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雙曲線的定義范文第1篇

1 找出已知橢圓的對稱軸、頂點和焦點

步驟如下：

圖1

1.利用文[1]的方法找到橢圓的中心O;

2.如圖1，在橢圓上任找一點A（不是橢圓的

頂點），以O(shè)為圓心，OA為半徑作圓，該圓與橢圓

的其余三個交點分別為B、C、D;

3.連接AB、AD，過點O分別作AB、AD的

平行線，得到直線l1、l2，則直線l1、l2就是橢圓的

兩條對稱軸;

4.直線l1與橢圓交于E、F兩點，直線l2與橢圓交于G、H兩點，則E、F、G、H是橢圓的四個頂點;

5.比較OE與OG的大小，若OE>OG，則EF是長軸，GH是短軸;若OE<OG，則EF是短軸，GH是長軸（圖1中OE<OG，所以EF是短軸，GH是長軸）;

6.以E為圓心，OG為半徑作圓，與直線l2交于F1、F2兩點，則F1、F2就是橢圓的兩個焦點.

備注 若點A恰好是橢圓的頂點，則該圓與橢圓只有兩個交點（其中一個是點A），此時，可對點A進行調(diào)整，使得點A不是橢圓的頂點.

下面給出該作法的證明.

證明 如圖1，不妨設(shè)橢圓的方程為x2a2+y2b2=1（a>b>0），點A的坐標為x0，y0，其中x0≠±a且x0≠0，于是圓的方程為x2+y2=x20+y20.由于橢圓和圓都關(guān)于x軸、y軸、原點對稱，所以點B、C的坐標分別為x0，-y0、-x0，-y0，于是直線AB、AD的方程分別為x=x0、y=y0，所以直線l1、l2的方程分別為x=0、y=0，所以直線l1、l2就是橢圓的兩條對稱軸.

因為OE=b，EF1=a，所以O(shè)F1=EF12-OE2=a2-b2=c，同理，OF2=c，于是F1、F2是橢圓的兩個焦點.

2 找出已知雙曲線的對稱軸、頂點和焦點

步驟如下：

圖2

1.利用文[2]的方法找到雙曲線的中心O;

2.如圖2，在雙曲線上任找一點A（不是雙曲線的

頂點），以O(shè)為圓心，OA為半徑作圓，該圓與雙曲線

的其余三個交點分別為B、C、D;

3.連接AB、AD，過點O分別作AB、AD的平

行線，得到直線l1、l2，則直線l1、l2就是雙曲線的兩條對稱軸;

4.直線l2與雙曲線交于E、F兩點，則E、F是雙曲線的兩個頂點;

5.以O(shè)為圓心，OE為半徑作圓C1;

6.過點D，利用文[3]的方法作雙曲線的切線l3，與C1交于點G;

7.過點G作l3的垂線，交l2于點F2，作點F2關(guān)于直線l1的對稱點F1，則點F1、F2就是雙曲線的兩個焦點.

備注 若點A恰好是雙曲線的頂點，則以O(shè)為圓心，OA為半徑的圓與雙曲線只有兩個交點（其中一個是點A），此時，可對點A進行調(diào)整，使得點A不是雙曲線的頂點.

關(guān)于雙曲線的頂點、對稱軸的證明方法與橢圓的證明類似，此處不再贅述.下面證明F1、F2是雙曲線的兩個焦點.

證明 如圖2，不妨設(shè)雙曲線的方程為x2a2-y2b2=1（a>0，b>0），點D的坐標為x0，y0，其中x0≠±a，點G的坐標為m，n.

因為點D在雙曲線上，所以x20a2-y20b2=1，即

x20=a2+a2y20b2………①.

點G在圓C1上，所以m2+n2=a2………②.

切線l3的方程為x0xa2-y0yb2=1，而點G在l3上，所以mx0a2-ny0b2=1，即b2mx0-a2ny0=a2b2，兩邊平方，化簡可得

2mnx0y0a2b2=b4m2x20+a4n2y20-a4b4………③.

