文章摘要：教學(xué)用的數(shù)學(xué)知識(shí)研究經(jīng)歷了數(shù)學(xué)知識(shí)研究、數(shù)學(xué)課程知識(shí)研究和教學(xué)用的數(shù)學(xué)知識(shí)研究三個(gè)階段。教學(xué)用的數(shù)學(xué)知識(shí)通過對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)的核心活動(dòng)進(jìn)行分析，直接研究課堂教學(xué)中教師使用的數(shù)學(xué)知識(shí)及其影響。它是有效教學(xué)的知識(shí)基礎(chǔ)，應(yīng)該成為教師教育的主要內(nèi)容。

一、數(shù)學(xué)知識(shí)研究

傳統(tǒng)上認(rèn)為數(shù)學(xué)教師至少要掌握他所教的數(shù)學(xué)知識(shí)。班級(jí)授課制成熟后，人們開始同意這樣一個(gè)原則：除了所教的數(shù)學(xué)知識(shí)以外，數(shù)學(xué)教師還需要掌握像組織教學(xué)、控制課堂秩序等一些教學(xué)知識(shí)。隨著教學(xué)研究的深入，人們發(fā)現(xiàn)教師僅僅知道他所教的數(shù)學(xué)的術(shù)語、本畢業(yè)論文由整理提供概念、命題、法則等知識(shí)是不夠的?！酥?，教師還要知道數(shù)學(xué)的學(xué)科結(jié)構(gòu)。學(xué)科結(jié)構(gòu)的概念最早源于Schwab。他指出了理解學(xué)科結(jié)構(gòu)的兩種方式：一個(gè)方式是句法性地(syntactically)，另一個(gè)方式是實(shí)體性地(substantively)。所謂句法性地是指從學(xué)科所表現(xiàn)出來的邏輯結(jié)構(gòu)方面去了解學(xué)科結(jié)構(gòu)。比如，引入無理數(shù)表示不可公度線段，引入負(fù)數(shù)與復(fù)數(shù)表示某些方程的解。前者可以看到，后者看不到，僅是為了保持方程都有解這個(gè)論斷的完整性和通用性所做出的一種假設(shè)與解釋。對(duì)這三個(gè)概念含義的理解，只能通過產(chǎn)生這些概念的前后聯(lián)系才能揭示。所謂實(shí)體性地是指從學(xué)科的概念設(shè)計(jì)角度去了解學(xué)科結(jié)構(gòu)。比如，歐氏幾何與解析幾何有不同的概念框架。Ball把數(shù)學(xué)的學(xué)科結(jié)構(gòu)知識(shí)稱為關(guān)于數(shù)學(xué)的知識(shí)。它是指知識(shí)從哪里來，又是如何發(fā)展的，真理是如何確認(rèn)的，又將用到哪里去。

主要有三個(gè)維度：一是約定與邏輯建構(gòu)的區(qū)別。正數(shù)在數(shù)軸的右邊或者我們使用十進(jìn)位值制都是任意的、約定的。而0做除數(shù)沒有定義或者任意一個(gè)數(shù)的零次冪都等于1就不是任意的、約定的；二是數(shù)學(xué)內(nèi)部之問的聯(lián)系以及數(shù)學(xué)與其他領(lǐng)域之間的聯(lián)系；三是了解數(shù)學(xué)領(lǐng)域中的基本活動(dòng)：尋找模式、提出猜想、證明斷言、證實(shí)解法和尋求一般化。

對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的研究，拓寬了人們對(duì)教學(xué)用的數(shù)學(xué)知識(shí)的理解。它顯示教學(xué)用的數(shù)學(xué)知識(shí)是很復(fù)雜的，除了術(shù)語、概念、法則、程序之外，還有數(shù)學(xué)學(xué)科結(jié)構(gòu)或者關(guān)于數(shù)學(xué)的知識(shí)。這些知識(shí)對(duì)于教師確定為什么教、選擇教什么和怎么教都會(huì)產(chǎn)生影響。比如，約定的與邏輯建構(gòu)的概念的教學(xué)策略會(huì)有很大的不同，邏輯建構(gòu)的概念就必須講清楚它怎么來的，為什么要定義這個(gè)概念，怎樣定義，它會(huì)有什么用，它與其他的概念的關(guān)系是怎樣的，它的應(yīng)用有哪些限度。而約定的概念就沒有這些必要。但是，有效地?cái)?shù)學(xué)教學(xué)，僅僅具有上述知識(shí)還不夠。它缺少對(duì)學(xué)生的考慮，不能給教師提供教授一群特定的學(xué)生所必須的教學(xué)上的理解。比如，僅僅通過推導(dǎo)知道(+6)=a+2ab+b對(duì)有效教學(xué)是不夠的，教師還需要知道一些學(xué)生容易把分配律過度推廣而記成+6)=a+b，知道用矩形的面積表征可以有效地消除這一誤解。學(xué)生誤解的知識(shí)與消除誤解的教學(xué)策略顯然不能納入數(shù)學(xué)知識(shí)的框架，教學(xué)用的數(shù)學(xué)知識(shí)的復(fù)雜性要求更精致的框架來描述。

