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雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程范文第1篇

    重點:雙曲線的第一、第二定義, 雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程,雙曲線的幾何性質(zhì),軌跡問題等.

    難點:a,b,c,e等參數(shù)值的求法及其取值范圍問題的探討,直線與雙曲線位置關(guān)系相關(guān)的綜合問題.

    (1)研究雙曲線上的點到其焦點的距離問題時,首先應(yīng)考慮用定義來解題. 關(guān)注定義中的“絕對值”,若定義中去掉了“絕對值”,則點的軌跡是雙曲線的一支,由此導(dǎo)致一個點在雙曲線的左支和右支上的情形是不同的.

    (2)研究雙曲線上一點與兩焦點組成的三角形(焦點三角形)問題時,在運用定義的同時還會經(jīng)常用到正、余弦定理.

    (3)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.

    ①定義法:分析題目條件是否滿足定義;求出a,b,c;寫出方程.

    ②待定系數(shù)法:確定焦點的位置;設(shè)出待求方程;確定相關(guān)系數(shù);寫出方程.

    (4)雙曲線的幾何性質(zhì)常涉及一些不等關(guān)系,例如:雙曲線■-■=1中,x≥a或x≤-a,e>1等. 在求與雙曲線有關(guān)的一些量的范圍或與這些量有關(guān)的最值時會經(jīng)常用到這些不等關(guān)系.解決雙曲線中有關(guān)變量的最值與取值范圍問題常見的解法有兩種:幾何法和代數(shù)法. 若題目的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征和意義,則考慮利用圖形性質(zhì)來解決,這就是幾何法. 若題目的條件和結(jié)論能體現(xiàn)一種明確的函數(shù)關(guān)系,則可首先建立起目標(biāo)函數(shù),再求這個函數(shù)的最值,這就是代數(shù)法.

    (5)直線與雙曲線. 直線與雙曲線位置關(guān)系的判斷:直線與曲線的位置關(guān)系,可以通過討論直線方程與曲線方程組成的方程組的實數(shù)解的個數(shù)來確定,通常消去方程組中的變量y(或x)得到關(guān)于變量x(或y)的一元二次方程,考慮該一元二次方程的判別式Δ,則有:Δ>0?圳直線與雙曲線相交于兩個點;Δ=0?圳直線與雙曲線相交于一個點;Δ<0?圳直線與雙曲線無交點. 若得到關(guān)于x(或y)的一元一次方程,則直線與雙曲線相交于一個點,此時直線平行于雙曲線的一條漸近線.

    (6)直線與雙曲線相交時常見問題的處理方法:①涉及弦長問題,常用“根與系數(shù)的關(guān)系”,設(shè)而不求計算弦長. 直線l被雙曲線截得的弦長AB=■或AB=■,其中k是直線l的斜率,(x1,y1),(x2,y2)是直線與雙曲線的兩個交點A,B的坐標(biāo),且(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2,x1+x2,x1x2可由韋達定理整體給出. ②涉及求平行弦中點的軌跡,求過定點的弦中點的軌跡和求被定點平分的弦所在的直線方程問題時,常用“點差法”設(shè)而不求,將動點的坐標(biāo)、弦所在直線的斜率、弦的中點坐標(biāo)聯(lián)系起來,相互轉(zhuǎn)化.

    (1)求雙曲線C的方程;

    (2)若直線:y=kx+m(k≠0,m≠0)與雙曲線C交于不同的兩點M,N,且線段MN的垂直平分線過點A(0,-1),求實數(shù)m的取值范圍.

    思索 ①涉及直線與雙曲線相交弦有關(guān)的參數(shù)范圍的問題,Δ>0是必不可少的條件. ②關(guān)于直線與雙曲線的某一支的相交問題,不但要考慮Δ>0,還要考慮方程根的取值范圍.

    建議同學(xué)們在復(fù)習(xí)本節(jié)內(nèi)容時重視以下幾個方面:

    (1)重視定義在解題中的作用,對于雙曲線的兩種定義,要在訓(xùn)練的過程中加強理解和掌握.

