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數(shù)學(xué)中的反證法范文第1篇

關(guān)鍵詞：反證法；數(shù)學(xué)；證明

【中圖分類(lèi)號(hào)】G633.6

1 引言

公元前六世紀(jì)中期的古希臘七賢之首--泰勒斯最早引入了數(shù)學(xué)證明的思想，公元前三世紀(jì)的古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里德第一個(gè)最廣泛、最嫻熟地運(yùn)用了數(shù)學(xué)證明，我國(guó)數(shù)學(xué)家江澤函則指出："沒(méi)有數(shù)學(xué)證明，就沒(méi)有數(shù)學(xué)"。反證法是數(shù)學(xué)證明中的一種間接證明方法，在數(shù)學(xué)命題的證明中被廣泛應(yīng)用。歐幾里德證明"素?cái)?shù)有無(wú)窮多"、歐多克斯證明"兩個(gè)正多邊形的面積比等于其對(duì)應(yīng)線段比的平方"、"鴿子原理"和"最優(yōu)化原理"的證明等都用了反證法。但是由于在現(xiàn)行的各種教材中沒(méi)有對(duì)反證法給出系統(tǒng)的介紹，學(xué)生對(duì)反證法原理的理解和恰當(dāng)?shù)剡\(yùn)用也存在不少的問(wèn)題，故本文在此"拋磚引玉"。

2 反證法內(nèi)涵

2.1 什么是反證法

法國(guó)數(shù)學(xué)家阿達(dá)瑪說(shuō)過(guò)："反證法在于表明，若肯定定理的假設(shè)而否定其結(jié)論，就會(huì)導(dǎo)致矛盾。"即先假設(shè)命題中結(jié)論的反面成立，結(jié)合已知的定理?xiàng)l件，進(jìn)行正確的推理、論證，得出和命題中的題設(shè)或前面學(xué)習(xí)過(guò)的定義、公理、定理、已知的事實(shí)相矛盾，或自相矛盾的結(jié)果，從而斷定命題結(jié)論的反面不可能成立，因而斷定命題中的結(jié)論成立，這種證明的方法就叫做反證法。

2.2 反證法的原理

2.2.1 矛盾律

矛盾律是亞里士多德的形式邏輯的基本規(guī)律之一，其基本內(nèi)容是：在同一個(gè)論證過(guò)程中，對(duì)同一對(duì)象的兩個(gè)相矛盾的、對(duì)立的判斷，其中至少有一個(gè)是假的，它的公式是：不是。如對(duì)""這個(gè)對(duì)象，"是有理數(shù)"和"是無(wú)理數(shù)"的兩個(gè)判斷中至少有一個(gè)是假的。

2.2.2 排中律

排中律是形式邏輯的由一個(gè)基本規(guī)律，其基本內(nèi)容是：在同一個(gè)論證過(guò)程，對(duì)同一對(duì)象的肯定判斷和否定判斷。這兩個(gè)相矛盾的判斷必有一個(gè)是真的，它的公式是：或者是或者是，排除了第三種情況的可能，在數(shù)學(xué)論證中常根據(jù)排中律進(jìn)行推理。如要證明"是有理數(shù)"，只要證明"不是有理數(shù)"不真就夠了。這是因?yàn)?不是有理數(shù)"和"是有理數(shù)"是對(duì)象的兩個(gè)相矛盾的判斷，根據(jù)排中律，其中必有一個(gè)是真的。

2.3 運(yùn)用反證法證明論題的步驟

運(yùn)用反證法證明數(shù)學(xué)命題""，首先，必須弄清楚命題的條件和結(jié)論，然后按以下步驟進(jìn)行論證：

第一步：否定命題的結(jié)論，作出與相矛盾的判斷，得到新的命題；

第二步：由出發(fā)，利用適當(dāng)?shù)亩x、定理、公理進(jìn)行正確的演繹推理，引出矛盾結(jié)果；

第三步：斷定產(chǎn)生矛盾的原因，在于判斷不真，從而否定，肯定原結(jié)論成立，間接證明了原命題。

分析上述三個(gè)步驟可以發(fā)現(xiàn)，運(yùn)用反證法的關(guān)鍵在于由新的論題演繹出一對(duì)矛盾，一般為推出的結(jié)果與某一定義、定理、公理、已知條件、所作題斷矛盾，或是推出兩個(gè)相互矛盾的結(jié)果。

