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目前，數(shù)學(xué)教育界都在關(guān)注《國(guó)家數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(初稿)－－目標(biāo)體系》的研討，其中一個(gè)熱門(mén)的話(huà)題是如何處理中學(xué)幾何課程的改革。爭(zhēng)論焦點(diǎn)之一是如何看待幾何中邏輯推理的教育價(jià)值。為此，筆者認(rèn)為首先應(yīng)該探討一下數(shù)學(xué)證明的教育價(jià)值。

一、問(wèn)題的提出

從一組原始概念和命題(即公理)出發(fā)，經(jīng)過(guò)邏輯推理得到一系列的定理和證明，這就是幾千年來(lái)數(shù)學(xué)學(xué)科所遵循的研究模式。但隨著數(shù)學(xué)的發(fā)展，特別是電子計(jì)算機(jī)的出現(xiàn)，人們對(duì)上述研究模式產(chǎn)生了懷疑。其中最典型的一個(gè)例子就是所謂“四色問(wèn)題”的證明。下面詳細(xì)談一下由“四色問(wèn)題”所引起的爭(zhēng)論。

1852年，英國(guó)數(shù)學(xué)家F.Guthrie(格思里)在給他弟弟的一封信中說(shuō)：“看來(lái)每幅地圖若用不同顏色標(biāo)出鄰國(guó)，只要用四種顏色就夠了。”這就是“四色問(wèn)題”的由來(lái)。一百多年來(lái)數(shù)學(xué)家們不斷努力企圖用數(shù)學(xué)方法來(lái)證明這個(gè)結(jié)論。直至1970年左右，問(wèn)題歸結(jié)為計(jì)算幾千個(gè)不可約構(gòu)形的問(wèn)題〔1〕，但其計(jì)算量之大是難以想像的，因此人們望而生畏。1976年美國(guó)兩位計(jì)算機(jī)專(zhuān)家K.Appel(阿佩爾)和W.Haken(哈肯)找到了一種新的計(jì)算方法。他們用了三臺(tái)IBM計(jì)算機(jī)經(jīng)過(guò)1000多個(gè)小時(shí)(約52天)的運(yùn)算，“證明”了格思里提出的結(jié)論是正確的。因此，“四色問(wèn)題”得到了“證明”。

阿佩爾和哈肯的“證明”引起了人們的爭(zhēng)論。首先，他們的“證明”，其計(jì)算機(jī)程序就達(dá)400多頁(yè)，要用人工去檢驗(yàn)其程序有無(wú)問(wèn)題是十分吃力的。因此，似乎無(wú)人愿意再去重復(fù)阿－哈的“證明”。其次，能否保證計(jì)算機(jī)在計(jì)算過(guò)程中絕對(duì)不出錯(cuò)誤？第三，人們無(wú)法確定計(jì)算出現(xiàn)錯(cuò)誤是計(jì)算機(jī)本身的機(jī)械或電子方面的毛病，還是“證明”過(guò)程本身邏輯有問(wèn)題。

于是就引起了什么是“數(shù)學(xué)證明”的爭(zhēng)論。

有些數(shù)學(xué)家認(rèn)為數(shù)學(xué)證明只能是以人工可重復(fù)檢驗(yàn)的邏輯演繹(計(jì)算也是一種演繹)過(guò)程，否則只能稱(chēng)為計(jì)算機(jī)證明，二者不能混為一談。因此，按這種觀點(diǎn)，“四色問(wèn)題”只能稱(chēng)已得到了計(jì)算機(jī)證明，而不能稱(chēng)已得到了數(shù)學(xué)證明。

但是，另一些數(shù)學(xué)家反駁說(shuō)，用人工來(lái)檢驗(yàn)也可能產(chǎn)生錯(cuò)誤。例如，數(shù)學(xué)史上曾有不少數(shù)學(xué)家(如意大利的Saccheri，法國(guó)的Legendre)聲稱(chēng)他們已“證明”了歐幾里得第五公設(shè)(即歐氏平行公理)。但后來(lái)發(fā)現(xiàn)他們的“證明”均有問(wèn)題，其主要錯(cuò)誤在于他們利用了與第五公設(shè)等價(jià)的命題，因此從邏輯上說(shuō)他們都犯了循環(huán)論證的錯(cuò)誤。

另外人工邏輯演繹證明可以重復(fù)嗎?