    (2)重視平面幾何知識在解題中的作用,解題過程中應(yīng)借助圖形分析條件,尋求最優(yōu)解法.

雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程范文第2篇

注意到橢圓與雙曲線在定義與標(biāo)準(zhǔn)方程的差別僅在“和”與“差”上，因此表現(xiàn)在性質(zhì)的差異上可能就是矛盾的兩個方面。抓住這一點，可以先研究橢圓的幾何性質(zhì)，然后再類比到雙曲線上。為便于討論，只以焦點在x軸上的圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程進行討論。

一、內(nèi)外之分

1.設(shè)橢圓 （a，b＞0）兩焦點為F1，F(xiàn)2，點Q為橢圓上除頂點外的任一點，過橢圓的一個焦點作∠F1QF2的一個外角平分線的垂線，垂足為P，則P點軌跡是圓的一部分。

證明：如圖1，QP為∠F1QF2的一個外角平分線，過F2作QP的垂線，垂足為P。延長F2P與F1Q的延長線交于點N，則QP為F2N的垂直平分線，|QF2|=|QN|，又|QF1|+|QF2|=2a，|F1N|=2a，又OP為F1F2N的中位線,所以O(shè)P∥F1N且OP=a，所以P在以O(shè)為圓心，半徑為a的圓上。

上述性質(zhì)類比到雙曲線上，即可得到：

設(shè)雙曲線 （a，b＞0）兩焦點為F1，F(xiàn)2，點Q為雙曲線上除頂點外的任一點，過雙曲線的一個焦點作∠F1QF2的平分線的垂線，垂足為P，則P點軌跡是圓的一部分。

本題結(jié)論本身也許并不重要，但解題依據(jù)卻是最基本的定義，題目條件中的外角平分線與內(nèi)角平分線的差別恰好就是橢圓與雙曲線在定義上區(qū)別的體現(xiàn)。

二、正余有別

1.設(shè)橢圓a，b＞0）兩焦點為F1，F(xiàn)2，點Q為雙曲線上

除頂點外的任一點，∠F1QF2=θ，則三角形F1QF2的面積 證明：如圖2，由橢圓定義得：|QF1|+|QF2|=2a （1）QF1F2中，由余弦定理可得：|QF1|2+|QF2|2-2|QF1|?|QF2|

cosθ=4c2 （2）

（1）式平方-（2）式得2|QF1|?|QF2|（1+cosθ）=4a2-4c2，

上述性質(zhì)類比到雙曲線上，即可得到：

設(shè)雙曲線 （a，b＞0）兩焦點為F1，F(xiàn)2，點Q為雙曲線上除頂點外的任一點，∠F1QF2=θ，則三角形F1QF2的面積

本題結(jié)論中，兩個面積公式的不同之處僅在正切與余切的區(qū)別上，這種形式的類似既是曲線性質(zhì)規(guī)律性的反映，也是運用類比方法的典型案例。

三、對立統(tǒng)一

1.直線y=kx+b與橢圓（a，b＞0）交于A，B兩點（圖3），設(shè)AB中點為M，O為坐標(biāo)原點，則有

（其中e為離心率）。

證明：設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），中點M（x0，y0），則有：

整理得， ，所以有上述性質(zhì)類比到雙曲線上，即可得到：直線y=kx+b與雙曲線

交于A，B兩點，設(shè)AB中點為M，O為坐標(biāo)原點，則有（其中e為離心率）。

雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程范文第3篇

函數(shù)（曲線）和方程的教學(xué)內(nèi)容是高中階段一塊重要的核心內(nèi)容，它的思想可以說是貫穿整個高中階段的教學(xué)過程。在高一階段的教學(xué)過程中，學(xué)生已經(jīng)逐漸領(lǐng)會了如何了解一個函數(shù)的一些思想方法。并且我還補充了高中階段經(jīng)常遇到的兩類重要的特殊函數(shù)：

（1）y=（一次分式函數(shù)）； （當(dāng)時以y= 為例進行指導(dǎo)學(xué)習(xí)）

（2）（雙鉤函數(shù)）（當(dāng)時以y=x+為例進行指導(dǎo)學(xué)習(xí)）（當(dāng)ab>0時，圖象的兩個鉤子又可以稱為耐克函數(shù)，符合現(xiàn)在學(xué)生的品牌觀念）

