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內(nèi)容摘要：本文研究了電子商務(wù)環(huán)境中，當(dāng)拍賣參與者不確定時(shí)拍賣人的最優(yōu)拍賣方案的設(shè)計(jì)和特征。我們用泊松過程來描述拍賣參與者得到達(dá)，比較了兩種拍賣的停止規(guī)則下的最優(yōu)拍賣，并用例子進(jìn)行了說明和比較。

關(guān)鍵詞：拍賣泊松過程停止規(guī)則

拍賣這種交易方式有著悠久的歷史，拍賣這種交易方式起源很早，根據(jù)記載公元前500年的中亞巴比倫地區(qū)，男人們通過拍賣的方式來得到妻子。拍賣在古羅馬也很盛行，人們用拍賣的方式出售戰(zhàn)利品，貨物，地產(chǎn)甚至王位。關(guān)于拍賣的形式和歷史，在Cassady(1967)的書中有很詳細(xì)的記載，可惜這本書國內(nèi)不易見到。古往今來，被拍賣的物品也形形色色，從古玩字畫到日常用品，從農(nóng)產(chǎn)品到海鮮，政府債券，營業(yè)執(zhí)照，電波頻率的各種有形無形的物品無所不報(bào)。最近幾年，拍賣被用來出售政府資產(chǎn)，電信執(zhí)照以及電力市場的產(chǎn)品引起了人們的關(guān)注。另一方面，因特網(wǎng)和電子商務(wù)的發(fā)展，網(wǎng)絡(luò)拍賣也日漸興盛。不但出現(xiàn)了專業(yè)的拍賣網(wǎng)站，許多交易也采用拍賣的方式。

拍賣理論是最近二十年蓬勃發(fā)展的經(jīng)濟(jì)學(xué)分枝，1996年現(xiàn)代拍賣理論的奠基人Vikery獲得了諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)就是一個(gè)重要的標(biāo)志。拍賣的方式起源很早，但是有記載的理論研究卻是從上世紀(jì)的五六十年代開始的。Vikery提出了正式的拍賣模型，并得到了著名的“收益等價(jià)原理”。Vikery的模型是私人價(jià)值(Privatevalue)模型，不久之后，Wilson提出了公共價(jià)值模型(Commonvalue)，對于各種拍賣的研究出現(xiàn)在各種管理學(xué)的雜志中。到了八十年代，拍賣理論的研究也出現(xiàn)了新的重要進(jìn)展。Reliey和Samuelson(1981),Myerson(1981)同時(shí)證明了更加一般的“收益等價(jià)原理”：在任何兩個(gè)不同私人價(jià)值拍賣模型中，如果物品總是由評價(jià)最高的人得到，并且評價(jià)最低的人在兩個(gè)模型的收益是一樣的，那么這兩中拍賣產(chǎn)生相同的預(yù)期收益。而且，Myerson(1981)也證明了一般的最優(yōu)拍賣機(jī)制的設(shè)計(jì)要滿足的條件。同時(shí)，Milgrom和Weber(1982)提出了“AffiliatedValue”模型，統(tǒng)一了私人價(jià)值和公共價(jià)值模型，為拍賣理論的研究提供了新的框架。

收益等價(jià)原理成為拍賣理論發(fā)展的基準(zhǔn)，之后的理論進(jìn)展在于放松假設(shè)原理的假設(shè)條件。收益等價(jià)成立的條件有：（1）參與者風(fēng)險(xiǎn)中性。不論是拍賣者（auctioneer）,還是竟價(jià)者（bidder）都是風(fēng)險(xiǎn)中性。（2）只有一件物品拍賣。（3）不同竟價(jià)者對拍賣品的評價(jià)是獨(dú)立的私人評價(jià)，不受其他人評價(jià)的影響。（4）竟價(jià)者之間不存在合謀和勾結(jié)。（5）竟價(jià)者之間是對稱的，他們的評價(jià)有相同的分布，對于拍賣的結(jié)構(gòu)有相同的信息。同時(shí)，文獻(xiàn)提出了四種標(biāo)準(zhǔn)的拍賣模型：英式拍賣，荷蘭式拍賣，第一價(jià)格拍賣和第二價(jià)格拍賣。其中。前兩種拍賣是公開拍賣，后兩種拍賣是密封價(jià)格拍賣。在所有放松收益等價(jià)原理?xiàng)l件的研究中，往往考察四種標(biāo)準(zhǔn)拍賣的收益比較情況，得到的結(jié)論有時(shí)是英國式拍賣最優(yōu)，有時(shí)是第一價(jià)格最優(yōu)。拍賣的機(jī)制設(shè)計(jì)有重要的影響，沒有普遍最優(yōu)的拍賣方式。一方面，隨著上世紀(jì)九十年代政府用拍賣的方式來頒發(fā)電信執(zhí)照，電力管制和進(jìn)行公用事業(yè)的私有化，現(xiàn)實(shí)的經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象對拍賣理論提出了新的問題；另一方面，隨著理論的進(jìn)展，拍賣理論的研究突破了單一物品拍賣的研究，討論同時(shí)多單位產(chǎn)品同時(shí)拍賣的問題。早期的研究中關(guān)注的是各種拍賣形式的收益問題，逐漸轉(zhuǎn)移到討論最有效率的拍賣的問題：即拍賣的結(jié)果是對物品評價(jià)最高的竟價(jià)者獲得拍賣品。這反映了在政府主持的拍賣中效率問題是考慮的關(guān)鍵，是理論和實(shí)踐結(jié)合的顯著例子。