因為GF2l3，所以直線GF2的斜率為-a2y0b2x0，所以直線GF2的方程為y-n=-a2y0b2x0x-m，令y=0，可得點F2的橫坐標為xF2=b2nx0+a2my0a2y0，平方可得x2F2=b4n2x20+a4m2y20+2mnx0y0a2b2a4y20，將③式代入該式子，可得

x2F2=b4n2x20+a4m2y20+b4m2x20+a4n2y20-a4b4a4y20=b4m2+n2x20+a4m2+n2y20-a4b4a4y20.

將②式代入，可得

x2F2=a2b4x20+a6y20-a4b4a4y20.

將①式代入，可得

x2F2=a2b4a2+a2y20b2+a6y20-a4b4a4y20

=a4b4+a4b2y20+a6y20-a4b4a4y20

=a4b2y20+a6y20a4y20

=

a2+b2=c2，所以xF2=c，于是點F2是雙曲線的右焦點，從而點F1是雙曲線的左焦點.

3 找出已知拋物線的焦點

步驟如下：

1.利用文[2]的方法找到拋物線的頂點O和對稱軸l;

2.如圖3，在拋物線上任找一點A（不是拋物線的頂

點），過A作ABl于點B，作點B關(guān)于頂點O的對稱點

C，連接AC;

3.過點A作ADAC，交對稱軸l于點D;

4.取CD中點為F，則點F就是拋物線的焦點.

下面給出該作法的證明.

圖3

證明 不妨設(shè)拋物線的方程為y2=2px（p>0），點A的坐標為x0，y0，其中x0≠0，則點B的坐標為x0，0，點C的坐標為-x0，0.于是直線AC的斜率為y0-0x0--x0=y02x0，直線AD的方程為y-y0=-2x0y0x-x0.令y=0，可得x=x0+p，所以點D的坐標為x0+p，0，所以CD中點F的坐標為p2，0，所以點F就是拋物線的焦點.

參考文獻

[1] 張偉.使用幾何畫板如何找出已知橢圓的中心[J].中學(xué)數(shù)學(xué)雜志，2014（7）：23.

[2] 黃偉亮.使用幾何畫板找出雙曲線的中心和拋物線的焦點[J] .中學(xué)數(shù)學(xué)雜志，2015（3）：65.

雙曲線的定義范文第2篇

【關(guān)鍵詞】易錯點；限制條件；焦點位置；隱含條件；一個公共點的特殊情況

在學(xué)習(xí)新教材選修2-1中的圓錐曲線內(nèi)容時，學(xué)生感覺還是比較困難，通過對學(xué)生的調(diào)查了解，主要有兩個方面的問題，一是此部分涉及的計算量比較大；二是有許多易錯的地方會使學(xué)生不小心掉入陷阱。對于第一個問題，大家的共識是只有做題時養(yǎng)成不“跳步”的習(xí)慣、計算時能注意掌握一些解題技巧，就可以解決；對于第二個問題，大家感覺還是比較頭疼。為了更好的幫助大家解決這個問題，我們進行了如下的歸納和總結(jié)。

一、在對橢圓的學(xué)習(xí)中，要注意以下易錯點：

1、注意橢圓定義的限制條件。

問題1.若方程表示橢圓，求實數(shù)k的取值范圍。

錯解：實數(shù)k的取值范圍是（5，7）。

正解：且，實數(shù)k的取值范圍是。

分析：此題要考察的是對橢圓的標準方程的理解，錯解中忽略了橢圓的標準方程中的限制條件：a>b>0， 因為當a=b>0是方程表示圓，而不是橢圓。可見，準確的理解橢圓的定義，注意定義中的限制條件，對于避免和減少解題過程的失誤，保證解題的正確性很重要。

2、注意橢圓焦點位置的討論。

問題2.已知橢圓的標準方程為并且焦距為6，求實數(shù)m的值。

錯解：由橢圓的標準方程知

，

。

正解：

1）當橢圓的焦點在x軸上時，由橢圓的標準方程知

，

；

2）當橢圓的焦點在y軸上時，由橢圓的標準方程知，，，又；故或。

分析：當橢圓的焦點位置不確定時，求橢圓的標準方程需要進行分類討論，而錯解中忽略了對橢圓的焦點位置的討論。可見，涉及圓錐曲線方程的問題，如果沒有指明焦點所在的位置，一般都會有兩種可能的情況，不能順著思維的定式，想當然地認為焦點在x軸上或y軸上去求解。

3、注意橢圓的范圍的討論。

問題3.設(shè)橢圓的中心是坐標原點，長軸在x軸上，離心率，已知點到橢圓的最遠距離是，求橢圓的標準方程。

錯解：設(shè)橢圓方程為

，

則，，

即.設(shè)橢圓上的點到P點距離為d，

則

.

