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非常規(guī)數(shù)學(xué)問(wèn)題需要非常規(guī)的特殊解法,本文就最常用的圖解法、賦值法、抽屜原理及邏輯推理等四種方法,結(jié)合實(shí)際例子作一探討。

1圖解法

例1(柳卡問(wèn)題)假設(shè)每天中午有一艘輪船由哈佛開(kāi)往紐約,同時(shí)也有一艘輪船由紐約開(kāi)往哈佛,航行時(shí)間都為七晝夜,且均沿同一航線航行。問(wèn)今天中午從哈佛開(kāi)出的一艘輪船將會(huì)遇到幾艘從紐約開(kāi)來(lái)的同一公司的輪船?

這是十九世紀(jì)在一次世界科學(xué)會(huì)議期間,法國(guó)數(shù)學(xué)家柳卡向在場(chǎng)的數(shù)學(xué)家們提出的一個(gè)問(wèn)題,它難倒了在場(chǎng)的所有數(shù)學(xué)家,連柳卡本人也沒(méi)有徹底解決。后來(lái)有一位數(shù)學(xué)家通過(guò)下面的圖解法,才使問(wèn)題最終得到解決。

這種方法是:用兩條橫線分別表示紐約港和哈佛港,某天中午(記作第0天)從哈佛出發(fā)的輪船在第7天中午到達(dá)紐約,用從下到上的一條斜線表示。用從上到下的斜線依次表示每天中午由紐約開(kāi)出的輪船經(jīng)7晝夜到達(dá)哈佛。顯然兩種斜線的交點(diǎn)總數(shù)就是相遇的輪船數(shù),共15艘。

值得注意的是,上述圖解法,不但給出這一問(wèn)題的一種簡(jiǎn)單、美妙、不用數(shù)字計(jì)算的非常規(guī)解法,更有意義的是它可作為一種模型,來(lái)解決這一類(lèi)型的問(wèn)題,請(qǐng)看下例:

例2某路電車(chē),由A站開(kāi)往B站,每5分鐘發(fā)一輛車(chē),全程為20分鐘。有一人騎車(chē)從B站到A站,在他出發(fā)時(shí)恰有一輛電車(chē)進(jìn)站,當(dāng)他到達(dá)A站時(shí)又恰有一輛電車(chē)出站,問(wèn):

(1)若騎車(chē)人在中途共遇到對(duì)面開(kāi)來(lái)的10輛電車(chē),則他出發(fā)后多少分鐘到達(dá)A站?

(2)如果騎車(chē)人由B站到A站共用50分鐘時(shí)間,則他一共遇到多少輛迎面開(kāi)來(lái)的電車(chē)?

(3)若騎車(chē)人同某輛電車(chē)同時(shí)出發(fā)由A站返回B站,騎車(chē)人用40分鐘到達(dá)B站時(shí)也恰有一輛電車(chē)進(jìn)站,問(wèn)在中途有多少輛電車(chē)超過(guò)他?

解:仿柳卡問(wèn)題圖解法,畫(huà)出下面的圖:

由圖可知:(1)騎車(chē)人從B站總共遇到12輛從對(duì)面開(kāi)來(lái)的電車(chē)到達(dá)A站所用的時(shí)間,恰好等于A站開(kāi)出7輛車(chē)的時(shí)間,即35分鐘。

(2)若騎車(chē)人一共用50分鐘走完全程(即由0到10的那條由下到上的斜線),可知一共遇到15輛電車(chē)。

(3)由上到下畫(huà)一條斜線(由0到8)即表示騎車(chē)人由A站出發(fā)40分鐘后到達(dá)B站,可見(jiàn)中途共有3輛電車(chē)超過(guò)他。

2賦值法

賦值法解題,是對(duì)本身與數(shù)量無(wú)關(guān)的問(wèn)題巧妙地賦于某些特殊的數(shù)值(如±1、0與1等)將其轉(zhuǎn)化成數(shù)量問(wèn)題,然后利用整除性、奇偶性或正負(fù)號(hào)等的討論,使問(wèn)題得以解決。

例3在圓周上均勻地放4枚圍棋子,然后作如下操作:若原來(lái)相鄰的兩枚棋子是同色,就在其間放一枚黑子;若是異色,就在其間放一枚白子,然后將原來(lái)的4枚棋子取走,以上算一次操作。證明:不論原來(lái)4枚棋子的黑白顏色如何排列,最多只須作4次操作,就可使剩下的4枚棋子全是黑子。

解因?yàn)橹挥泻诎變缮遄?所以可以用1記黑子,-1記白子。又規(guī)定在同色兩子之間放黑子,正好符合1·1=1,(-1)(-1)=1;在異色兩子之間放白子,正好符合1·(-1)=(-1)·1=-1,因此,這樣賦值后就將原來(lái)的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為+1和-1的討論問(wèn)題。

將圓周上的4枚棋子依次記為x1、x2、x3、x4(繼續(xù)數(shù)下去記x5=x1,x6=x2……)按上面的賦值方法可知:

x2i=1,xixi+1=1xi與xi+1同色-1xi與xi+1異色

這樣,判斷在xi與xi+1兩棋子之間該放黑子還是白子,就由xi·xi+1的乘積符號(hào)的正、負(fù)來(lái)確定;乘積為+1時(shí)放黑子,為-1時(shí)放白子。按此方法,將各次操作后的正、負(fù)號(hào)列成下表:(將圓周上的棋子排在直線上)