值得注意的是在運(yùn)用反證法證明命題時(shí)要認(rèn)真細(xì)致地審題，若發(fā)現(xiàn)與論題結(jié)論相矛盾方面有不止一種情況，必須予以一一否定。且有時(shí)并非全部運(yùn)用反證法，它可能只在證明過(guò)程中部分地出現(xiàn)。

3 反證法在證明論題中的運(yùn)用

反證法是重要的證明方法，在幾何、代數(shù)等領(lǐng)域都有廣泛的運(yùn)用，現(xiàn)分類(lèi)舉例說(shuō)明。

3.1 反證法在幾何中的運(yùn)用

3.2 反證法在代數(shù)中的運(yùn)用

4 結(jié)語(yǔ)

由上可知，用反證法證明一些問(wèn)題時(shí)，有著其它方法所不能替代的作用。師生在了解了反證法的特點(diǎn)、證明過(guò)程及應(yīng)用"須知"后，加強(qiáng)訓(xùn)練、不斷總結(jié)，就能熟練地運(yùn)用了。

參考文獻(xiàn)：

[1] 杜永中.反證法[M].四川：四川教育出版社，1989：20.

[2] 黃志寧.談?wù)劮醋C法[J].福建商業(yè)高等專(zhuān)科學(xué)校學(xué)報(bào)，2000，20（4）：24-25.

數(shù)學(xué)中的反證法范文第2篇

關(guān)鍵詞：反證法；數(shù)學(xué)；應(yīng)用

中圖分類(lèi)號(hào)：G630 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1003-2851（2013）-10-0310-02

法國(guó)數(shù)學(xué)家達(dá)瑪說(shuō)：“反證法在于表明：若肯定定理的假設(shè)而否定其結(jié)論，就會(huì)導(dǎo)致矛盾?！边@是對(duì)反證法精辟的概括。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，作為一名教師不僅要重視知識(shí)的傳授，更應(yīng)該重視對(duì)學(xué)生進(jìn)行智力開(kāi)發(fā)和能力培養(yǎng)。反證法是突破思維定勢(shì)，從相反的方向研究事物的運(yùn)動(dòng)，無(wú)疑是一種開(kāi)拓思路的方法，可以增強(qiáng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和思維轉(zhuǎn)換能力，對(duì)提高學(xué)生的分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力將大有益處。

一、反證法的概念

反證法就是從否定命題的結(jié)論出發(fā)，經(jīng)過(guò)推理，得出和已知條件或和其他命題相矛盾的結(jié)論，或在推理過(guò)程中得出自相矛盾的結(jié)論，從而達(dá)到命題結(jié)論正確的數(shù)學(xué)方法.欲證命題“A是B”，從反面推導(dǎo)“A不是B”不能成立，從而證明“A是B”。它從否定結(jié)論出發(fā)，經(jīng)過(guò)正確，嚴(yán)格的推理，得到與已知（假設(shè)）或已成立的數(shù)學(xué)命題相矛盾的結(jié)果，查處產(chǎn)生矛盾的原因，不是由于推理的錯(cuò)誤，而是開(kāi)始時(shí)否定結(jié)論所致，因而原命題的結(jié)論是正確的。以上內(nèi)容可以簡(jiǎn)單概括為：反設(shè)、歸謬、結(jié)論三個(gè)步驟。

二、反證法證題的步驟

用反證法證題一般分為三個(gè)步驟：

1.反設(shè) 假設(shè)所要證明的結(jié)論不成立，而設(shè)結(jié)論的反面成立；

2.歸謬 由“反設(shè)”出發(fā)，根據(jù)已知公理，定義，定理等進(jìn)行層層嚴(yán)密正確的推理；

3.結(jié)論 在推理過(guò)程中出現(xiàn)矛盾，說(shuō)明反設(shè)不成立，從而肯定原結(jié)論成立。

下面舉幾個(gè)例子來(lái)說(shuō)明數(shù)學(xué)中是如何應(yīng)用反證法的。

例1 證明：在ABC中，若sinA

證明 假設(shè)∠A不是銳角，則∠A必是直角或者鈍角。

I.如果∠A是直角，則sinA=1

II.如果∠A是鈍角，令∠A=180°-？琢（？琢為銳角）.則sinA=sin（180°-？琢）=sin？琢

由于∠B是銳角，所以a

綜上所述，由I，II可知，∠A必為銳角。

三、反證法中常見(jiàn)的矛盾形式

1.與題設(shè)矛盾

例2 若0°

證明 設(shè)sinx=cosx，則sin2x=cos2x？圯1-cos2x=cos2x=■.