應(yīng)該說學(xué)生對這塊內(nèi)容的學(xué)習(xí)是非常重視的，也掌握得比較扎實。在今年高二的圓錐曲線方程之雙曲線的教學(xué)復(fù)習(xí)中，我又適時地向?qū)W生推出了這兩類函數(shù)，學(xué)生頓時明白了這兩類函數(shù)的圖象就是我們現(xiàn)在所研究的雙曲線。于是學(xué)生記憶中的舊知識被喚醒，學(xué)習(xí)興趣也如雨后春筍破土而出，勢不可擋。學(xué)習(xí)的效果確實是比較理想的。

下面對本堂課的前后過程作一個簡單的介紹。

在本節(jié)課之前學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了雙曲線與橢圓及拋物線所明顯的一個區(qū)別：雙曲線擁有漸近線。

本節(jié)課以雙曲線的漸近線為切入口，讓學(xué)生進一步學(xué)習(xí)和加深對雙曲線性質(zhì)的了解。

準(zhǔn)備知識（已經(jīng)有所介紹）：

引導(dǎo)學(xué)生細心觀察雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程，分析其特點，去探求對稱中心，頂點，焦點，對稱軸，漸近線，準(zhǔn)線，離心率的內(nèi)在聯(lián)系，從而讓學(xué)生歸納出雙曲線的共同性質(zhì)：

（1）雙曲線有一個對稱中心，兩個頂點，兩個焦點，兩條對稱軸，兩條漸近線，兩條準(zhǔn)線；

（2）雙曲線僅與兩條對稱軸中的一條相交，其交點就是頂點；雙曲線的焦點就在這條對稱軸上；

（3）雙曲線的頂點，焦點，實軸在雙曲線的同一條對稱軸上，且準(zhǔn)線垂直于這條對稱軸；

（4）兩條漸近線的交點，就是兩條對稱軸的交點，也就是該雙曲線的對稱中心；到兩條漸近線距離相等的點的軌跡就是該雙曲線的對稱軸，顯然，雙曲線的兩條對稱軸相互垂直；

（5）若漸近線與實軸所在的直線的夾角為α，則雙曲線的離心率：e=secα （α必為銳角）；特殊的情形：等軸雙曲線中α=， e=，此時兩條漸近線相互垂直。

以反比例函數(shù)為切入口，給出：

問題：（幻燈片）

已知下列雙曲線的漸近線，求它們的對稱中心，頂點，焦點，對稱軸方程，準(zhǔn)線方程，離心率的大?。?/p>

（1）y=， （兩條漸近線為x=0, y=0，）

（2） y=（兩條漸近線為 x=-，y= ）

解（1）：因為雙曲線y=的兩條漸近線為兩條坐標(biāo)軸，所以對稱中心為O(0, 0)

在平面內(nèi)到兩坐標(biāo)軸距離相等的點的軌跡為直線y=±x，由性質(zhì)可知它們就是該雙曲線的對稱軸方程；雙曲線的實軸所在的直線為y=x，它與雙曲線的兩個交點即為雙曲線的頂點，可得(1, 1)， (-1, -1)，又因為該雙曲線的一條漸近線與對稱軸所成的角為，故其離心率為e=sec=，由性質(zhì)設(shè)焦點F(m, m) 所對應(yīng)的準(zhǔn)線為：y=-x+n；設(shè) 為該雙曲線上的任意一點，由雙曲線的第二定義可知： =，整理化簡得：xy=(n-m) (x+y)+m2-， 聯(lián)立xy=1，比較得：n-m=0m2-=1，即m=n=±，由此得雙曲線y=的兩個焦點坐標(biāo)為：(，), (-，-), 兩條準(zhǔn)線方程為：x+y±=0