二、教材分析研究

論文摘要：教學(xué)用的數(shù)學(xué)知識(shí)研究經(jīng)歷了數(shù)學(xué)知識(shí)研究、數(shù)學(xué)課程知識(shí)研究和教學(xué)用的數(shù)學(xué)知識(shí)研究三個(gè)階段。教學(xué)用的數(shù)學(xué)知識(shí)通過對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)的核心活動(dòng)進(jìn)行分析，直接研究課堂教學(xué)中教師使用的數(shù)學(xué)知識(shí)及其影響。它是有效教學(xué)的知識(shí)基礎(chǔ)，應(yīng)該成為教師教育的主要內(nèi)容。

論文關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)；教學(xué)；知識(shí)；教師教育

一、數(shù)學(xué)知識(shí)研究

傳統(tǒng)上認(rèn)為數(shù)學(xué)教師至少要掌握他所教的數(shù)學(xué)知識(shí)。班級(jí)授課制成熟后，人們開始同意這樣一個(gè)原則：除了所教的數(shù)學(xué)知識(shí)以外，數(shù)學(xué)教師還需要掌握像組織教學(xué)、控制課堂秩序等一些教學(xué)知識(shí)。隨著教學(xué)研究的深入，人們發(fā)現(xiàn)教師僅僅知道他所教的數(shù)學(xué)的術(shù)語、概念、命題、法則等知識(shí)是不夠的?！酥?，教師還要知道數(shù)學(xué)的學(xué)科結(jié)構(gòu)。學(xué)科結(jié)構(gòu)的概念最早源于Schwab。他指出了理解學(xué)科結(jié)構(gòu)的兩種方式：一個(gè)方式是句法性地(syntactically)，另一個(gè)方式是實(shí)體性地(substantively)。所謂句法性地是指從學(xué)科所表現(xiàn)出來的邏輯結(jié)構(gòu)方面去了解學(xué)科結(jié)構(gòu)。比如，引入無理數(shù)表示不可公度線段，引入負(fù)數(shù)與復(fù)數(shù)表示某些方程的解。前者可以看到，后者看不到，僅是為了保持方程都有解這個(gè)論斷的完整性和通用性所做出的一種假設(shè)與解釋。對(duì)這三個(gè)概念含義的理解，只能通過產(chǎn)生這些概念的前后聯(lián)系才能揭示。所謂實(shí)體性地是指從學(xué)科的概念設(shè)計(jì)角度去了解學(xué)科結(jié)構(gòu)。比如，歐氏幾何與解析幾何有不同的概念框架。Ball把數(shù)學(xué)的學(xué)科結(jié)構(gòu)知識(shí)稱為關(guān)于數(shù)學(xué)的知識(shí)。它是指知識(shí)從哪里來，又是如何發(fā)展的，真理是如何確認(rèn)的，又將用到哪里去。

主要有三個(gè)維度：一是約定與邏輯建構(gòu)的區(qū)別。正數(shù)在數(shù)軸的右邊或者我們使用十進(jìn)位值制都是任意的、約定的。而0做除數(shù)沒有定義或者任意一個(gè)數(shù)的零次冪都等于1就不是任意的、約定的；二是數(shù)學(xué)內(nèi)部之問的聯(lián)系以及數(shù)學(xué)與其他領(lǐng)域之間的聯(lián)系；三是了解數(shù)學(xué)領(lǐng)域中的基本活動(dòng)：尋找模式、提出猜想、證明斷言、證實(shí)解法和尋求一般化。