所以 即x=45，這與0°

從而sinx≠cosx.

2.假設(shè)矛盾

例3 已知？琢，？茁為銳角，sin（？琢+？茁）=2sin？琢，，求證？琢

證明 設(shè)？琢≥？茁，則2？琢≥？琢+？茁.由于2sin？琢=sin（？琢+？茁）≤1，可得sin？琢≤■，即？琢≤30°.

因此2？琢，？琢+？茁都是銳角.

所以sin（？琢+？茁）≤2sin？琢，即2sin？琢≤sin2？琢.

由此可得：cos？琢>1與假設(shè)矛盾.

從而？琢

3.與已知的定義，定理，公理矛盾，即得出一個(gè)恒假命題

例4 已知如圖，弦AB，CD都不是直徑，且相交與點(diǎn)P，求證： AB，CD不能互相平分.

證明 假設(shè)AB與CD能互相平分，即PA=PB，PC=PD.

又因AB，CD，都不是直徑

所以P點(diǎn)與圓心不重合

故存在線段OP，連接OP

又因PA=PB

所以O(shè)PAB（平分弦的直徑垂直與弦）

又因PC=PD

從而OPCD（平分弦的直徑垂直與弦）

這樣，過(guò)點(diǎn)P有兩條直線AB，CD都垂直與OP，這與過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直的公理想矛盾，故AB與CD不能互相平分.

注：有些題看似簡(jiǎn)單，但要從正面入手幾乎是不可能的。

4.自相矛盾

例5 如果一個(gè)三角形的兩個(gè)內(nèi)角的角平分線相等，則這個(gè)三角形是等腰三角形.

已知在ABC中，角平分線CW，CV相等.求證：AB=AC

證明 如右圖，過(guò)V與W分別引直線平行于BA與BV，設(shè)交點(diǎn)為G，連接CG，分別用？琢，？茁表示，∠ABC，∠ACB的一半，用？茁'，？琢'分別表示∠VCG，∠VGC，則由WG=BV=CW，可知WG=CW，故∠WGC=WCG.即？琢+？琢'=？茁+？茁'.

設(shè)AB≠AC，則？茁≠？琢，例如？琢>？茁（如果？茁>？琢，同理），于是由？琢+？琢'=？茁+？茁'得到？琢'>？茁'，故VG>VC，因?yàn)閂G=BW，所以VC

但在CBV與BCW中，BC=CB，BV=CW，？琢>？茁，故VG>BW，同VG

四、應(yīng)用反證法證題中應(yīng)該注意的問(wèn)題

1.有些幾何問(wèn)題用反證法證明時(shí)，常常把圖形故意作錯(cuò)，在否定了假設(shè)之后，這些圖形就被否定了。

2.反證法中要對(duì)結(jié)論做全面的否定.尤其要注意的是，遇到“都…”，“所有…”，“任何…”這一類(lèi)結(jié)論，而要否定時(shí)，最易犯的毛病是把“不”加到表示“全體”含義的詞后面，犯了否定不全的錯(cuò)誤。

3.否定結(jié)論后要求推理正確無(wú)誤，步步有據(jù)，并且要真正推出矛盾。由推理本身的錯(cuò)誤而產(chǎn)生的矛盾，不能作為反證法的依據(jù)。

4.在推理過(guò)程中必須要用到“已知條件”，否則證明將會(huì)出錯(cuò)。

5.反證法一般無(wú)需特意去證某一特定結(jié)論，只要由否定結(jié)論而導(dǎo)致矛盾即可。

通過(guò)以上對(duì)于反證法的種種表述，我們知道了反證法在數(shù)學(xué)解題中有著舉足輕重的作用，它不僅是一種重要的證題方法，而且對(duì)于傳統(tǒng)的定向解題的思維模式是一種創(chuàng)新，這更有利于提高數(shù)學(xué)中提倡的邏輯思維，因此掌握好反證法是非常重要的。

參考文獻(xiàn)

[1]沈文選.初等數(shù)學(xué)解題研究[M].湖南：科學(xué)技術(shù)出版社，1996.

[2]李翼忠.中學(xué)數(shù)學(xué)方法論[M].廣東：高等教育出版社，1986.