分析討論完畢后，我和學(xué)生一起進行了總結(jié)：

總結(jié)1：雙曲線y=的性質(zhì)（幻燈片）

（1） 對稱中心為O(0, 0)；

（2） 兩個頂點坐標(biāo)為(1, 1)， (-1, -1)；

（3） 兩個焦點坐標(biāo)為：(， ), -， -)；

（4） 兩條對稱軸方程為：y=±x；

（5） 兩條漸近線為 ，x=0, y=0；

（6） 兩條準(zhǔn)線方程為：x+y±=0；

（7） 離心率為e=

在第（2）個的教學(xué)過程里，學(xué)生的參與非常積極，基于其中計算量的問題和時間的關(guān)系，我主要引導(dǎo)了學(xué)生研究方法，并得到了其中部分的性質(zhì)：

總結(jié)2：雙曲線y=的性質(zhì)（幻燈片）（最一般情形：abcd≠0， ad≠bc ）

（1）對稱中心為-, ；

（2）ab>0， ad>bc時：兩個頂點坐標(biāo)為：（此時雙曲線形狀形如y=）

,,,，

（3）ab>0，ad>bc 時：兩個焦點坐標(biāo)為：課后思考。

（4）兩條對稱軸方程為：y- =±x, ；

（5）兩條漸近線為兩條漸近線為x=-， y= ；

（6）ab>0， ad>bc時，兩條準(zhǔn)線方程為：課后思考。

（7）離心率為e=

注：以上性質(zhì)中（2）， （3）， （6）的另一種情形同樣請學(xué)生課后思考。

在接下來另一類特殊雙曲線性質(zhì)的教學(xué)過程里，我同樣地先給出了一個學(xué)生常見的，典型的例子，然后對一般的情形給予總結(jié)：

問題：（幻燈片）

已知下列雙曲線的漸近線，求它們的對稱中心，頂點，焦點，對稱軸方程，準(zhǔn)線方程，離心率的大小：

（3） y=x+（兩條漸近線為x=0， y=x）

（4） y=ax+(a>0, b>0) （兩條漸近線為x=0， y=ax）

解（3）：雙曲線的兩條漸近線的交點，也是兩條對稱軸的交點，就是雙曲線的對稱中心，所以該雙曲線的對稱中心的坐標(biāo)為 (0, 0)，設(shè)P(x, y)為對稱軸上任意一點，則點p到兩條漸近線的距離相等，于是有：

=|x|，化簡得：，y=(1±)x （也可由夾角公式得出）由性質(zhì)這兩條直線即為雙曲線的對稱軸方程，聯(lián)立y=x+可得兩個頂點坐標(biāo)為： ,, -,-，該雙曲線實軸所在直線為y=(1+)x，它與兩條漸進線中的一條的夾角為，由性質(zhì)知雙曲線的離心率為e=sec=，設(shè)雙曲線的焦點為F(m, m+m)，它所對應(yīng)的準(zhǔn)線為y=1-x+n，設(shè)M(x, y)為該雙曲線上的任意一點，由雙曲線的第二定義可知： =，化簡得：

xy=x2+x+y+，

聯(lián)立y=x+，即xy=x2+1，比較可得：2m-(2-2)n=0(2+2)m-2n=0=1，解得：m=±n=±，所以所求焦點坐標(biāo)為(,), (-, -)準(zhǔn)線方程為：

y=(1-)x+, y=(1-)x-，同樣地和學(xué)生進行了總結(jié)：

總結(jié)3：雙曲線y=x+的性質(zhì)（幻燈片）

（1）對稱中心為O(0, 0)；

（2）兩個頂點坐標(biāo)為：,-,-；

（3）兩個焦點坐標(biāo)為：(, ), (-,

-)；

（4）兩條對稱軸方程為：y=1±x；

（5）兩條漸近線為x=0， y=x；

（6）兩條準(zhǔn)線方程為：y=1-x+,y=1-x -；

（7）離心率為e=

雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程范文第4篇

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué) 思維能力 培養(yǎng)