當時，有最大值，從而也有最大值，

，

所求橢圓的標準方程為.

正解：設(shè)橢圓方程為，

則，，

即.設(shè)橢圓上的點到P點距離為d，

則

.

若，則當時，有最大值，從而d有最大值，于是，從而解得與矛盾。

必有，此時當時，有最大值，從而d也有最大值，，所求橢圓的標準方程為.

分析：在錯解中“當時，有最大值”這一步的推理有問題，沒有考慮橢圓方程中的取值范圍。仔細思考，由于點在橢圓上，所以有，因此在求的最大值時，要分類討論。

二、在對雙曲線的學(xué)習(xí)中，要注意以下易錯點：

1.注意雙曲線定義的限制條件。

問題1.已知，，動點P滿足，當a為3和5時，P點的軌跡分別是（ ）

A.雙曲線和一條直線；B. 雙曲線和一條射線；C.雙曲線的一支和一條直線；D.雙曲線的一支和一條射線；

錯解：10，當時，，故P點的軌跡為雙曲線；當時，10，故P點的軌跡為一條射線。故選B.

正解：，而不是，當時，，故P點的軌跡為雙曲線的一支；當時，10，故P點的軌跡為一條射線。故選D.

分析：錯解中忽略了雙曲線定義中的限制條件是“差的絕對值”，因此，當時，P點的軌跡為雙曲線的右支。大家解題時要注意：當，即時，P點的軌跡是雙曲線，其中，取正號時為雙曲線的右（上）支，取負號時為雙曲線的左（下）支；當時，P點的軌跡是分別以點或為端點的兩條射線；當時，P點的軌跡不存在。

注意方程表示雙曲線的條件問題。

問題2.若方程表示雙曲線，求實數(shù)m的取值范圍。

錯解：。

正解：或

分析：錯解中只考慮了雙曲線焦點在x軸的情況，忽略了焦點在y軸的情況，與橢圓中類似，在不確定焦點位置時，需要分類討論。

3、注意雙曲線中的隱含條件問題。

問題3.已知P是雙曲線上一點，，是雙曲線的左右焦點，且，求的值。

錯解：，

且，.

正解：10由雙曲線的圖形可得點P到右焦點的距離.又，且，（舍去）或.

分析：錯解中忽略了雙曲線中的一個隱含條件，即雙曲線上的點到任一焦點的距離都大于等于，從而兩解中要舍去不滿足要求的那個。這是許多學(xué)生解題中容易出錯的地方。

4、注意雙曲線的焦點位置的討論。

問題4.已知雙曲線的漸近線方程是，焦距為，求雙曲線的標準方程。

錯解：雙曲線標準方程為：。

正解：1）當雙曲線的焦點在x軸上時，

雙曲線標準方程為：；

2）當雙曲線的焦點在x軸上時，

雙曲線標準方程為：；

故所求雙曲線的標準方程為：或

分析：這里錯解的原因還是沒有弄清雙曲線的焦點在哪個軸上，需要注意的是：當焦點在x軸上時，

漸近線方程為：；當焦點在y軸上時，

漸近線方程為：。

5、注意直線與雙曲線有一個公共點的特殊情況。

問題5：已知過點P（1，1）的直線與雙曲線只有一個公共點，求直線的斜率的取值。

錯解：由題意，則：，

有：

。

正解：由題意，則：，

有：

若，此時，直線與雙曲線的漸近線平行，直線與雙曲線只有一個公共點；

若，則

綜上可知，直線的斜率為。

分析：錯解的原因是忽略了直線與雙曲線的漸近線平行時，也是直線和雙曲線只有一個公共點的情況；從方程解的情況來看，也沒有注意當形如二次方程時若二次項系數(shù)不確定時，需要進一步的討論。

在對拋物線的學(xué)習(xí)中，要注意以下易錯點：

1、注意拋物線定義中的限制條件。

問題1.已知點P到的距離與到直線的距離相等，求點P的軌跡方程。

錯解：由拋物線定義知，點P的軌跡為拋物線。焦點在x軸上，開口向右，焦點到準線的距離，拋物線的方程為.