數(shù)學(xué)中的反證法范文第3篇

關(guān)鍵詞： 反證法 邏輯原理 應(yīng)用

一、三段論的格

作為一門(mén)古老的學(xué)科，邏輯已有兩千多年的歷史。所謂邏輯就是一種能夠保留預(yù)設(shè)真值的推理方法。作為邏輯的基礎(chǔ)，我們當(dāng)然不能忘記亞里士多德和他的三段論。然而關(guān)于三段論人們還是廣泛存在著誤解。

通常人們所言的三段論并非完全意義上亞里士多德的理論，就如同中學(xué)課本中的幾何公理化體系與《幾何原本》相差甚遠(yuǎn)一樣，生活中最常見(jiàn)的三段論只是亞里士多德所劃分的二十四個(gè)式中的一種形式，而亞里士多德的成就更多體現(xiàn)在《后分析篇》中關(guān)于公理化的研究，這一點(diǎn)離大眾過(guò)于遙遠(yuǎn)，在此不作討論。

更重要的是，人們對(duì)于直言三段論的基本形式過(guò)于忽略，而這種形式對(duì)推理有決定性的作用，請(qǐng)看下面兩個(gè)例子。

推理1 推理2

所有植物都需要水 所有植物都需要水

三葉草是植物 三葉草需要水

所以三葉草需要水 所以三葉草是植物

這兩個(gè)推理都正確嗎？盡管前提都正確，結(jié)論就常識(shí)而言也沒(méi)有錯(cuò)，但是從邏輯角度看，推理2是錯(cuò)誤的，因?yàn)閺摹叭~草需要水”推出“三葉草是植物”其實(shí)證據(jù)不足，如推理1所示，正確的推理形式是這樣的：

1.所有B是A

2.并且所有C是B

3.那么所有C是A

這就是基本的邏輯定理，其中1、2稱(chēng)為前提，3稱(chēng)為結(jié)論。正確的形式為前提1的主項(xiàng)是前提2的謂項(xiàng)，其余詞項(xiàng)組成結(jié)論，此時(shí)前提的真值必然決定結(jié)論的真值。這種形式稱(chēng)為三段論的格，用Venn表示如圖1，C是A的子集是很明顯的。

圖1

反觀推理1與推理2，我們?cè)趹?yīng)用三段論時(shí)一定要嚴(yán)謹(jǐn)。其實(shí)很多結(jié)論不嚴(yán)密的推理大多都犯有詞項(xiàng)位置的錯(cuò)誤。

二、反證法的原理

反證法是一種簡(jiǎn)單卻又行之有效的證明方法，從其創(chuàng)立至今就一直被廣泛使用。它的優(yōu)點(diǎn)是，即使不知道怎樣直接證明，也能辨別該命題的真?zhèn)巍Ｗ罨镜氖聦?shí)便是，一個(gè)命題的反命題導(dǎo)致了矛盾，則原命題是正確的。

在反證法中，我們把待證的結(jié)論的反面作為一個(gè)前提，依據(jù)正確的三段論原理推理，并最終尋找出與現(xiàn)實(shí)的直觀矛盾或于理不符之處。而結(jié)論的真假由前提而定（前文已論述），這個(gè)矛盾說(shuō)明假設(shè)有誤，因此它的反命題（即待證命題）是正確的。

三、反證法在中學(xué)階段的應(yīng)用

以上敘述了邏輯推理的基礎(chǔ)和反證法的原理，下面是關(guān)于反證法應(yīng)用的討論。

中學(xué)階段中，反證法在幾何中的應(yīng)用并不多見(jiàn)。然而，平面幾何中的反證法卻妙不可言，它們精妙的構(gòu)思令人贊嘆，阿基米德甚至用此法證明了圓的面積計(jì)算公式。在此我摘錄《原本》中的一個(gè)命題為反證法的一個(gè)例子。

如果兩圓相交，那么它們不能有相同的圓心。

設(shè)：圓ABC與圓CDG相交與B、C兩點(diǎn)（如圖）。

證明：假設(shè)有相同的圓心為E，連接EC，任意連一條線EFG，

因?yàn)镚為圓ABC的圓心，所以EC等于EF，

又因?yàn)镋為圓CDG的圓心，所以EC等于EG，

所以EG等于EF。

于是部分大于整體（違背第5公理）這不可能。

所以：E不是圓ABC、CDG的圓心。

所以：兩圓相交不可能有圓，證完。

另一個(gè)例子來(lái)自圖論，有過(guò)競(jìng)賽經(jīng)歷的人對(duì)此模型是非常熟悉的。

兩人或兩人以上的人群中，人們互相與熟人握手，那么至少兩個(gè)人的握手次數(shù)相同。

證明：以人為頂點(diǎn)，僅當(dāng)兩個(gè)人握手時(shí)，在此二人間連一邊，構(gòu)成一個(gè)圖G（V，E），設(shè)V=［V，V，…，V］，不妨設(shè)各項(xiàng)的度數(shù)為d（v）≤d（v）≤…≤d（v），

若等號(hào)皆不成立，則有d（v）＜d（v）＜d（v）＜…＜d（v），

（1）若d（v）=n-1，則每個(gè)頂點(diǎn)皆與v相鄰，于是d（v）≥1，

所以d（v）≥2，…，n，d（v）≥n與d（v）=n-1相違.