思維能力是人類獨有的功能，是解決問題，尋求答案的金鑰匙。高中數(shù)學(xué)新課程標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定的教學(xué)目標(biāo)之一，就是培養(yǎng)學(xué)生的思維能力，在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和運用數(shù)學(xué)解決問題時，培養(yǎng)其直觀感知、觀察發(fā)現(xiàn)、歸納類比、空間想像、抽象概括、符號表示、運算求解、數(shù)據(jù)處理、演繹證明、反思與建構(gòu)等思維能力與技巧。但是，目前的我國高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)還存在著一些問題，影響了學(xué)生思維能力的提升。本文對此進行了剖析，并提出三點具體的教學(xué)建議。

一、目前高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)存在的問題

首先，許多教師輕視課前思維過程設(shè)計。

精心設(shè)計課堂教學(xué)是教師課前必備的環(huán)節(jié)，而大多數(shù)教師能夠在課前做到認真?zhèn)湔n，吃透教材，但很少能做到超越教材，并擁有在課堂上遇到突發(fā)事件保持鎮(zhèn)定，從容應(yīng)對的教學(xué)機智以及克服困難需要教師具有的耐心、恒心、意志力和執(zhí)著精神。另外，教師缺少對課堂教學(xué)過程的精心設(shè)計，知識呈現(xiàn)的方法設(shè)計，邏輯思維的過程設(shè)計，與學(xué)生交往的方式設(shè)計等等。

其次，在課堂教學(xué)中輕視引導(dǎo)點撥。

目前的數(shù)學(xué)課堂中，教師雖然不像過去那樣把結(jié)論、答案直接告訴學(xué)生，而往往是以啟發(fā)的方式提出問題，但教師往往由于教學(xué)進度和課時量的原因缺少等待，提出問題后很快就會以暗示性的語言迅速把學(xué)生的思路、解決問題的方法引到設(shè)計好的標(biāo)準(zhǔn)化的路線上來，然后在教師的牽引下迅速指向標(biāo)準(zhǔn)答案，一個教學(xué)過程就這樣完成了。這對知識的傳授也許是高效的，但是高效背后犧牲的卻是學(xué)生的獨立思考能力及實際解決問題的能力發(fā)展的空間和權(quán)利。

第三，課堂教學(xué)缺少師生互動交流和生生合作交流。

迫于高考的壓力，為使學(xué)生在有限的時間內(nèi)能夠更好地應(yīng)付考試，教師在教學(xué)中往往忙于通過大量的習(xí)題訓(xùn)練來幫助學(xué)生消化所學(xué)的知識，學(xué)生只是為了熟練掌握解題技巧而進行機械化的重復(fù)訓(xùn)練，數(shù)學(xué)課堂幾乎無法展開討論和交流。在這種權(quán)威式的課堂教學(xué)中，不僅缺少師生之間的平等對話和溝通，缺少生生的合作活動，也缺少對學(xué)生思維能力和品質(zhì)的培養(yǎng)。由于數(shù)學(xué)學(xué)科知識邏輯性較強，思維含量相對較高，被動模仿和接受使學(xué)生感覺不到數(shù)學(xué)的實踐價值和美學(xué)價值，也影響了學(xué)生對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣和探索激情。

第四，課后輕視系統(tǒng)的總結(jié)和反思。

新課程特別強調(diào)反思，教學(xué)反思被認為是教師專業(yè)發(fā)展和自我成長的核心因素。教學(xué)實踐之后的總結(jié)已成了課堂教學(xué)過程的重要環(huán)節(jié)。而許多教師很少做到將課堂中的感受、得失及時記錄下來，更缺乏對教學(xué)實踐的系統(tǒng)反思和教學(xué)感悟。由于教師對這一環(huán)節(jié)的忽視，很多學(xué)生也不善于對已學(xué)知識進行歸納梳理，不善于對新舊知識進行橫縱遷移和類比，這樣學(xué)生就失去了對知識省悟和升華的機會。