正解：設(shè)點，

依題意有：，此為所求的軌跡方程。

分析：點P到的距離與到直線的距離相等，的確滿足拋物線的定義，但是，故此時拋物線的方程不可能是標準方程。這里，要特別注意分析定點和定直線是否處于軸的對稱的兩側(cè)，若是，則很可能是標準方程；否則，應(yīng)該用求軌跡方程的定義法來求解。

2、注意弄清拋物線中的字母位置和意義。

問題2.若拋物線的準線方程是，求的值。

錯解：準線方程為，.

正解：由.

分析：這里主要的錯因是：沒有正確的理解拋物線標準方程的形式，應(yīng)該是等式左端為二次項且系數(shù)為1，等式的右端為一次項。大家解題時一定要注意。

注意直線與拋物線有一個公共點的特殊情況。

問題3.求過定點，且與拋物線只有一個公共點的直線的方程。

錯解：1）當直線的斜率不存在時，不滿足題意；

當直線的斜率存在時，設(shè)直線的方程為：

有，

依題意，，故所求直線的方程為：

或。

正解：1）當直線的斜率不存在時，不滿足題意；

當直線的斜率存在時，

當時，則所求直線方程為：，此時直線與拋物線只有一個公共點；

當時，設(shè)直線的方程為：

有，

依題意，，故所求直線的方程為：

或或。

分析：在解題中，考慮直線與拋物線只有一個交點時，一般要注意三種情況：一是當直線的斜率不存在時；二是當直線與拋物線的對稱軸平行時；三是當直線與拋物線相切的情況。

總之，在學(xué)習(xí)圓錐曲線時，要注意以上這些誤區(qū)，少走彎路，突破易錯點，減少失誤！

雙曲線的定義范文第3篇

雙曲線的通徑是過焦點，垂直于實軸的弦，通徑有兩條，長為2b2/a。

雙曲線的定義為平面交截直角圓錐的兩半的一類圓錐曲線。它還可以定義為與兩個固定的點（叫做焦點）的距離差是常數(shù)的點的軌跡。這個固定的距離差是a的兩倍，這里的a是從雙曲線的中心到雙曲線最近的分支的頂點的距離。

a還叫做雙曲線的實半軸。焦點位于貫穿軸上，它們的中間點叫做中心，中心一般位于原點處。平面內(nèi)，到給定一點及一直線的距離之比為常數(shù)e（e=c/a（e>1），即為雙曲線的離心率）的點的軌跡稱為雙曲線。定點叫雙曲線的焦點，定直線叫雙曲線的準線。雙曲線準線的方程為x=±a2/c（焦點在x軸上）或y=±a2/c（焦點在y軸上）。

（來源：文章屋網(wǎng) ）

雙曲線的定義范文第4篇

例1 某中心接到其正東、正西、正北方向三個觀測點的報告：正西、正北兩個觀測點同時聽到了一聲巨響，正東觀測點聽到的時間比其它兩個觀測點晚4s. 已知各觀測點到該中心的距離都是1020m. 試確定該巨響發(fā)生的位置.（假定當時聲音傳播的速度為340m/s，相關(guān)各點均在同一平面上.）

解析 如圖，以接報中心為原點[O]，正東、正北方向為[x]軸、[y]軸正向，建立直角坐標系.設(shè)[A，B，C]分別是西、東、北觀測點，則[A（-1020，0）]，[B（1020，0）]，[C（0，1020）.]

