r1¹r2。

2.回旋曲線上點位坐標(biāo)方位角的計算

如圖1，設(shè)回旋曲線起點a的曲率為ra，其里程為dka；回旋曲線終點b的曲率為，其里程為dkb，ax¢y¢為以a為坐標(biāo)原點，以a點切線為x¢軸的局部坐標(biāo)系；axy為線路坐標(biāo)系。

由此回旋曲線上各點曲率半徑為ri和該點離曲線起點的距離ﺎi成反比，故此任意點的曲率為

（=r0為常數(shù)）（1）

由式（1）可知，回旋曲線任意點的曲率按線性變化，由此回旋曲線上里程為dki點的曲率為

（2）

當(dāng)曲線右偏時，取正；當(dāng)曲線左偏時取負。在圖1中有

（3）

將式（2）代入式（3）得

（4）

若已知回旋曲線起點a在線路坐標(biāo)系下切線坐標(biāo)方位角αa，則里程為dki點切線坐標(biāo)方位角為

（5）

將式(4)代入式(5)得

（6）

對于式(6)，當(dāng)，時，，則ai=aa，式(6)變成計算直線段上任意點切線坐標(biāo)方位角計算公式；當(dāng)，時，，，則式(6)代表圓曲線上任意點切線坐標(biāo)方位角計算公式。

可見，若已知曲線段起點和終點的曲率及起點的切線坐標(biāo)方位角，式(6)便能計算任意線型點位切線坐標(biāo)方位角。

3、回旋曲線點位坐標(biāo)計算

由圖1可得回旋曲線上點位在坐標(biāo)系下坐標(biāo)計算公式：

（7）

（8）

設(shè)回旋曲線起點a在線路坐標(biāo)系下的坐標(biāo)為將式(6)替代式(8)中的，便得回旋曲線上任意點在線路坐標(biāo)系下的坐標(biāo)：

（9）

對于式(9)的解算，由于后半部分是定積分，我們引入復(fù)化辛普森公式對其進行解算。

首先將積分區(qū)間[dka，dki]劃分為n等份，步長為h=（dki-dka）/n，分點里程dxk=dka+kh，k=0，1，2，×××，n，記子區(qū)間[dxk，dxk+1]的里程為dxk+1/2，則dxk+1/2=（dxk+dxk+1）/2，k=0，1，2，×××，n-1。

由此式(9)用復(fù)化辛普森公式表示為

n-1n-1

x=xa+h/6´（cosaa+4∑cosak+1/2+2∑cosak+cosai）

k=0k=1

n-1n-1

y=ya+h/6´（sinaa+4∑sinak+1/2+2∑sinak+sinai）（10）

k=0k=1

式中：aa為回旋曲線起點a的切線方位角；ak+1/2為里程dxk+1/2點切線方位角；ak為里程dxk點切線方位角；ai為里程dki點切方位角。

對于式(10)，雖然是由回旋曲線導(dǎo)出的，但該式也適用直線段和圓曲線段。

三、復(fù)化辛普森公式的使用說明

為滿足點位坐標(biāo)計算精度，經(jīng)驗算取n=2。無論是直線段、圓曲線段、回旋曲線段，只要將各曲線段中的起點、終點的曲率和里程以及解求點里程dki和各分點里程代入式(2)、(6)、(10)便可獲得待求點dki的坐標(biāo)。在計算時，要注意曲線的偏向。

四、公路匝道坐標(biāo)計算源程序

l1lbl0：t“x1”u“y1”c“at”d“pa”e“pb”a“ch0”b“chn”g“x0”i“y0”：m：lbl1：n=0：p=0：o=0：q=0：s=0：{j}：j“chi”

l2lbl2：n=n+1：h=2（j-a）/m：f=nh/2+a：r=c+180/p´（d+（e-d）/2（b-a）´（f-a））（f-a）：int（n/2）=n/2=>o=o+cosr：p=p+sinr：¹>q=q+cosr：s=s+sinrd

l3n=m=>goto3：¹>goto2dlbl3：x=g+h/6´（cosc+4q+2o-cosr：y=i+h/6´（sinc+4s+2p-sinr）：x：“x=”ùy：“y=”ùpol（x-t，y-u：vùw<0=>w=w+360ù¹>wùdgoto1

x1----測站點x坐標(biāo)

y1----測站點y坐標(biāo)

at----曲線起點方位角

pa----曲線起點曲率（當(dāng)曲線右偏時，ρa取正；當(dāng)曲線左偏時ρa取負。）

pb----曲線終點曲率（當(dāng)曲線右偏時，ρb取正；當(dāng)曲線左偏時ρb取負。）

ch0----曲線起點里程

chn----曲線終點里程

x0----曲線起點x坐標(biāo)

y0----曲線起點y坐標(biāo)

m----求和累積次數(shù)n的2倍

ch----曲線待測點里程

x----曲線待測點x坐標(biāo)

y----曲線待測點y坐標(biāo)

v----測站至待測點間的距離

w----測站至待測點間的方位角

其中r=c+180/p´（d+（e-d）/2（b-a）´（f-a））（f-a）為（2）、（6）式的合并式，計算切線坐標(biāo)方位角；o=o+cosr、p=p+sinr、q=q+cosr、s=s+sinr、x=g+h/6´（cosc+4q+2o-cosr、y=i+h/6´（sinc+4s+2p-sinr）計算點位坐標(biāo)。由于累計時o=o+cosr、p=p+sinr分別多累加了一個cosr、sinr，所以在程序中（10）式最后一項前為負號。

五、坐標(biāo)計算算例

利用萬家寨水利樞紐工程左岸上壩公路一段曲線驗證復(fù)化辛普森公式坐標(biāo)計算程序的正確性。

如圖2：0+488.8~0+552.74為直線段，0+552.74~0+577.74及0+693.17~0+718.17為緩和曲線段，緩和曲線長為l0=25m，0+577.74~0+693.17為圓曲線段，r=85m。

在計算器中找到該程序，先輸入直線段的起算數(shù)據(jù)，以里程0+488.8為起點，求得0+500.0點的坐標(biāo)，然后分別以里程0+552.74、0+577.74為起點計算驗證緩和曲線及圓曲線上各點的坐標(biāo)。

與分別運用直線段、緩和曲線段、圓曲線段計算坐標(biāo)的計算公式所計算的結(jié)果完全相同。

六、結(jié)論

本文利用的式（10）是計算公路匝道點位坐標(biāo)的通用公式。當(dāng)曲線的設(shè)計半徑較小時，為保證點位計算精度，n（即程序中m的1/2倍）的取值可適當(dāng)?shù)拇笮?/p>

利用上例驗算的計算結(jié)果可以說明該程序?qū)τ诠返闹本€段、緩和曲線段、圓曲線段均實用。上例在計算圓曲線起點（0+577.74）參數(shù)時，可利用計算緩和曲線終點（0+577.74）坐標(biāo)后，在計算器中提取x、y的數(shù)值即為圓曲線起點坐標(biāo)值，提取r加360即為圓曲線起點方位角。且程序中已算出待測點至測站的平距和方位角，可利用全站儀自由設(shè)站極坐標(biāo)法放樣，此方法放樣速度快，準(zhǔn)確率高。

參考文獻：

[1]李孟山，李少元.計算公路匝道點位坐標(biāo)的復(fù)化辛普森公式.測繪通報，2000.

[2]卡西歐fx-4500p計算器說明書.