眾所周知，群論中有一個(gè)著名的所謂有限單群的分類(lèi)定理，單群的概念是由Galois(伽羅華)在1830年最初給出的。一百多年來(lái)數(shù)學(xué)家企圖對(duì)單群進(jìn)行分類(lèi)。直至20世紀(jì)80年代，由100多位數(shù)學(xué)家組成的非正規(guī)“隊(duì)伍”，他們共同努力列出所有的單群并證明這樣的列舉是完全的。在花費(fèi)了成千上萬(wàn)個(gè)小時(shí)以及發(fā)表了幾百篇論文之后，這項(xiàng)工作才得以完成，證明長(zhǎng)達(dá)15000多頁(yè)!〔2〕試問(wèn)誰(shuí)還愿意(或說(shuō)可能)去重復(fù)他們長(zhǎng)達(dá)15000多頁(yè)的證明?(恐怕連讀一遍都不愿意。)

于是問(wèn)題就不集中在“證明”是否可檢驗(yàn)的問(wèn)題上了，而在于人們?nèi)绾蝸?lái)理解“證明”的真正含義。數(shù)學(xué)證明的功能到底是什么?

二、數(shù)學(xué)家們對(duì)數(shù)學(xué)證明的看法

國(guó)際數(shù)學(xué)教育委員會(huì)(ICMI)在《計(jì)算機(jī)對(duì)數(shù)學(xué)和數(shù)學(xué)教學(xué)的影響》報(bào)告中指出：“借助于計(jì)算機(jī)的證明不應(yīng)該比人工證明加以更多的懷疑……，我們不能認(rèn)為計(jì)算機(jī)將增加錯(cuò)誤證明的數(shù)目，恰恰相反對(duì)計(jì)算機(jī)證明的批評(píng)，例如四色問(wèn)題的證明，主要集中在它僅依靠蠻力和缺乏思考的洞察力?！?jì)算機(jī)證明會(huì)給人們帶來(lái)一些新啟示，會(huì)激勵(lì)人們?nèi)ふ腋玫?、更短的、更富有說(shuō)服力的證明，會(huì)鼓勵(lì)數(shù)學(xué)家去更準(zhǔn)確地把握形式化的想法?！豹?/p>

英國(guó)數(shù)學(xué)家Atiyah(阿蒂亞)在評(píng)論“四色問(wèn)題”的證明時(shí)說(shuō)：“這證明是一大成功，但在美學(xué)觀點(diǎn)上看極令人失望。完全不靠心智創(chuàng)造，全靠機(jī)械的蠻力?？茖W(xué)活動(dòng)的目的是理解客觀世界并進(jìn)而駕馭客觀世界，然而我們能說(shuō)‘理解’了四色問(wèn)題的證明了嗎?”“數(shù)學(xué)是一種藝術(shù)，一種使人擺脫蠻力計(jì)算，而且成熟概念和技巧，使人更輕松地漫游?！薄?〕

Bourbaki(布爾巴基)在《數(shù)學(xué)的建筑》一書(shū)中說(shuō)：“單是驗(yàn)證了一個(gè)數(shù)學(xué)證明的逐步邏輯推導(dǎo)，都沒(méi)有試圖洞察獲得這一連串推導(dǎo)的背后的意念，并不算理解了那個(gè)數(shù)學(xué)證明。”“電子計(jì)算機(jī)證明不滿(mǎn)意者并非它沒(méi)有核實(shí)命題，難道用人工花幾個(gè)月檢驗(yàn)幾百頁(yè)證明便更可靠了嗎?而是它沒(méi)有使我們通過(guò)證明獲得理解。”

C.Hanna說(shuō)：“證明是一種透明的辯論，其中用到的論據(jù)、推理過(guò)程……都清楚地展示給讀者，任由人們公開(kāi)批評(píng)，不必向權(quán)威低頭?！豹?/p>

J.Horgen在《科學(xué)的美國(guó)》雜志上發(fā)表一篇題為《證明的死亡》中指出：“用計(jì)算機(jī)作實(shí)驗(yàn)，來(lái)證明建立定理，如四色問(wèn)題，任何人不能執(zhí)行如此長(zhǎng)的計(jì)算，也不能指望用其他辦法驗(yàn)證它?！虼诉@就突破了傳統(tǒng)證明的觀念，所以，不能再以邏輯推理作為證明數(shù)學(xué)命題的惟一手段?！豹?/p>

