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摘要：通過對(duì)同一棵二叉樹三種遍歷方式的分析，概括出由前序、中序或由中序、后序遍歷結(jié)果快速還原二叉樹的方法。

關(guān)鍵詞：二叉樹;二叉樹的遍歷;二叉排序樹;還原

二叉樹是最為常用的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，它的實(shí)際應(yīng)用非常廣泛。二叉樹的遍歷方式有三種，前序遍歷、中序遍歷、后序遍歷。先序遍歷的順序?yàn)椋篘LR，即先根結(jié)點(diǎn)，然后左子樹、右子樹；中序遍歷順序?yàn)椋篖NR先左子樹，然后根結(jié)點(diǎn)、右子樹；后序遍歷順序?yàn)椋篖RN先左子樹、然后右子樹、根結(jié)點(diǎn)。由前序和中序遍歷、由中序和后序遍歷序列可以唯一確定一棵二叉樹，而由前序和后序遍歷序列不能唯一確定一棵二叉樹。

二叉排序樹對(duì)二叉樹作了進(jìn)一步的限定：根結(jié)點(diǎn)的權(quán)值大于（或小于）左子樹中所有結(jié)點(diǎn)的權(quán)值；根結(jié)點(diǎn)的權(quán)值小于（或大于）其右子樹中所有結(jié)點(diǎn)的權(quán)值。

那么如何根據(jù)三種遍歷序列之間的關(guān)系及二叉排序樹來快速還原一棵二叉樹？下面以二叉樹的前序和中序遍歷序列為基礎(chǔ)，利用二叉排序樹的性質(zhì)，給出快速還原二叉樹的方法。

1由給定前序和中序序列或中序和后序序列還原二叉樹的方法

例：前序序列：ABDECFGH中序序列：DEBACGFH（后序序列：EDBGHFCA）

（1）給中序序列中的每個(gè)結(jié)點(diǎn)從小到大、從左到右賦以權(quán)值，如下：

D（1）E（2）B（3）A（4）C（5）G（6）F（7）H（8）

（2）還原時(shí)讀入的序列為前序序列，從左到右依次讀入序列中的各個(gè)結(jié)點(diǎn)值和相應(yīng)的權(quán)值；

（3）由讀入的序列，根據(jù)第1）步中給定的權(quán)值按照二叉排序樹的構(gòu)造規(guī)則構(gòu)造二叉排序樹。第一個(gè)讀入的結(jié)點(diǎn)為根結(jié)點(diǎn)，其他結(jié)點(diǎn)分別為左右子樹中的結(jié)點(diǎn)。設(shè)根結(jié)點(diǎn)為TT，權(quán)值為NN，當(dāng)前讀入結(jié)點(diǎn)為SS，權(quán)值為MM，若MM（4）將SS插入到TT的左子樹或右子樹的過程中，仍然遵循3）中的規(guī)則，直至左子樹或右子樹為空時(shí)止。

（5）讀入序列結(jié)束時(shí)，二叉樹還原成功。還原后的二叉樹如下圖。

（6）對(duì)于由中序序列和后序序列還原二叉樹是，讀入的序列為后序序列，從右向左讀入，構(gòu)造規(guī)則同上。還原結(jié)果與上述結(jié)果完全一致。2還原方法的確定依據(jù)

二叉樹遍歷過程中，在中序序列中，根結(jié)點(diǎn)的左子樹中的所有結(jié)點(diǎn)都在根結(jié)點(diǎn)的左側(cè)，根結(jié)點(diǎn)的右子樹中的所有結(jié)點(diǎn)都在根結(jié)點(diǎn)的右側(cè)，這個(gè)特點(diǎn)恰好與二叉排序樹具有相同的性質(zhì)；在讀入序列時(shí)，前序序列則從左向右讀，這恰好與遍歷二叉樹的順序相同；后序序列從右向左讀，則按照根結(jié)點(diǎn)、右子樹、左子樹的順序還原。

（1）設(shè)二叉樹共有N個(gè)結(jié)點(diǎn)（N為大于1的正整數(shù)），我們按照還原方法給中序序列中的這N個(gè)結(jié)點(diǎn)分別賦予權(quán)值1,2…N，設(shè)根結(jié)點(diǎn)的權(quán)值為M（1（2）由二叉樹的遍歷規(guī)則可知，權(quán)值為1,2…M-1的結(jié)點(diǎn)為根結(jié)點(diǎn)的左子樹中的結(jié)點(diǎn)，而權(quán)值為M+1,…N的結(jié)點(diǎn)為根結(jié)點(diǎn)的右子樹中的結(jié)點(diǎn)。

（3）將這N個(gè)結(jié)點(diǎn)劃分成3個(gè)子集AA＝（1,2…M-1）BB＝（M）CC＝（M+1,…N），由于前序序列第一個(gè)讀入的結(jié)點(diǎn)必定為二叉根的根結(jié)點(diǎn)，所以BB為根結(jié)點(diǎn)，AA集為左子樹，CC集為右子樹。

（4）同理不斷讀入前序序列中的結(jié)點(diǎn)，依次遞歸還原BB對(duì)應(yīng)的左子樹和CC對(duì)應(yīng)的右子樹，最后將三棵子樹合并成以BB為根結(jié)點(diǎn)、AA的根結(jié)點(diǎn)為BB的左子樹、CC的根結(jié)點(diǎn)為BB的右子樹的一棵二叉排序樹。

（5）同理可以得出，由中序序列和后序序還原二叉樹的規(guī)則也成立。

（6）在還原過程中，讀入序列的順序也遵循也先根結(jié)點(diǎn)，后子樹的規(guī)律。

3總結(jié)

在二叉樹的一些應(yīng)用中，如平衡二叉樹、紅黑樹等，常常要觀察二叉樹的形態(tài)，對(duì)其進(jìn)行判斷并調(diào)整。根據(jù)遍歷序列和二叉排序樹的性質(zhì)快速還原出二叉樹對(duì)于研究相關(guān)的問題有很大的幫助。

參考文獻(xiàn)

［1］嚴(yán)蔚敏，吳偉民.數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)［M］.北京：清華大學(xué)出版社,1996