二、培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的教學(xué)建議

首先，教師應(yīng)精心進行課程設(shè)計，創(chuàng)設(shè)有利于學(xué)生展開思維活動的情景。

例如，在講授“雙曲線及標(biāo)準(zhǔn)方程”時，我們可以這樣創(chuàng)設(shè)情境：先從橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)出發(fā)導(dǎo)入課題――雙曲線。然后，通過多媒體教學(xué)設(shè)備在大屏幕顯示法國巴黎的標(biāo)志性建筑物――埃菲爾鐵塔圖片，當(dāng)學(xué)生關(guān)注這個偉大建筑時，教師提出問題：埃菲爾鐵塔以其簡潔而又壯闊的氣勢征服了全世界，是什么東西在支撐著它呢？學(xué)生開始議論，教師再播放動畫，埃菲爾鐵塔漸漸隱去，其輪廓線形成完整的雙曲線。這時候，有的學(xué)生很驚訝，更多的學(xué)生比較興奮，于是，教師告訴他們在熟悉的現(xiàn)實生活中處處蘊藏著優(yōu)美的數(shù)學(xué)。這種源于生活的課堂教學(xué)活動極大提高了學(xué)生學(xué)習(xí)的興致，師生在類比雙曲線、橢圓的定義后，自然而然推導(dǎo)出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程。在這節(jié)課的最后，教師還可以提出以下問題：我們已經(jīng)得到了雙曲線的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程，那么能不能自己推導(dǎo)雙曲線的性質(zhì)呢？從而引導(dǎo)學(xué)生在課后進行更加深入的思考，并為下一次課堂教學(xué)做好準(zhǔn)備。

其次，提倡“三論”的學(xué)習(xí)方式。

所謂三論，即討論、爭論和辯論。教師應(yīng)設(shè)計一些學(xué)生參與性、自主性較強的活動，給學(xué)生以意向和領(lǐng)會較為充分的機會，使學(xué)生的思維有一個活動的舞臺。同時，注重營造認知沖突情景，讓學(xué)生在完美中發(fā)現(xiàn)新漏洞，提出新的研究角度，對感知結(jié)果不斷地提高。

例如，在學(xué)習(xí)雙曲線的漸進線這一知識點時，學(xué)生由于還未接觸過極限思想，往屆學(xué)生在理解這部分內(nèi)容是感到困難，基于這種情況，筆者經(jīng)過慎重考慮，進行如下嘗試：先不給出漸進線方程，而是利用多媒體在同一坐標(biāo)系內(nèi)做出雙曲線這四條直線圍成的矩形及其對角線，通過課件的演示，讓學(xué)生觀察雙曲線左右兩支在原點附近的伸展?fàn)顩r，然后猜想x∞時伸展趨勢，大多數(shù)學(xué)生都猜想當(dāng)x∞時雙曲線夾在兩直線y=±(b/a)x之間，有了這種直觀感知的過程后，在進行嚴密的合情推理，學(xué)生自然要問怎么證明這種無限趨近的關(guān)系呢？問題提出后，筆者讓學(xué)生展開討論，大家一起獻計獻策，尋求一個最優(yōu)化的解決方案，這樣，既培養(yǎng)了學(xué)生的自我意識、自我分析、自我調(diào)整等能力，又通過學(xué)生之間的互相評價，培養(yǎng)了他們的合作意識與交往能力。

第三，重視課后反思和總結(jié)。

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(實驗)》把“反思”這一教學(xué)理念提到了應(yīng)有的高度：“人們在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和運用數(shù)學(xué)解決問題時，不斷地經(jīng)歷直觀感知……反思與構(gòu)建等思維過程，這些過程是數(shù)學(xué)思維能力的具體體現(xiàn)，有助于學(xué)生對客觀事物中蘊涵的數(shù)學(xué)模式進行思考和做出判斷”。在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，教師應(yīng)要求學(xué)生在課后對當(dāng)天所學(xué)內(nèi)容、自己的聽課情況及課前預(yù)習(xí)情況進行回顧、反思。例如，可給學(xué)生設(shè)計出類似以下的反思問題，來培養(yǎng)反思習(xí)慣：今天所學(xué)內(nèi)容是什么?老師講的知識哪些我還沒明白?我最大的收獲或感悟是什么?課上不懂的地方，如何弄清楚?這樣，就給學(xué)生在課后理清自己的思路、評價自己的學(xué)習(xí)情況、反思自己的學(xué)習(xí)過程創(chuàng)造了條件，從而能夠逐步培養(yǎng)學(xué)生的課后反思習(xí)慣。

參考文獻：

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[2]張奠宙.數(shù)學(xué)教育研究導(dǎo)引[M].南京：江蘇教育出版社，1998.

