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【摘要】該文從線性系統(tǒng)能控規(guī)范型的基本理論入手,詳細介紹了龍伯格能控規(guī)范型的構(gòu)造方法和實現(xiàn)步驟，并就此問題給出了一個具有較高實用價值的MATLAB通用程序。

【關(guān)鍵詞】線性系統(tǒng)能控規(guī)范型MATLAB

AlgorithmicanalysisofLinearsystemLuenbergerControllable

StandardModel

1前言

線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析法，是線性系統(tǒng)理論中最重要和影響最廣泛的一個分支。狀態(tài)空間法中，用以表征系統(tǒng)動力學(xué)特征的數(shù)學(xué)模型是反映輸入、輸出變量和狀態(tài)變量之間關(guān)系的一對向量方程，稱為狀態(tài)方程和輸出方程。

（狀態(tài)方程）

（輸出方程）

這是一種時間域分析方法，在系統(tǒng)的分析和綜合中，所涉及的計算主要為矩陣運算和矩陣變換，MATLAB為此提供了一個強有力的工具。

線性系統(tǒng)能控規(guī)范型的實現(xiàn)，在線性反饋系統(tǒng)的狀態(tài)變量反饋和含狀態(tài)觀測器的狀態(tài)變量反饋系統(tǒng)的設(shè)計中占有很重要的地位。本文針對線性系統(tǒng)理論中的極點配置問題，著重討論如何利用MATLAB語言來實現(xiàn)任意線性多輸入、多輸出系統(tǒng)的龍伯格能控規(guī)范型的算法。并給出了一個利用MATLAB語言編制的實現(xiàn)此算法的通用程序。

2線性系統(tǒng)能控規(guī)范型的相關(guān)理論

2.1能控性和能觀性的概念

能控性和能觀性是系統(tǒng)的兩個基本的結(jié)構(gòu)特征?，F(xiàn)代控制理論的發(fā)展表明，這兩個概念對于控制和估計問題的研究有著極其重要的意義。在一個系統(tǒng)中，輸入輸出構(gòu)成系統(tǒng)的外部變量，狀態(tài)變量為系統(tǒng)的內(nèi)部變量，能控性是反映系統(tǒng)的所有內(nèi)部（狀態(tài)）變量能否由輸入變量來影響和控制，并由任意始點到達原點。能觀性則是表明系統(tǒng)內(nèi)部（狀態(tài)）變量能否由輸出完全反映。

2.2系統(tǒng)的能控性判據(jù)

定理：線性定常系統(tǒng)

為完全能控的充分必要條件是：

rank[B┆AB┆A2B┆……┆An-1B]=n

其中，n為系數(shù)矩陣A的維數(shù)。

定義系統(tǒng)的能控性判別矩陣為：

Qc=[B┆AB┆A2B┆……┆An-1B]

2.3能控規(guī)范型的算法分析

對于完全能控的線性定常系統(tǒng)，從能控制性這一基本屬性出發(fā)，可以構(gòu)造一個非奇異的變換矩陣，通過這一線性變換，就能夠把系統(tǒng)狀態(tài)空間的描述轉(zhuǎn)化為只有能控系統(tǒng)才具有的標準形式。

對于單輸入—單輸出系統(tǒng)：

能控規(guī)范性的變換矩陣：

引入線性變換則有

其中，

對于多輸入—多輸出系統(tǒng)：

(1)

設(shè)：rankB=r輸入變量數(shù)為p，輸出變量數(shù)為q。。構(gòu)造其龍伯格能控規(guī)范型的方法如下：

對能控性矩陣

Qc=[B┆AB┆A2B┆……┆An-1B]

其中

B=[b1,b2,……,bq]

找出n個線性無關(guān)的列，表示如下：

其中，能控性指數(shù)

令取p的每個塊陣中的末行：

構(gòu)造變換矩陣

引入線性非奇異變換

即可得到系統(tǒng)(1)的龍伯格能控規(guī)范型：

其中

i=1,2,……,r

上述矩陣中，“*”表示的元素為可能的非零元。

3Luenberger能控規(guī)范型算法的實現(xiàn)

下面給出了一個完成Luenberger能控規(guī)范型算法的MATLAB程序，程序的代碼如下：

A=[……];

B=[……];

C=[……];

%（在“……”處輸入相應(yīng)的數(shù)據(jù)）

尋找B矩陣的無關(guān)列向量:

forl=1:2

RA=rank(A);RB=rank(B);Bwg=B(:,1);

fori=2:RB

ifrank(Bwg)<RB,

Bwg=[Bwg,B(:,i)];

end

end

%確定能控性指數(shù)u:

SO=[];

fori=0:RA

forj=1:RB

ifrank(SO)<rank([SO,A^i*Bwg(:,j)]),

SO=[SO,A^i*Bwg(:,j)];

u(j)=i+1;

end

end

end

%構(gòu)造p逆矩陣:

PNI=[];

forj=1:RB

fori=0:u(j)-1

PNI=[PNI,A^i*Bwg(:,j)];

end

end

P=inv(PNI);

%構(gòu)造Luenberger規(guī)范型變換矩陣S-1

SNI=[];j=0;

fork=1:RB

j=u(k)+j;

fori=0:u(k)-1

SNI=[SNI;P(j,:)*A^i];

end

end

%求Luenberger規(guī)范型矩陣Ac、Bc:

S=inv(SNI);Ac=SNI*A*S;Bc=SNI*B;

Cc=C*S;

4結(jié)束語

使用MATLAB語言編寫的程序來求解線性系統(tǒng)的龍伯格能控規(guī)范型，進而可以很方便地進一步設(shè)計線性系統(tǒng)的狀態(tài)變量反饋系統(tǒng)，以實現(xiàn)系統(tǒng)極點的任意配置，從而改善系統(tǒng)的性能，并且也使得多輸入—多輸出系統(tǒng)的狀態(tài)觀測器的設(shè)計變得輕而易舉。因此，本文所討論的問題有相當?shù)钠毡樾裕瑫r給出的解決方案也具有較高的實用價值。

參考文獻：

1、《線性系統(tǒng)理論》(M)，鄭大鐘，清華大學(xué)出版社。1990年3月第一版。

2、Chi-TsongChen,“LINEARSYSTEMTHEORYANDDESING”（M）,HoltRichardandWinston.revisededition1984

3、《掌握和精通MATLAB》(M)，張志涌、劉瑞幀等，北京航空航天大學(xué)出版社。1997年8月第一版