不但政府方面重視拍賣，隨著電子商務(wù)和網(wǎng)絡(luò)交易的發(fā)展，網(wǎng)上拍賣的日漸發(fā)展對理論也提出了要求。在最優(yōu)拍賣理論的研究中，拍賣的參與者的數(shù)目是固定的。從機(jī)制設(shè)計(jì)的角度來看，拍賣就是一組規(guī)則，決定拍賣的嬴家和所有參與者的支付，Myerson(1981)證明的一般最優(yōu)拍賣機(jī)制中參與者的數(shù)目就是固定的。在重要物品的拍賣時(shí)，通常要有一段籌備時(shí)間，為傳播拍賣的消息以便吸引足夠的竟價(jià)者，使拍賣順利進(jìn)行。但是在網(wǎng)絡(luò)的環(huán)境中，參與拍賣的參加者是可以變化的，拍賣的參與者受瀏覽拍賣網(wǎng)頁的人數(shù)的影響，可以認(rèn)為這是一個(gè)隨機(jī)變量，因而在拍賣的設(shè)計(jì)時(shí)要考慮這個(gè)因素。對于這種情況，我們可以用下面的一個(gè)例子來說明。假設(shè)你有一臺隨身聽，現(xiàn)在的潮流是聽各種款式的MP3播放機(jī)，你也想加入潮流之中，但是你的現(xiàn)款不夠。這時(shí)，你想到把隨身聽賣掉。你經(jīng)常上網(wǎng)，知道網(wǎng)上拍賣很流行，你就想把它拍賣掉。你需要錢，希望隨身聽越快賣掉越好，但是你也希望能賣一個(gè)好價(jià)錢。你開始拍賣時(shí)不知道會(huì)有多少人參加拍賣，但你知道上網(wǎng)的人中參與你的拍賣的人有一定的分布。你可以確定拍賣持續(xù)的時(shí)間來進(jìn)行拍賣，你也可能等不急，只要有一定的參與者可以結(jié)束拍賣。這樣，就有兩種不同的規(guī)則可以結(jié)束拍賣，在這不同的規(guī)則下，最優(yōu)的拍賣應(yīng)當(dāng)是什么樣的形式？由于參與者到達(dá)是隨機(jī)的，你要在人數(shù)和時(shí)間之間進(jìn)行權(quán)衡。

本文研究這樣一類模型，參與網(wǎng)上拍賣的竟價(jià)者服從泊松過程，拍賣者具有時(shí)間偏好的情況下，兩種拍賣結(jié)束規(guī)則下的最優(yōu)拍賣設(shè)計(jì)。第一種規(guī)則是“定時(shí)規(guī)則”：規(guī)定拍賣開始和結(jié)束的時(shí)間，拍賣持續(xù)的時(shí)間是事前規(guī)定的，在拍賣進(jìn)行的時(shí)間內(nèi)，參與者服從泊松分布。第二種規(guī)則是“定員規(guī)則”：規(guī)定拍賣開始的時(shí)間和參與者數(shù)目，當(dāng)拍賣持續(xù)到參與者達(dá)到規(guī)定的數(shù)目時(shí)拍賣結(jié)束。在文章接下來的部分中，第二節(jié)模型的基本定義和假設(shè)。為了便于比較和分析，第三節(jié)是參與者數(shù)目固定時(shí)最優(yōu)拍賣機(jī)制的設(shè)計(jì)，第四節(jié)和第五節(jié)分別討論“定員規(guī)則”和“定時(shí)規(guī)則”下的最優(yōu)拍賣機(jī)制設(shè)計(jì)問題，第六節(jié)是一個(gè)例子，最后一節(jié)是對文章的總結(jié)和評注。