R.Wilder(懷特)說(shuō)：“我們不要忘記，所謂證明不只在不同的文化有不同的含義，就連在不同的時(shí)代也有不同的含義。”“很明顯，我們不會(huì)擁有而且極可能永遠(yuǎn)不會(huì)有一個(gè)這樣的證明標(biāo)準(zhǔn)獨(dú)立于時(shí)代，獨(dú)立于所要證明的東西，并且獨(dú)立于使用它的個(gè)人或某個(gè)思想學(xué)派。”

更有甚者，英國(guó)數(shù)學(xué)家哈代(G.H.Hardy)說(shuō)：“嚴(yán)格說(shuō)起來(lái)根本沒(méi)有所謂數(shù)學(xué)證明……，歸根到底我們只是指出一些要點(diǎn)，……李特伍德(是和哈代長(zhǎng)期合作的一位數(shù)學(xué)家棗筆者注)和我都把證明稱(chēng)之為廢話(huà)，它是為打動(dòng)某些人而編造的一堆華麗辭藻，是講演時(shí)來(lái)演示的圖片，是激發(fā)小學(xué)生想像力的工具。”〔4〕

從以上一些數(shù)學(xué)家對(duì)“證明”的看法，我們可以得出這樣的結(jié)論：證明的真正含義并不在于檢驗(yàn)核實(shí)命題，而在于理解命題，啟迪思維，交流思想，導(dǎo)致發(fā)現(xiàn)。

很明顯，如果你能給出某一命題的一個(gè)證明，那么你可以說(shuō)你理解了(或說(shuō)你懂了)這個(gè)命題。如果你能用這個(gè)命題的證法去解決另一個(gè)問(wèn)題，例如，學(xué)生用一個(gè)定理的證法去做一道習(xí)題，那么，你在解決這個(gè)問(wèn)題的思維過(guò)程中必然是受到原來(lái)命題證法的啟發(fā)。為了你和其他人交流對(duì)某一命題的理解，最好的辦法就是你們共同商討對(duì)此命題的證明。下面我們?cè)賮?lái)較詳細(xì)地討論一下證明能夠?qū)е掳l(fā)現(xiàn)的功能。

前面已經(jīng)說(shuō)過(guò)，意大利數(shù)學(xué)家Saccheri和法國(guó)數(shù)學(xué)家Legendre對(duì)第五公設(shè)的“證明”，顯然他們都沒(méi)能證明歐氏平行公理，但是通過(guò)他們的證明使后來(lái)的數(shù)學(xué)家對(duì)歐氏平行公理有了更為深刻、更為清楚的理解，并最后導(dǎo)致了非歐幾何的發(fā)現(xiàn)。因此，Saccheri和Legendre等人被公認(rèn)為發(fā)現(xiàn)非歐幾何的先驅(qū)者。事實(shí)上，Saccheri和Legendre等人的思想方法已經(jīng)打開(kāi)了一條通向非歐幾何的大門(mén)。因?yàn)樗麄儚牡谖骞O(shè)不成立這一假定下推出的許多事實(shí)，恰恰就是非歐幾何中的定理。

計(jì)算機(jī)證明同樣有導(dǎo)致發(fā)現(xiàn)的功能，其中一個(gè)較為典型的例子是分形幾何的創(chuàng)立。早在20世紀(jì)20年代，法國(guó)數(shù)學(xué)家Julia就開(kāi)始著手研究分形幾何，但是由于這種幾何圖形的驚人復(fù)雜性，Julia的研究沉寂了幾十年。直到60年代以后，美國(guó)數(shù)學(xué)家B.Mandelbrot(曼德勃羅)開(kāi)始用計(jì)算機(jī)來(lái)畫(huà)圖，才使分形幾何得到了真正的發(fā)展。因此人們普遍認(rèn)為分形幾何是由曼德勃羅創(chuàng)始的。〔5〕

由于計(jì)算機(jī)的介入，新一代的數(shù)學(xué)家已經(jīng)開(kāi)始在計(jì)算機(jī)上實(shí)驗(yàn)自己的各種思想。甚至他們宣布自己是實(shí)驗(yàn)數(shù)學(xué)家，著手建立數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)室，創(chuàng)辦《實(shí)驗(yàn)數(shù)學(xué)》雜志。同時(shí)他們對(duì)數(shù)學(xué)提出了一些新的看法：