（2）d（v）＜n-1，由于d（v）＜d（v）＜…＜d（v），且d（v）≥0，d（v）≥1，d（v）≥2…d（v）≥n-1，與d（v）＜n-1相違，故假設(shè)不成立，所以d（v）≤d（v）≤…≤d（v），其中至少有一處等號(hào)成立，即至少兩個(gè)人握手次數(shù)相同，證完。

通過(guò)兩個(gè)例子的展示，反證法行之有效的特點(diǎn)一目了然。不過(guò)反證法構(gòu)造的技巧性是有難度的。因此我在這里總結(jié)中學(xué)數(shù)學(xué)中反證法的常用場(chǎng)合。

（1）命題以否定形式出現(xiàn)；

（2）唯一性的命題；

（3）命題結(jié)論中有“至多”，“至少”的形式；

數(shù)學(xué)中的反證法范文第4篇

1、配方法

所謂配方，就是把一個(gè)解析式利用恒等變形的方法，使其中的某些項(xiàng)配成一個(gè)或幾個(gè)多項(xiàng)式正整數(shù)次冪的和的形式，通過(guò)配方解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的方法叫做配方法。其中，用的最多的是配成完全平方式，配方法是數(shù)學(xué)中一種重要的恒等變形的方法，它的應(yīng)用十分廣泛。在因式分解、化簡(jiǎn)根式、解方程、證明等式和不等式、求函數(shù)的最大值最小值以及解析式等方面，都經(jīng)常用到它。

2、因式分解法

因式分解，就是把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式乘積的形式，因式分解是恒等變形的基礎(chǔ)之一，它作為數(shù)學(xué)的一個(gè)有力工具、一種解題方法，在代數(shù)、幾何、三角的解題中起著重要的作用，因式分解的方法有許多，除課本上介紹的提取公因式法、公式法、分組分解法、十字相乘法外，還可利用拆項(xiàng)添項(xiàng)、求根分解、換元、待定系數(shù)等來(lái)分解。

3、換元法

換元法是數(shù)學(xué)中一個(gè)非常重要而且應(yīng)用十分廣泛的解題方法，我們通常把未知數(shù)或變數(shù)稱(chēng)為元。所謂換元法，就是在一個(gè)比較復(fù)雜的數(shù)學(xué)式中，用新的變?cè)ゴ嬖降囊粋€(gè)部分，或改造原來(lái)的式子，使它簡(jiǎn)化，從而使問(wèn)題易于解決。比如，在解分式方程時(shí)就會(huì)用到這種方法。

4、待定系數(shù)法

在解數(shù)學(xué)題時(shí)，有時(shí)所求的結(jié)果具有某種確定的形式，其中含有某些待定的系數(shù)，那么我們可以根據(jù)題設(shè)條件列出關(guān)于待定系數(shù)的等式，然后解出這些待定系數(shù)的值或找到這些待定系數(shù)間的某種關(guān)系，從而解答數(shù)學(xué)問(wèn)題。這種解題方法稱(chēng)為待定系數(shù)法。它是中學(xué)數(shù)學(xué)中常用的方法之一。在反比例函數(shù)、一次函數(shù)的問(wèn)題中，經(jīng)常用到這種方法。

5、構(gòu)造法

在解題時(shí)，我們常常會(huì)采用這樣的方法：通過(guò)對(duì)條件和結(jié)論的分析，構(gòu)造輔助元素（它可以是一個(gè)圖形、一個(gè)方程（組）、一個(gè)等式、一個(gè)函數(shù)、一個(gè)等價(jià)命題等），架起一座連接條件和結(jié)論的橋梁，從而使問(wèn)題得以解決，這種解題的數(shù)學(xué)方法，稱(chēng)為構(gòu)造法，運(yùn)用構(gòu)造法解題，可以使代數(shù)、幾何、三角等各種數(shù)學(xué)知識(shí)互相滲透，有利于問(wèn)題的解決。