二、模型

這里我們使用私人價(jià)值的框架，參與者都是風(fēng)險(xiǎn)中型的，只拍賣一單位的物品。對于此物品，拍賣者的估價(jià)為，拍賣者的貝努利函數(shù)，這里是拍賣者的時(shí)間偏好率，是拍賣結(jié)束的時(shí)間，我們假設(shè)拍賣結(jié)束時(shí)，得到收入。這樣，拍賣者的效用函數(shù)=，這里，其中表示“定時(shí)規(guī)則”，表示“定員規(guī)則”，不同的規(guī)則下有不同的參與者數(shù)目和拍賣結(jié)束時(shí)刻。

我們假設(shè)當(dāng)拍賣開始后，到達(dá)的買者的數(shù)目服從參數(shù)為的泊松過程，即有：（1）；

（2）；

（3）有獨(dú)立增量的性質(zhì)。

這里，我們記拍賣開始的時(shí)刻為0，表示到時(shí)刻時(shí)買者的數(shù)目。是泊松過程的參數(shù)，表示單位時(shí)間到達(dá)的人數(shù)。下面我們定義拍賣的停止規(guī)則：

“定時(shí)規(guī)則”是一個(gè)實(shí)數(shù)，表示拍賣持續(xù)到時(shí)刻停止，拍賣者決定拍賣停止。（2.1）

“定員規(guī)則”是一個(gè)整數(shù),表示當(dāng)參與者的數(shù)目達(dá)到時(shí)，拍賣者決定拍賣結(jié)束。（2.2）

我們可以看到，在“定時(shí)規(guī)則”下，拍賣持續(xù)的時(shí)間是固定的，但是參與者的數(shù)目是不確定的，根據(jù)泊松過程的性質(zhì)我們知道在有限的時(shí)間內(nèi)參與人數(shù)也是有限的；在“定員規(guī)則”下，參與者的數(shù)目是確定的但是拍賣持續(xù)的時(shí)間是不確定的。我們令表示在“定員規(guī)則”下拍賣結(jié)束的時(shí)刻，則根據(jù)泊松過程的性質(zhì)我們知道服從參數(shù)為和的伽馬分布，分布密度函數(shù)為，，平均等待時(shí)間為有限值。

令表示拍賣結(jié)束時(shí)竟價(jià)者的集合。表示拍賣參與者的數(shù)目，在不同的規(guī)則下，有不同的含義。在“定時(shí)規(guī)則”下，是個(gè)隨機(jī)變量，。在“定員規(guī)則”下=，是一個(gè)固定的數(shù)。

對于每一個(gè)，參與者的私人評價(jià)為，貝努利函數(shù)。這里有連續(xù)分布表示評價(jià)小于的概率，具有連續(xù)密度函數(shù)，分布的支撐為=，在上嚴(yán)格正。同時(shí)，我們假設(shè)是的單調(diào)增函數(shù)。我們用表示拍賣結(jié)束時(shí)所有可能的參與者類型組合的笛卡兒集，。。對于每個(gè)，我們用表示其他參與者所有可能的類型組合。我們假設(shè)參與者之間的評價(jià)是獨(dú)立的，并且都獨(dú)立于到達(dá)的泊松過程。

三、固定數(shù)目參與者的最優(yōu)機(jī)制

根據(jù)顯示原理（revelationprinciple）(Myerson,1981)我們可以考慮直接顯示機(jī)制。拍賣者設(shè)計(jì)每個(gè)參與者得到物品得到概率和支付滿足：

，和（3.1）

在拍賣結(jié)束時(shí)拍賣者根據(jù)每個(gè)參與者報(bào)告他的私人評價(jià)，計(jì)算和，我們用表示概率組合，表示參與者的支付組合。這樣，一個(gè)機(jī)制就是組合。

在這樣一個(gè)機(jī)制下，參與者報(bào)告時(shí)的預(yù)期贏得物品的條件概率為，條件預(yù)期支付為。參與者的效用函數(shù)為=-，由于參與是自愿的，任何可行的機(jī)制都要滿足參與者的參與約束：對，，有（3.2）