[3]葉堯城.高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)教師讀本[M].武漢：華中師范大學(xué)出版社，2003.

雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程范文第5篇

一、幾何畫板的理論依據(jù)

建構(gòu)主義的學(xué)習(xí)觀認為，學(xué)習(xí)是一個積極主動地建構(gòu)過程，學(xué)習(xí)者不是被動地接受外在信息，而是根據(jù)先前的認知結(jié)構(gòu)主動地和有選擇地接受外在信息，建構(gòu)當(dāng)前事物的意義。也就是說，知識的獲得是通過學(xué)習(xí)者在一定的情境即社會文化背景下，借助于他人的幫助，利用必要的學(xué)習(xí)資料，通過人際間的協(xié)作活動而實現(xiàn)的意義建構(gòu)過程。因此，在教學(xué)過程中不能離開學(xué)習(xí)者的背景知識和經(jīng)驗，要充分尊重學(xué)生的主體性。幾何畫板的動態(tài)性和形象性，給學(xué)生創(chuàng)造一個實際“操作”幾何圖形的環(huán)境，使學(xué)生在體驗與發(fā)現(xiàn)中學(xué)習(xí)，在較短的時間內(nèi)產(chǎn)生許多經(jīng)驗。學(xué)生在通過對幾何圖形進行觀察、探索、發(fā)現(xiàn)的過程中增加感性認識，形成豐厚的幾何經(jīng)驗背景，通過自己的思考建立自己的數(shù)學(xué)理解力，從而更有助于理解和證明。

二、教會學(xué)生使用幾何畫板軟件

問題1.在橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程教學(xué)中，為了更形象地讓學(xué)生在動態(tài)中觀察橢圓的運動現(xiàn)象，探究橢圓的性質(zhì)，首先，我把制作橢圓的過程教給學(xué)生。

（1）在平面上作線段F1F2，度量出其長度，定義為2c。

（2）在同一平面上作一條線段AB，度量出其長度，定義為2a，使a>c。

（3）在線段AB上任取一點C，“構(gòu)造”線段AC，度量AC的長度；“構(gòu)造”線段BC，度量BC的長度。

（4）以線段AC為半徑，以點F1為圓心，“構(gòu)造”圓C1。

（5）以線段BC為半徑，以點F2為圓心，“構(gòu)造”圓C2。

（6）圓C1與圓C2交于點M，M1，“構(gòu)造”線段MF1、MF2（提示：|MF1|=|AC|，|MF2|= |BC|），并選擇“跟蹤”點 M，M1。

（7）計算|MF1|+|MF2|的值。

（8）選中點C，在編輯菜單下操作類按鈕設(shè)置為動畫，標(biāo)記為“軌跡”。

（9）當(dāng)鼠標(biāo)點擊“軌跡”按鈕時，點M，M1運動，運動的軌跡是橢圓。（或拖動點C在AB上運動，出現(xiàn)點M，M1的軌跡是橢圓。）

在點M運動的過程中，學(xué)生觀察到|MF1|+|MF2|的值始終保持不變，即橢圓滿足下列條件的點的集合：P={M||MF1|+|MF2|=2a}

很容易得出橢圓的定義：平面內(nèi)與兩定點F1、F2的距離之和是常數(shù)（大于|F1F2|）的點的軌跡稱為橢圓。對進一步利用“坐標(biāo)法”研究曲線（橢圓）的標(biāo)準(zhǔn)方程，再利用曲線的方程討論曲線的性質(zhì)，解決幾何問題，起到了很重要的作用。

幾何畫板的動態(tài)性，能夠把數(shù)學(xué)圖形動態(tài)直觀地展現(xiàn)出來，化抽象為具體，化具體為形象，有助于學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題，啟發(fā)學(xué)生的思路，找到解決問題的有效方法，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想。

