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1引言

文獻分別通過實例探討了全息法在大學數(shù)學概念、定理教學中的應用.指出運用全息方法進行大學數(shù)學教學有利于發(fā)揮學生學習的主動性，提高學生的創(chuàng)造性思維能力；文獻[7]基于全息理論視角，針對當前存在于課堂教學評價中存在的缺陷，建立一個可操作的全息課堂教學評價技術框架.由以上可知，許多數(shù)學教育工作者全息理論在大學數(shù)學教學中的重要性有了充分的認識，但是在操作層面上，只舉例出高等數(shù)學教學中的概念，定理教學中的應用.但對一些全息理論的基本特征，如局部是整體的全息元、已知是未知的全息元、有限是無限的全息元；數(shù)形互為全息元、好的數(shù)學問題是數(shù)學的心臟，是質高量大的數(shù)學思維，方法，技巧的全息等方面的研究還很少.因此本文將研究大學數(shù)學課程中的各類全息現(xiàn)象，探討大學數(shù)學中出現(xiàn)的各類特殊的全息元以及這些全息元在整個大學過程中的作用.利用全息元理論將整個大學數(shù)學課程進行有機的連接，達到教師對數(shù)學學科教學更加得心應手，學生在學習數(shù)學過程中學會主動思考并逐漸培養(yǎng)起數(shù)學學習興趣的目的.數(shù)學全息現(xiàn)象是指某一數(shù)學結構G在性質下的一子系統(tǒng)能夠反映整個結構G.在數(shù)學全息現(xiàn)象中，反映整個結構G的相對獨立部分g稱為數(shù)學全息元.

2全息元在大學數(shù)學教學中的應用

2.1局部是整體的全息元

文獻[8]指出全息性邏輯思維是大學數(shù)學的精髓，其構成的兩大要素為局部信息和整體信息，而局部信息又稱為數(shù)學全息元.數(shù)學全息元是數(shù)學直覺產生的客觀基礎，要善于捕捉數(shù)學信息元，提高數(shù)學猜想能力.在數(shù)學教學中正確運用數(shù)學全息性邏輯思維進行教學，既可以提高數(shù)學教學效率，又可以提高學生的全息性邏輯思維能力.在高等數(shù)學中，運用全息性邏輯思維觀點分析和解答問題時，必須深刻理解“局部信息”和“整體信息”.若用“部分”來展示“整體的信息”，那么首先，“部分”要有資格.其次，所要展示的“整體信息”的“檔次”愈高，它的“部分信息”的“資格”要求也愈高.在高等數(shù)學中一個典型的例子就是函數(shù)圖像的描繪.我們通過描繪函數(shù)圖像上的特殊點（極值點、拐點、以及是函數(shù)沒有定義的點）加上函數(shù)圖像在各區(qū)間上的單調性、凹凸性就阿可以描繪出了整個函數(shù)的基本形狀，因為我們通過計算獲得的這部分信息反映了整體的信息，使整個函數(shù)圖像的全息元.

2.2相似性互為全息元

典型的例子就是一元函數(shù)與多元函數(shù)之間的一些定義性質互為全息元.例如：函數(shù)的定義、極限、導數(shù)和微分等.下面僅以函數(shù)的定義為例進行說明.一元函數(shù)y=f(x)的定義：給定兩個變量x和y,以及數(shù)集D,若對于D中的每一個x，在對應法則f的作用下都有唯一的y值與之對應，則稱y是x的函數(shù)，記為y=f(x),y稱為因變量，x稱為自變量.把一元函數(shù)的定義當作全息元,要引導學生自己給出二元函數(shù)的定義（需要給學生一點提示：一元函數(shù)是在數(shù)軸上討論的，而二元函數(shù)是在平面直角坐標系下討論的），則相應的可以給出如下二元函數(shù)的定義:二元函數(shù)z=f(x,y)的定義：給定三個變量x、y和z,以及平面點集D,若對于D中的每一個(x,y)，在對應法則f的作用下都有唯一的z值與之對應，則稱z是x和y的函數(shù)，記為z=f(x,y),z稱為因變量，x和y稱為自變量.把一元函數(shù)中的x看成是x軸上的點p，那么一元函數(shù)可以寫成y=f(p);把二元函數(shù)中的(x,y)看成是平面上的點p，那么二元函數(shù)可以寫成z=f(p);那么這兩種函數(shù)形式是類似的.從而利用全息元的思想，我們可以引導學生給出三元函數(shù)以及n元函數(shù)的定義.類似的二元函數(shù)以及其他多元函數(shù)的其他性質都可以利用全息元的思想引導學生自己首先探索，這樣會讓學生學會思考，增強對數(shù)學學習的興趣和探索能力.