在這個(gè)機(jī)制下我們這里考慮的拍賣人面對固定個(gè)數(shù)的買者，這里拍賣人面對的不確定性只是賣者評價(jià)的不確定性，拍賣人的收入為

（3.3）

由于參與人對拍賣品的評價(jià)為私人信息，任何機(jī)制都必須使得參與者真實(shí)報(bào)告是一個(gè)Nash均衡,滿足激勵(lì)相容機(jī)制:

-對任意的，，（3.4）

這樣，在拍賣的直接機(jī)制中，一個(gè)可行機(jī)制就是組合滿足（3.1）（3.2）（3.4）。

使用通常的技巧，充分的利用激勵(lì)相容約束我們可以得到下面的引理：

引理1是可行機(jī)制當(dāng)且僅當(dāng)下面的條件滿足：

如果，那么有，、，（3.5）

，，（3.6）

（3.7）

以及，和（3.1）

這個(gè)引理充分刻畫了可行機(jī)制的特征，這樣拍賣者的問題就是選擇滿足引理1的機(jī)制，來最大化他的預(yù)期收益（3.3）。利用條件（3.6）和，的定義我們得到拍賣者的收入為

=（3.8）

這樣一來，拍賣者的問題就是在滿足約束（3.1）（3.5）（3.7）的機(jī)制中選擇來最大化收入（3.8）。解這個(gè)最大化問題，由于問題關(guān)于是凹函數(shù)，而且是線性的，我們在上逐點(diǎn)最大化就得到了引理2，就是拍賣人的最優(yōu)機(jī)制。

引理2是最優(yōu)機(jī)制當(dāng)且僅當(dāng)滿足約束（3.5）（3.1）最大化

并且，，（3.9）

（3.7）

以及，和（3.1）

這樣，由引理2和我們關(guān)于參與者評價(jià)分布的假設(shè)就得到固定數(shù)目參與者時(shí)的最優(yōu)拍賣機(jī)制。我們可以知道，，由于是線性函數(shù)，因而>時(shí)，拍賣人保留物品不予售出，僅當(dāng)>時(shí)，>0?？梢越忉尀檫呺H收益，只把物品分配給具有最高邊際收益的買者。由于我們假設(shè)是單調(diào)遞增的，對任給，最優(yōu)機(jī)制就是最大化同時(shí)滿足約束，。由的單調(diào)性，我們可以知道也是單調(diào)的，因而滿足約束（3.5）。

為了得到參與者的支付函數(shù)，對任何關(guān)于其他人的估價(jià)的向量，我們定義

，是參與者相對于的最小成功出價(jià)。這樣我們就可以根據(jù)（3.9）和上邊的分析得到下面的推論。

推論1當(dāng)參與者數(shù)目固定時(shí)，最優(yōu)拍賣機(jī)制的結(jié)構(gòu)如下：

參與者獲得成功的概率滿足：

參與者的支付

最優(yōu)機(jī)制滿足具有最高邊際評價(jià)的買者的到物品，他的支付是最小獲勝評價(jià)。由于分布是連續(xù)的，出現(xiàn)相同邊際評價(jià)的概率為0。

四、“定員規(guī)則”下的最優(yōu)機(jī)制

這里和整篇文章一致，我們假設(shè)拍賣者有完全的承諾能力（fullcommitment）,拍賣者對物品的評價(jià)是公共知識。在“定員規(guī)則”下，拍賣人在事前就確定了拍賣的參與人，拍賣人對參與者的人數(shù)沒有不確定；拍賣人在這時(shí)不確定拍賣停止的時(shí)刻。由于買者到達(dá)的時(shí)刻和他的信息的分布是獨(dú)立的，因而拍賣人在拍賣停止時(shí)的參與人數(shù)事固定的，因而在給定人數(shù)時(shí)，第三節(jié)的推論1的機(jī)制是最優(yōu)的。

由于在“定員規(guī)則”和第三節(jié)分析的不同之處在于前邊的參與者人數(shù)是固定的，在這時(shí)我們要選擇拍賣的結(jié)束人數(shù)。這時(shí)，一個(gè)可行的拍賣機(jī)制就是一個(gè)三元組（，，），其中滿足約束（2.2），給定，（，）滿足引理1。此時(shí)的可行機(jī)制由停止規(guī)則，物品分配概率向量和支付向量組成。

從第二節(jié)我們知道=，由于評價(jià)和到達(dá)時(shí)間是獨(dú)立的對任意可行的機(jī)制，我們知道和是獨(dú)立的，因而對任一可行機(jī)制有：