對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的研究，拓寬了人們對(duì)教學(xué)用的數(shù)學(xué)知識(shí)的理解。它顯示教學(xué)用的數(shù)學(xué)知識(shí)是很復(fù)雜的，除了術(shù)語、概念、法則、程序之外，還有數(shù)學(xué)學(xué)科結(jié)構(gòu)或者關(guān)于數(shù)學(xué)的知識(shí)。這些知識(shí)對(duì)于教師確定為什么教、選擇教什么和怎么教都會(huì)產(chǎn)生影響。比如，約定的與邏輯建構(gòu)的概念的教學(xué)策略會(huì)有很大的不同，邏輯建構(gòu)的概念就必須講清楚它怎么來的，為什么要定義這個(gè)概念，怎樣定義，它會(huì)有什么用，它與其他的概念的關(guān)系是怎樣的，它的應(yīng)用有哪些限度。而約定的概念就沒有這些必要。但是，有效地?cái)?shù)學(xué)教學(xué)，僅僅具有上述知識(shí)還不夠。它缺少對(duì)學(xué)生的考慮，不能給教師提供教授一群特定的學(xué)生所必須的教學(xué)上的理解。比如，僅僅通過推導(dǎo)知道(+6)=a+2ab+b對(duì)有效教學(xué)是不夠的，教師還需要知道一些學(xué)生容易把分配律過度推廣而記成+6)=a+b，知道用矩形的面積表征可以有效地消除這一誤解。學(xué)生誤解的知識(shí)與消除誤解的教學(xué)策略顯然不能納入數(shù)學(xué)知識(shí)的框架，教學(xué)用的數(shù)學(xué)知識(shí)的復(fù)雜性要求更精致的框架來描述。

一、加強(qiáng)學(xué)生邏輯思維能力的培養(yǎng)

培養(yǎng)學(xué)生良好的思維品質(zhì)思維是指導(dǎo)人類一切活動(dòng)的最終向?qū)В渲?，邏輯思維對(duì)人類的影響也是很長(zhǎng)遠(yuǎn)的，它主要體現(xiàn)在人們生活中的方方面面。也正因?yàn)槿绱?，現(xiàn)代教育對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生的思維能力的要求也在不斷地加強(qiáng)。作為一名數(shù)學(xué)教師，在傳授給學(xué)生知識(shí)的過程中還要為學(xué)生創(chuàng)造一些真實(shí)的情境，讓學(xué)生在特定的情境教學(xué)中探索數(shù)學(xué)知識(shí)的同時(shí)，鍛煉自己的邏輯思維能力，讓學(xué)生更好地將所學(xué)習(xí)的知識(shí)應(yīng)用于實(shí)際的生活中，并且還要利用生活中的一些問題來激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)的興趣。比如，教師在授課的過程中，可以舉一些生活中的實(shí)例，更好地吸引學(xué)生學(xué)習(xí)的注意力，在課堂上多為學(xué)生提供一些參與的機(jī)會(huì)，進(jìn)而再全面地開發(fā)他們的邏輯思維能力。教師在傳授一些新知識(shí)的過程中，還要注重引導(dǎo)學(xué)生將原有的知識(shí)與之相聯(lián)系起來，進(jìn)行有效的結(jié)合、整改成新的知識(shí)體系，這樣也有利于他們更好地去理解這些新學(xué)的知識(shí)，在使用新知識(shí)的同時(shí)還能夠及時(shí)地鞏固舊知識(shí)。這樣也能很好地鍛煉學(xué)生的邏輯思維能力。

二、激發(fā)學(xué)生的興趣愛好

提升學(xué)生的數(shù)學(xué)情感初中數(shù)學(xué)是一門枯燥而繁瑣的學(xué)科，又是學(xué)生比較畏難的一門學(xué)科，因?yàn)樗哂泻軓?qiáng)的邏輯性，學(xué)習(xí)起來也比較的枯燥，導(dǎo)致很多學(xué)生在數(shù)學(xué)課上提不起精神來，時(shí)間久了，就會(huì)影響他們的數(shù)學(xué)成績(jī)。因此，培養(yǎng)、激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)的興趣，能夠幫助學(xué)生在主觀的思想意識(shí)里添加一份對(duì)數(shù)學(xué)的愛好，還能夠激發(fā)他們自覺主動(dòng)地去學(xué)習(xí)和鉆研教材內(nèi)容。一旦學(xué)生對(duì)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)充滿感情，他們就會(huì)喜歡上數(shù)學(xué)課，而且他們還會(huì)把數(shù)學(xué)課堂當(dāng)成他們發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的舞臺(tái)。因此，教師要善于用情境教學(xué)來烘托出數(shù)學(xué)內(nèi)容中的情感氣氛來，教師還可以配合教學(xué)的內(nèi)容，結(jié)合一定的數(shù)學(xué)手段，創(chuàng)設(shè)出某種教學(xué)情境，讓學(xué)生更好地去體驗(yàn)教學(xué)內(nèi)容中的情境，并且有效地理解學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)的意義。同時(shí)，對(duì)一些本身不含情感因素的數(shù)學(xué)知識(shí)，數(shù)學(xué)教師也要盡可能地從外部賦予它以某些情感色彩，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)這些知識(shí)的過程中，還是能夠感受到某些情感因素，慢慢地增強(qiáng)他們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)的熱情。