2.3數(shù)形互為全息元

定積分的定義是典型的數(shù)形互為信息源的例子.設f為閉區(qū)間[a,b]上的連續(xù)函數(shù)，且f(x)≥0.由曲線y=f(x)，直線x=a，x=b以及x軸所圍成的平面圖形，稱為曲邊梯形.下面討論曲邊梯形的面積(如圖所示).通過分割求和取極限得到了曲邊體型的面積公式A=limλ→0ni=1Σf(ξi)△xi，進而利用這個極限給出定積分的定義，A=limλ→0ni=1Σf(ξi)△xi=ba乙f(x)dx.把曲邊梯形的面積作為定積分的全息元，有些定積分可以利用中學的知識直接得到結果，減少繁雜的換元積分計算.下面我們來再看這樣一個例子，計算定積分：20乙4-x2姨dx.由于曲邊梯形的面積是定積分的全息元，我們觀察知道這個曲邊梯形中的y=f(x)=4-x2姨,0≤x≤2，這恰好表示第一象限的1/4圓弧.如圖2所示.而由圓的面積公式我們可以直接得到此曲邊梯形的面積A恰好是1/4圓的面積，即A=14×π•22=π.故20乙4-x2姨dx=π.并且可以啟發(fā)學生得到a0乙a2-x2dx=14πa2，而這種形式的積分在高等數(shù)學中是比較典型的一類積分.

2.4利用全息元加強線性代數(shù)的課程學習

線性代數(shù)中的很多知識正是以實數(shù)為全息元得出的.例如實數(shù)中倒數(shù)的定義是方陣逆陣的全息元.在實數(shù)中，我們有：若ab=1,則稱b為a的倒數(shù)，記為b=a-1.利用全息元理論可以給出方陣逆陣的定義：對于n階方陣A，若存在方陣B，滿足AB=E，則稱B為A的逆陣，記為B=A-1.類似的根據(jù)實數(shù)中的消去率公式可以定義方陣的消去率公式，只不過由于方陣乘法不滿足交換律，從而定義了左消去率和右消去率.多項式函數(shù)是方陣多項式函數(shù)的全息元.知道這個信息，我們針對如下例子可以給出較簡單的解法：例設A為n階方陣，滿足A2+3A+E=0，求證A+E可逆.倘若我們知道前述全息元信息，只要考慮如下問題：設實數(shù)x滿足x2+3x+1=0，求證：x+1倒數(shù)存在.利用多項式出發(fā)進行簡單計算得到x2+3x+1=(x+1)(x+2)-1=0，便得到x+1倒數(shù)存在，且倒數(shù)為x+2.把x還原成A，1還原成單位陣E，便得到此題目的解法，在此略去.利用全息元思想我們可以歸納出如下一類題：設A為n階方陣，滿足f(A)=amAm+am-1Am-1+…+a1A+a0E=0，求證：b1A+b0E可逆.這道題可以采用類似的求解方法求解.

3結論

教師在大學數(shù)學教學過程中要充分應用數(shù)學全息法,將定義、定理、推論和一些計算證明，利用全息元理論將學過的知識和新知識做有機的銜接，這樣不但能促進大學數(shù)學教學，還能夠幫助學生真正理解教學內容，提高教學效率.達到利用有限的課時教給學生更多的知識，教給學生認識世界解決問題的能力，這也正是大學各學科教學的目標之一.

作者：李蘭平單位：湖南財政經濟學院基礎課部