==（4.1）

這樣，拍賣者就可以在可行機(jī)制中進(jìn)行選擇最大化他的效用（4.1）。這一目的可以通過兩步來的到，首先給定，計(jì)算最優(yōu)機(jī)制得到和（，）,這里（，）滿足推論1。第二步我們計(jì)算最優(yōu)的最大化導(dǎo)出的效用=，就可以得到最優(yōu)的停止人數(shù)。

這樣我們就得到：

引理3“定員規(guī)則”下的最優(yōu)機(jī)制是如下的三元組（，，），滿足條件：

（1）；

（2）給定，（，）滿足推論1。

由于，不一定具有可微性，同時(shí)沒有明確參加者評價(jià)的分布函數(shù)時(shí)，不易得到一般的結(jié)論。后面在第六節(jié)我們用例子來說明機(jī)制的結(jié)構(gòu)。簡單分析可以知道，時(shí)間偏好對機(jī)制的選擇有影響。前邊我們也看到，時(shí)間偏好對分配機(jī)制的影響只是通過停止規(guī)則來發(fā)生作用。

六、“定時(shí)規(guī)則”下的最優(yōu)機(jī)制

和“定員規(guī)則”不同，在“定時(shí)規(guī)則”下拍賣結(jié)束時(shí)拍賣參與人的數(shù)目時(shí)不確定的。拍賣人在事前確定了拍賣的停止時(shí)刻，拍賣人對參與者的人數(shù)是不確定的；拍賣人對拍賣停止的時(shí)刻的選擇就是對參與人數(shù)概率分布的選擇。由于買者到達(dá)的時(shí)刻和他的信息的分布時(shí)獨(dú)立的，同樣拍賣人在給定拍賣停止時(shí)的參與人數(shù)固定時(shí)，第三節(jié)的推論1的機(jī)制是最優(yōu)的。

由于在“定員規(guī)則”和第三節(jié)分析的不同之處在于后者的參與者人數(shù)是固定的，在這里我們要選擇拍賣的結(jié)束時(shí)間。不同的結(jié)束時(shí)間對應(yīng)著結(jié)束時(shí)參與人數(shù)不同的概率分布。

“定時(shí)規(guī)則”下一個(gè)可行的拍賣機(jī)制就是一個(gè)三元組（，，），其中滿足約束（2.2）。這里，與前邊的不同之處在于，拍賣者事前無法確定結(jié)束時(shí)刻買者的數(shù)目，于是它的可行的配置必須對每一個(gè)可能的參與者數(shù)目都給出規(guī)定。（，）=就是結(jié)束時(shí)刻人數(shù)的函數(shù)，對于每一個(gè)給定，滿足引理1。此時(shí)的可行機(jī)制由停止規(guī)則，物品分配概率向量和支付向量組成。

從第二節(jié)我們知道=，由于評價(jià)和到達(dá)時(shí)間是獨(dú)立的對任意可行的機(jī)制，我們知道是事前選擇的，因而對任一可行機(jī)制有：

=（5.1）

這里我們看到，拍賣者獲得收入的時(shí)刻時(shí)確定的這樣，拍賣者就可以在可行機(jī)制中進(jìn)行選擇最大化他的效用（5.1）。這一目的可以通過兩步來的到，首先給定，計(jì)算最優(yōu)機(jī)制得到最優(yōu)機(jī)制下的條件效用和條件最優(yōu)機(jī)制（，）,這里（，）滿足推論1。第二步我們選擇最優(yōu)的來選擇參與人數(shù)的分布萊最大化的效用=，就可以得到最優(yōu)的停止時(shí)間。

這樣我們就得到：

引理4“定時(shí)規(guī)則”下的最優(yōu)機(jī)制是如下的三元組（，，），滿足條件：

（1）；

（2）給定，對結(jié)束時(shí)刻的任意人數(shù),滿足推論1。

由于，不一定具有可微性，同時(shí)沒有明確參加者評價(jià)的分布函數(shù)時(shí)，我們選擇停止時(shí)刻是在不同概率分布之間選擇，我們可以預(yù)料這使得最大化問題更復(fù)雜。我們甚至不能一般性的證明解的存在性。在第六節(jié)我們用例子來說明機(jī)制的復(fù)雜性。

七、一個(gè)簡單的例子

這里，我們假設(shè)買者是對稱的，他們的私人評價(jià)服從相同的分布，都是服從區(qū)間上的均勻分布。拍賣者對拍賣品的估價(jià)為=0。

（i）在給定參與者人數(shù)為的時(shí)候，我們可以計(jì)算出拍賣者最優(yōu)的預(yù)期收益=，同時(shí)，我們可得到最優(yōu)的概率分配機(jī)制，