三、鼓勵(lì)學(xué)生去探索數(shù)學(xué)知識(shí)

提高學(xué)生鉆研問題的能力在教授數(shù)學(xué)知識(shí)的過程中實(shí)施素質(zhì)教育時(shí)，教師要注重對(duì)學(xué)生創(chuàng)新能力的培養(yǎng)，因?yàn)槲覀冃枰囵B(yǎng)一些善于鉆研、發(fā)現(xiàn)未知的數(shù)學(xué)定理的人才，因此，這也就決定了數(shù)學(xué)教師在指導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)已有的數(shù)學(xué)知識(shí)的同時(shí)，還要注重培養(yǎng)學(xué)生鉆研知識(shí)的能力和創(chuàng)新的能力。比如，在教會(huì)學(xué)生某一個(gè)定理知識(shí)的時(shí)候，還可以讓學(xué)生對(duì)這個(gè)定理的發(fā)現(xiàn)過程和研究方法適當(dāng)?shù)剡M(jìn)行探索，并且教師還要耐心地給學(xué)生講解，教會(huì)他們探究知識(shí)的方法，因?yàn)椤笆谥贼~，不如授之以漁”。在教授給學(xué)生數(shù)學(xué)知識(shí)的同時(shí)，培養(yǎng)他們探究鉆研教材知識(shí)和創(chuàng)新的能力，最終為提高學(xué)生的綜合素質(zhì)打好基礎(chǔ)。綜上所述，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì)與品質(zhì)并不與學(xué)生的基礎(chǔ)知識(shí)的學(xué)習(xí)相沖突，他們的關(guān)系是相輔相成、相互作用的。當(dāng)學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)扎實(shí)后，可以更好的培養(yǎng)他們的數(shù)學(xué)素質(zhì)；當(dāng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì)上升到一定的高度后，又能夠反過來輔助他們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)。作為數(shù)學(xué)教師，在培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)素質(zhì)的同時(shí)，還需要講究一個(gè)“度”字，就是要堅(jiān)持具體問題具體分析的原則，和適度的原則，只有這樣，才能更好地培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì)與數(shù)學(xué)品德，進(jìn)而才能更好地為他們的學(xué)習(xí)服務(wù)。

摘要:物理與數(shù)學(xué)是兩個(gè)聯(lián)系較為緊密的學(xué)科，其中數(shù)學(xué)知識(shí)常作為解答物理習(xí)題的理論依據(jù)．高中物理解題中應(yīng)認(rèn)識(shí)到物理與數(shù)學(xué)之間的內(nèi)在聯(lián)系，具備跨學(xué)科聯(lián)想意識(shí)，善于運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行相關(guān)習(xí)題的解答，促進(jìn)高中物理解題能力以及學(xué)習(xí)成績(jī)的明顯提升．

關(guān)鍵詞:高中物理;解題;數(shù)學(xué)知識(shí);運(yùn)用

高中物理很多習(xí)題都可運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行解答，如力學(xué)、運(yùn)動(dòng)學(xué)、電學(xué)等習(xí)題都能看到數(shù)學(xué)知識(shí)的身影，因此為更好的提升物理解題能力與效率，應(yīng)善于做好物理學(xué)習(xí)的總結(jié)，尤其認(rèn)真反思其應(yīng)用的數(shù)學(xué)知識(shí)，掌握相關(guān)的破題技巧，在以后的解題中能夠加以靈活、巧妙的應(yīng)用．

一、相似三角形知識(shí)的應(yīng)用

三角形相似是重要的數(shù)學(xué)知識(shí)，用于解答受力分析相關(guān)的物理習(xí)題，能夠有效地簡(jiǎn)化解題步驟，提高解題正確性．解題時(shí)只需找到兩個(gè)相似的三角形，運(yùn)用對(duì)應(yīng)邊成比例便可構(gòu)建相關(guān)的物理方程，順利的求解相關(guān)參數(shù)以及尋找參數(shù)之間的關(guān)系．如圖1所示，小圓環(huán)A吊著一個(gè)質(zhì)量為m2的物塊，并套在另一豎直放置的大圓環(huán)上，有一細(xì)線一端拴在小圓環(huán)A上，另一端跨過固定在大圓環(huán)最高點(diǎn)B的一個(gè)小滑輪后吊著一個(gè)質(zhì)量為m1的物塊，忽略摩擦力，而且繩子不可伸長(zhǎng)，平衡時(shí)弦AB所對(duì)的圓心角為α，則兩物塊的質(zhì)量比m1∶m2應(yīng)為()．該題目運(yùn)用正交分解雖然能夠得出答案，但較為繁瑣．如使用三角形相似知識(shí)可明顯提升解題效率．根據(jù)已知條件對(duì)A進(jìn)行受力分析，由平衡條件容易得到。