三、鼓勵學(xué)生作出猜想，參與探究

利用幾何畫板的動態(tài)性，可以讓學(xué)生在實驗的基礎(chǔ)上作出猜想，為教師培養(yǎng)學(xué)生探究性地建構(gòu)知識提供環(huán)境，從而讓學(xué)生在探究中學(xué)習(xí)，在探究中自主地建構(gòu)知識，提出猜想的結(jié)論，實現(xiàn)創(chuàng)新。

探究橢圓軌跡

問題2.在問題1研究橢圓的軌跡時，讓學(xué)生進一步探究：若改變線段AB的距離，曲線的形狀、大小有什么變化？為什么？學(xué)生可先對曲線的軌跡作出猜想，在紙上畫出曲線的軌跡。然后教師通過拖動A（B）點，改變AB的長度，驗證學(xué)生的猜測。結(jié)果發(fā)現(xiàn)：若F1、F2的距離不變，AB的長度越大，得到的橢圓越接近于圓；AB的長度越小，得到的橢圓越扁，越接近于線段F1F2；當(dāng)AB的值等于|F1F2|時，其軌跡為一線段，與F1F2重合。

問題3.已知一個圓的圓心為坐標(biāo)原點，半徑為2。從這個圓上任意一點P向x軸作垂線段PP′，求線段PP′的中點M的軌跡。

學(xué)生根據(jù)已知條件進行構(gòu)圖，設(shè)置點P為“動畫”，追蹤點M，得到中點M的運動軌跡是橢圓，很容易就完成這個課件的制作。結(jié)論證明將圓按某個方向壓縮（拉長）都可以得到橢圓。

進一步探索：若把點P任意縮放，得到點M′，則點M′的軌跡仍是橢圓。

問題4.探究橢圓的第二定義：即到定點的距離與到定直線的距離之比e（0 分析：在x軸上任畫兩點E、F，過E作x軸的垂線L，構(gòu)造線段AB、GH（|AB|

幾何畫板的最大特色是動態(tài)性，使學(xué)生在動態(tài)中觀察數(shù)學(xué)現(xiàn)象，體驗知識的形成過程，探究幾何圖形的性質(zhì)。因而，使教學(xué)更加直觀、生動，有利于激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，增強教學(xué)的趣味性。

四、參與教學(xué)過程，進行數(shù)學(xué)實驗

學(xué)生掌握了幾何畫板，可以更好地參與到教學(xué)過程中來，進行數(shù)學(xué)實驗，根據(jù)問題的內(nèi)容，展示數(shù)學(xué)思想，進行數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)、數(shù)學(xué)探索，體驗數(shù)學(xué)的本質(zhì)，探究知識之間的聯(lián)系，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律，尋找解決問題的方法。

問題5.從橢圓到雙曲線（讓學(xué)生仿照探究橢圓軌跡的方法探究雙曲線的軌跡）。

在幾何畫板上畫一直線AB，在直線AB上任意畫一點C，再畫兩點F1、F2，使|F1F2|>|AB|，以F1為圓心線段AC（即r1）為半徑畫圓，以F2為圓心線段BC（即r2）為半徑畫圓，圓F1與F2的交點是M、M′，改變點C的位置，點M、M′的軌跡是雙曲線。

由上面的畫圖過程可以看出，雙曲線是滿足下列條件的點的集合：

P={M|||MF1|-|MF2||=2a}.

我們把平面內(nèi)與兩個定點F1、F2的距離的差的絕對值等于常數(shù)（小于|F1F2|）的點的軌跡叫做雙曲線.這兩個定點叫做雙曲線的焦點，兩焦點的距離叫做雙曲線的焦距。

在圖3中，|AB|=2a，|F1F2|=2c，|AB|

根據(jù)上述條件，學(xué)生仿照求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的做法，很容易求出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程并探究其幾何性質(zhì)。五、自我探索，體現(xiàn)“多元聯(lián)系”

借助幾何畫板所提供的“多元聯(lián)系表示”的環(huán)境，使學(xué)生自我探索，揭示知識之間的內(nèi)在聯(lián)系，探索出問題的一般規(guī)律，有助于加深對數(shù)學(xué)知識的理解和掌握。