，，(7.1)

我們可以看到評價(jià)最高的參與者獲得了拍賣的勝利。此時(shí)最優(yōu)的支付為

，(7.2)

這里，={1，2，…..，n}表示買者的集合,勝者的支付為最高的失敗價(jià)格。這和通常的第二價(jià)格拍賣是一致的，可以通過第二價(jià)格拍賣來執(zhí)行最優(yōu)機(jī)制。

(ii)在“定員規(guī)則”下，我們計(jì)算最優(yōu)的機(jī)制。首先，給定任一可行的停止規(guī)則，我們可以計(jì)算得到停止時(shí)的期望收益為=，這樣，在這種規(guī)則下。拍賣者的效用函數(shù)

==

接下來選取停止人數(shù)最大化，我們得到。從這里我們可以看出，最優(yōu)停止人數(shù)的選擇受拍賣人的時(shí)間偏好和買者到達(dá)特征決定的。當(dāng)，有，當(dāng)拍賣人沒有耐心時(shí)，他會(huì)和遇到的第一個(gè)人交易，他的期望收益為0。當(dāng)，有，拍賣人不存在時(shí)間偏好的時(shí)候，他會(huì)充分利用買者的特征，等待足夠多的買者，得到更大的效用。在本例中，當(dāng)，時(shí)，拍賣者可以得到最高的收益1。但是為了得到這一收益，拍賣者的平均等待時(shí)間要接近取窮大。

（iii）在“定時(shí)規(guī)則”下，首先，給定任一可行的停止規(guī)則，我們可以計(jì)算得到停止時(shí)參與人數(shù)為=時(shí)的，期望收益為=，這樣，在這種規(guī)則下。拍賣者的效用函數(shù)

===

我們可以看到，簡化的效用函數(shù)是關(guān)于停止時(shí)刻的一個(gè)復(fù)雜的超越函數(shù)，我們沒有辦法得到關(guān)于最優(yōu)停止時(shí)間的解析解，但是如果知道具體參數(shù)的值，我們可以用數(shù)值解法來得到最優(yōu)的時(shí)刻。為了說明最優(yōu)時(shí)刻的存在性，我們?nèi)?shù)，，作圖如下，說明確實(shí)存在最優(yōu)的時(shí)刻。這一性質(zhì)是普遍成立的。

=Exp[-0.5t](1–2(1-Exp[-2t])/(2t)),{t,0,10}

當(dāng)然，我們可以假設(shè)其他的分布函數(shù)計(jì)算最優(yōu)拍賣機(jī)制的特征，不同的停止規(guī)則造成拍賣結(jié)束時(shí)不同的參與人數(shù)分布，這是本文考察的兩類停止規(guī)則的最大的不同。

八、結(jié)語

拍賣理論仍然是一個(gè)具有廣泛發(fā)展前景的研究領(lǐng)域，仍然有許多為解決的問題需要討論同時(shí)隨著拍賣實(shí)踐的發(fā)展，也不斷的出現(xiàn)新的問題。本文假設(shè)參與拍賣的買者服從泊松分布，比較了兩種不同停止規(guī)則下的最優(yōu)設(shè)計(jì)問題。本文沒有涉及的一個(gè)問題是這兩種規(guī)則是否等價(jià)：即給定一種規(guī)則下達(dá)到的效用，存在另一種規(guī)則下的一個(gè)選擇達(dá)到同樣的效用；或者這兩種規(guī)則中的一種帶來更大的收益。更進(jìn)一步的，是否存在一個(gè)一般的最優(yōu)的停止規(guī)則，而不僅僅局限在這兩種規(guī)則中進(jìn)行選擇？這需要進(jìn)一步]研究的方向。

另一方面，本文沒有涉及的內(nèi)容是買者的策略問題，即沒有考慮最有機(jī)制如何實(shí)施的問題。本文中，買者只是被動(dòng)的報(bào)告評價(jià)。如果買者到達(dá)是外生隨機(jī)的，在許多常用的拍賣形式中就會(huì)有一個(gè)買者選擇出價(jià)時(shí)間的問題。這在“定時(shí)規(guī)則”下就是買者出價(jià)時(shí)間的選擇，這超出了本文的框架。對于這一現(xiàn)象的研究可以參看Roth(1999)文章對于Ebay和Amzon兩大拍賣網(wǎng)站的拍賣中買這出價(jià)時(shí)間現(xiàn)象的有趣分析。

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