設(shè)[P（x，y）]為巨響發(fā)生點，由[A，C]同時聽到巨響聲，得[|PA|=|PC|]，故[P]在[AC]的垂直平分線[PO]上，[PO]的方程為[y=-x]，因為[B]點比[A]點晚4s聽到爆炸聲，故[|PB|-|PA|=340×4=1360.]

由雙曲線定義知[P]點在以[A，B]為焦點的雙曲線[x2a2-y2b2=1]上，依題意得[a=680， c=1020]，

[ b2=c2-a2=10202-6802=5×3402.]

故雙曲線方程為[x26802-y25×3402=1.]

將[y=-x]代入上式，得[x=±6805].

[|PB|>|PA|]，

[x=-6805， y=6805，]即[P（-6805，6805），]故[PO=68010.]

答：巨響發(fā)生在接報中心的西偏北[45°]距中心[68010m]處.

點撥 時間差即為距離差，到兩定點的距離之差為定值的點的軌跡是雙曲線.

題型二 求雙曲線的標準方程

例2 已知雙曲線[C]與雙曲線[x216-y24=1]有公共焦點，且過點[（32，2）].求雙曲線[C]的方程.

解析 設(shè)雙曲線方程為[x2a2-y2b2=1]，則[c=25].

又雙曲線過點[（32，2）]，[（32）2a2-22b2=1.]

又[a2+b2=（25）2]，[a2=12， b2=8].

故所求雙曲線的方程為[x212-y28=1].

點撥 求雙曲線的方程，關(guān)鍵是求[a，b]. 在解題過程中應(yīng)熟悉各元素（[a，b，c，e]及準線）之間的關(guān)系，并注意方程思想的應(yīng)用.

題型三 求離心率或離心率的范圍

例3 已知雙曲線[x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）]的左、右焦點分別為[F1，F(xiàn)2]，點[P]在雙曲線的右支上，且[|PF1|=4|PF2|]，則此雙曲線的離心率[e]的最大值.

解析 由定義知[|PF1|-|PF2|=2a]，又已知[|PF1|=4|PF2|]，解得[|PF1|=83a]，[|PF2|=23a]，在[PF1F2]中，由余弦定理得，

[cos∠F1PF2=649a2+49a2-4c22?83a?23a=178-98e2]，要求[e]的最大值，即求[cos∠F1PF2]的最小值，當[cos∠F1PF2=-1]時，解得[e=53]，即[e]的最大值為[53.]

點撥 這是一個存在性問題，可轉(zhuǎn)化為最值問題來解決.

題型四 與漸近線有關(guān)的問題

例4 若已知雙曲線[x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）]的焦點到漸近線的距離等于實軸長，則雙曲線的離心率為（ ）

A. [2] B. [3] C. [5] D. 2

解析 焦點到漸近線的距離等于實軸長，

故[b=2a]，[e2=c2a2=1+b2a2=5]，所以[e=5.]

點撥 雙曲線的漸近線與離心率存在對應(yīng)關(guān)系，通過[a，b，c]的比例關(guān)系可以求離心率，也可以求漸近線方程.

題型五 直線與雙曲線的位置關(guān)系

例5 （1）過點[P（7，5）]與雙曲線[x27-y225=1]有且只有一個公共點的直線有幾條，求出它們的方程；

（2）直線[y=kx+1]與雙曲線[3x2-y2=1]相交于[A，B]兩點，當[a]為何值時，[A，B]在雙曲線的同一支上？當[a]為何值時，[A，B]分別在雙曲線的兩支上？

解析 （1）若直線的斜率不存在時，則[x=7]，此時僅有一個交點[（7，0）]，滿足條件；

若直線的斜率存在時，設(shè)直線的方程為[y-5=k（x-7）]，即[y=kx+5-k7].

代入得，[x27-（kx+5-k7）225=1]，

[25x2-7（kx+5-k7）2=7×25].

即[（25-7k2）x2-14kx（5-k7）+7（5-k7）2-175][=0].

當[k=577]時，方程無解，不滿足條件；

當[k=-577]時，[2×57x×10=75]方程有惟一解，滿足條件；

當[k2≠257]時，令

[Δ=[14k（5-k7）]2-4（25-7k2）[（5-k7）2-165]=0，]

化簡得：[k]無解，不滿足條件.