二、三角函數(shù)知識(shí)的應(yīng)用

高中地理教學(xué)中涉及到的數(shù)學(xué)知識(shí)很多，因此，對(duì)高中地理教材中數(shù)學(xué)知識(shí)的研究可以為中學(xué)地理教學(xué)中教師的教學(xué)和學(xué)生的學(xué)習(xí)提供理論依據(jù)。目前，有關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)在地理教學(xué)中的應(yīng)用方面，之前研究重點(diǎn)在于運(yùn)用數(shù)學(xué)思維和方法解決地理典型計(jì)算題的方法，而對(duì)于高中地理教材中的數(shù)學(xué)知識(shí)的功能作用研究文獻(xiàn)目前還比較缺乏。由于教學(xué)過程中發(fā)現(xiàn)人教版高中地理三本必修教材中很多內(nèi)容偏理科性質(zhì)，所涉及到的數(shù)學(xué)知識(shí)最多，且近些年高考考查頻率較高。因此，本研究結(jié)合人教版高中地理教材和近些年高考試題，分析了數(shù)學(xué)知識(shí)在該教材中功能作用，并對(duì)高中地理教師和高中學(xué)生分別提出了一些建議。

一、數(shù)學(xué)知識(shí)在地理教學(xué)和學(xué)習(xí)中的功能作用

1.用數(shù)學(xué)知識(shí)解釋地理概念

主要體現(xiàn)在用數(shù)學(xué)公式、方程或數(shù)學(xué)基本圖形來解釋地理概念。一般在有面積、距離之間的分布與變化，部分和全體、個(gè)別和總量以及平面和空間幾何的相關(guān)概念時(shí)應(yīng)用。高中地理必修I中可用數(shù)學(xué)基本公式來說明的地理概念很多，包括光年、線速度、角速度、比例尺、晝長(zhǎng)、夜長(zhǎng)、正午太陽高度、相對(duì)高度、坡度等。比如光年的定義：光在真空中沿直線傳播一年的距離約為94605億千米。可用數(shù)學(xué)基本圖形來說明的地理概念也很多，包括太陽系的組成、地球內(nèi)部圈層結(jié)構(gòu)、太陽輻射到達(dá)地球的過程、全球氣壓帶和風(fēng)帶的分布、黃金夾角、太陽直射點(diǎn)的移動(dòng)規(guī)律等。

2.用數(shù)學(xué)知識(shí)解決地理計(jì)算

主要涉及到時(shí)間、正午太陽高度角、等值線和氣溫垂直遞減率的計(jì)算。以時(shí)間的計(jì)算為例，2014年四川地理高考第1題：“我國(guó)嫦娥三號(hào)月球探測(cè)器于北京時(shí)間2013年12月2日1時(shí)30分，在四川西昌衛(wèi)星發(fā)射中心成功發(fā)射。據(jù)此回答1-2題。1.發(fā)射時(shí)刻的國(guó)際標(biāo)準(zhǔn)時(shí)間（世界時(shí)）是2013年12月”，本題考查了學(xué)生對(duì)于時(shí)差的理解和計(jì)算能力。題干上給出已知時(shí)間為北京時(shí)間（東8區(qū)區(qū)時(shí)），所求時(shí)間為國(guó)際標(biāo)準(zhǔn)時(shí)間（0時(shí)區(qū)區(qū)時(shí)），0時(shí)區(qū)在東8區(qū)西邊，用已知時(shí)間減去8個(gè)小時(shí)，所求結(jié)果是A選項(xiàng)：1日17時(shí)30分。再比如關(guān)于等值線的計(jì)算，2014年四川地理高考第7題和第13題，第7題考查地形對(duì)氣候的影響，第13題考查地形的基本特征及其氣候特征，兩題均考查了學(xué)生從等高線中獲取地理知識(shí)并分析解決地理問題的能力。應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決地理計(jì)算問題廣泛存在于平時(shí)地理學(xué)習(xí)和高考中。因此，關(guān)于時(shí)間、正午太陽高度角、等值線和氣溫垂直遞減率所涉及的數(shù)學(xué)知識(shí)在近年高考中頻繁出現(xiàn)，應(yīng)當(dāng)引起教師和學(xué)生的重視。