1.對(duì)數(shù)學(xué)追求的是理解，而不是證明；

2.重視發(fā)現(xiàn)與創(chuàng)造，數(shù)學(xué)的本質(zhì)在于思想的充分自由與發(fā)揮人的創(chuàng)造能力；

3.追求對(duì)解決問(wèn)題的數(shù)學(xué)精神，利用數(shù)學(xué)更好地解決、處理復(fù)雜的自然現(xiàn)象。

三、數(shù)學(xué)證明教學(xué)價(jià)值的新理解

如前所述數(shù)學(xué)證明的真諦不在于能證明命題的真假，而在于它能啟發(fā)人們對(duì)命題有更深刻的理解，并能導(dǎo)致發(fā)現(xiàn)，因此這就突破了傳統(tǒng)教學(xué)中對(duì)數(shù)學(xué)證明的觀念。特別是由于計(jì)算機(jī)介入了證明之中，用機(jī)器證明產(chǎn)生定理(如四色問(wèn)題等)，所以人們不再以邏輯推理作為證明數(shù)學(xué)命題的惟一手段，于是提出“實(shí)驗(yàn)證明”的想法，即實(shí)驗(yàn)也應(yīng)該成為判斷數(shù)學(xué)命題真假的一種手段。人們不再一味地追求證明所得出的結(jié)論，而在于通過(guò)證明的過(guò)程去追求對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的真正理解。

另外，從認(rèn)知理論的觀點(diǎn)來(lái)看，數(shù)學(xué)知識(shí)不能簡(jiǎn)單地由教師傳遞給學(xué)生，而應(yīng)該通過(guò)學(xué)生自己認(rèn)知結(jié)構(gòu)的改變?nèi)ソ?gòu)學(xué)生自己對(duì)數(shù)學(xué)的理解。因此，在數(shù)學(xué)中如果只重視邏輯演繹式的數(shù)學(xué)證明將無(wú)助于學(xué)生真正掌握數(shù)學(xué)知識(shí)，無(wú)助于學(xué)生形成良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。命題教學(xué)的目的不應(yīng)是去核實(shí)命題的正確性，而是要讓學(xué)生通過(guò)證明去理解命題，并能重新構(gòu)建學(xué)生自己的新認(rèn)知結(jié)構(gòu)。 “公務(wù)員之家”版權(quán)所有

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綜合以上觀點(diǎn)，我們認(rèn)為數(shù)學(xué)證明的教育價(jià)值在于：

1.通過(guò)證明的教與學(xué)，使學(xué)生理解相關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí)；

2.通過(guò)證明，訓(xùn)練和培養(yǎng)學(xué)生的思維能力(包括邏輯的和非邏輯的思維)以及數(shù)學(xué)交流能力；

3.通過(guò)證明，幫助學(xué)生尋找新舊知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系，使學(xué)生獲得的知識(shí)系統(tǒng)化；

4.通過(guò)證明，使學(xué)生更牢固地掌握已學(xué)到的知識(shí)，并盡可能讓學(xué)生自己去發(fā)現(xiàn)新知識(shí)。

根據(jù)以上觀點(diǎn)，我們?cè)跀?shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)該重視非邏輯證明的教學(xué)；適當(dāng)降低和減少邏輯演繹在數(shù)學(xué)教學(xué)中的地位與時(shí)間，加強(qiáng)實(shí)驗(yàn)、猜測(cè)、類(lèi)比、歸納等合情推理在數(shù)學(xué)教學(xué)中的地位與作用。這里需要注意的是要合理選擇學(xué)生能夠接受的邏輯證明與非邏輯證明的方法，強(qiáng)調(diào)一種、排斥另一種證明方法都會(huì)妨礙學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的認(rèn)識(shí)與理解。

注：〔1〕K.Devlin著、李文林等譯：《數(shù)學(xué)：新的黃金時(shí)代》，上海教育出版社版。

〔2〕申大維等譯：《數(shù)學(xué)的原理與實(shí)踐》，高等教育出版社1998版。

〔3〕M.阿蒂亞著：《數(shù)學(xué)的統(tǒng)一性》，江蘇教育出版社版。

〔4〕G.H.哈代著：《一個(gè)數(shù)學(xué)家的辯白》，江蘇教育出版社版。

〔5〕王健吾著：《數(shù)學(xué)思維方法引論》，安徽教育出版社版。