所以滿足條件的直線有兩條，[x=7]和[y=-577x+10].

（2）把[y=kx+1]代入[3x2-y2=1]整理得，

[（3-a2）x2-2ax-2=0].

當[a≠±3]時，[Δ=24-4a2].

由[Δ>0]得[-6

若[A，B]在雙曲線的同一支，須[x1x2=2a2-3]>0 ，所以[a3].

故當[-6

點撥 與雙曲線只有一個公共點的直線有兩種.一種是與漸近線平行的兩條與雙曲線交于一點的直線，另一種是與雙曲線相切的直線也有兩條.

題型六 求軌跡方程

例6 雙曲線[x29-y2=1]有動點[P]，[F1，F(xiàn)2]是曲線的兩個焦點，求[ΔPF1F2]的重心[M]的軌跡方程.

解析 設(shè)[P，M]點坐標各為[P（x1，y1），M（x，y）]，

在已知雙曲線方程中[a=3，b=1]，

[c=9+1=10].

雙曲線的兩焦點為[F1（-10，0），F(xiàn)2（10，0）]，

[ΔPF1F2]存在，[y1≠0].

由三角形重心的坐標公式有，

[x=x1+（-10）+103，y=y1+0+03，]即[x1=3x，y1=3y.]

[y1≠0]，[y≠0].

已知點[P]在雙曲線上，將上面的結(jié)果代入已知曲線方程，有[（3x）29-（3y）2=1（y≠0）].

雙曲線的定義范文第5篇

一、利用雙曲線的定義求解

例1：設(shè)F、F為雙曲線-=1(a＞0，b＞0)的左右焦點，以FF為邊作正三角形，若雙曲線恰好平分正三角形的另外兩邊，則雙曲線的離心率是多少？

解：如圖1，在正PFF中，由題意知M為PF的中點，故MF=c，MF=c.由于MF-MF=2a，故c-c=2a，e==+1.

評注：一般在焦點三角形中經(jīng)常利用雙曲線的定義尋求離心率的關(guān)系。

二、利用雙曲線中的隱含的約束條件求解

例2：已知F、F為雙曲線-=1(a＞0，b＞0)的左右焦點，點P在雙曲線的右支上，且PF=4PF，則雙曲線的離心率的范圍為多少？

解：PF=4PF，又PF-PF=2a，

PF=.

又PF≥c-a，

≥c-a，

1＜e≤.

評注：由于P在雙曲線的右支上，所以滿足PF≥c-a，從而得到a、c滿足的不等關(guān)系，求解出e的范圍。

三、利用平面幾何關(guān)系求解

例3：如圖2，F(xiàn)、M分別是雙曲線-=1（a＞0，b＞0）的左焦點和右頂點，過F且垂直于x軸的直線與雙曲線交于A、B兩點，若ABM為銳角三角形，則雙曲線的離心率的范圍是多少？

解：由題意知ABM為等腰三角形，故只需∠AMB為銳角即可，只需∠AMF＜，

AF＜FM，

＜a+c，

b＜a+ac，

c-a＜a+ac，

c-ac-2a＜0，

e-e-2＜0，

-1＜e＜2.

又e＞1，

1＜e＜2.

評注：根據(jù)平面幾何的相關(guān)內(nèi)容得出a、b、c滿足的關(guān)系，從而得出e滿足的關(guān)系式。

四、利用漸近線求解

例4：設(shè)雙曲線的焦點在x軸上，兩條漸近線為y=±x，則該雙曲線的離心率是多少？

解：由題意知=，

a=2b，c=b，

e==.

五、利用判別式求解

例5：設(shè)雙曲線-y=1（a＞0）與直線l∶x+y=1相交與兩個不同的點A、B，求雙曲線的離心率的取值范圍？

解：由-y=1x+y=1得(1-a)x+2ax-2a=0

雙曲線與直線有兩個不同的交點，

1-a≠0Δ=4a+8a(1-a)＞0，

0＜a＜2，且a≠1，

e===1+＞，且e≠2，

e＞，且e≠.