6、反證法

反證法是一種間接證法。它先提出一個(gè)與命題的結(jié)論相反的假設(shè)，然后，從這個(gè)假設(shè)出發(fā)，經(jīng)過(guò)正確的推理，導(dǎo)致矛盾，從而否定原先的假設(shè)，達(dá)到肯定原命題正確的目的，反證法可以分為歸謬反證法（結(jié)論的反面只有一種）與窮舉反證法（結(jié)論的反面不只一種）。用反證法證明一個(gè)命題的步驟，大體上分為：⑴反設(shè)；⑵歸謬；⑶結(jié)論。

7、面積法

平面幾何中講的面積公式以及由面積公式推出的與面積計(jì)算有關(guān)的性質(zhì)、定理，不僅可用于計(jì)算面積，而且用它們來(lái)證明平面幾何題有時(shí)會(huì)收到事半功倍的效果，運(yùn)用面積關(guān)系來(lái)證明或計(jì)算平面幾何題的方法，稱(chēng)為面積法，它是幾何中的一種常用方法。在證明勾股定理時(shí)，我們就常常用面積法。

用歸納法或分析法證明平面幾何題，其困難往往在于添置輔助線。面積法的特點(diǎn)是把已知量和未知量用面積公式聯(lián)系起來(lái)，通過(guò)運(yùn)算達(dá)到求證的目的，所以，用面積法來(lái)解幾何題，幾何元素之間的關(guān)系變成了數(shù)量之間的關(guān)系，只需要計(jì)算，有時(shí)可以不添置或少添置輔助線，即使需要添置輔助線，也很容易考慮到。

數(shù)學(xué)中的反證法范文第5篇

關(guān)鍵詞： 初一數(shù)學(xué)教學(xué) 數(shù)學(xué)逆向思維能力 培養(yǎng)策略

在當(dāng)今社會(huì)，教育以分?jǐn)?shù)為重的現(xiàn)象依然很突出，教學(xué)的功利性非常越明顯。填鴨式教育不僅無(wú)法做到寓教于樂(lè)，重理輕文，重智力輕德育，重知識(shí)灌輸、輕能力培養(yǎng)的現(xiàn)象使一大批學(xué)生背負(fù)著沉重的學(xué)習(xí)壓力，最終的結(jié)果是他們逐漸變成學(xué)習(xí)的機(jī)器，漸漸失去學(xué)習(xí)興趣，成為教育的犧牲品。為了改變這種現(xiàn)狀，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情和積極性，必須進(jìn)行課堂教學(xué)改革，而數(shù)學(xué)教學(xué)中逆向思維的培養(yǎng)是一種有效而且必需的方法。

一、逆向思維的涵義

逆向思維是指與正常思維正好相反的一種思維方式。在教學(xué)中，逆向思維是指從結(jié)論逆向一步步找出結(jié)論需要具備的條件，從而達(dá)到解決問(wèn)題的目的。逆向思維具有極其嚴(yán)密的邏輯性、推理性，能更好地培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力。初一數(shù)學(xué)教材中有著大量互逆關(guān)系的數(shù)學(xué)知識(shí)，如互逆公式，互逆法則，互逆定理，等等。在教學(xué)中，培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用逆向思維解決實(shí)際問(wèn)題的能力，必須加深學(xué)生對(duì)互逆關(guān)系的理解與分析，從而不斷培養(yǎng)學(xué)生逆向思維的靈活性，從正向思維向逆向思維的持續(xù)能力。

二、逆向思維能力培養(yǎng)策略

課堂教學(xué)實(shí)踐表明：許多學(xué)生之所以處于低層次的學(xué)習(xí)水平，有一個(gè)重要因素，即逆向思維能力薄弱，定性于順向?qū)W習(xí)公式、定理等并加以死板套用，缺乏創(chuàng)造能力、觀察能力、分析能力和開(kāi)拓精神。因此，加強(qiáng)逆向思維的訓(xùn)練可改變其思維結(jié)構(gòu)，培養(yǎng)思維的靈活性、深刻性和雙向思維能力，提高分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力。迅速而自然地從正面思維轉(zhuǎn)向逆向思維，正是數(shù)學(xué)能力強(qiáng)大的一種標(biāo)志。筆者認(rèn)為，培養(yǎng)學(xué)生逆向思維能力有以下幾種途徑。

1.重視在概念、定義教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維。

數(shù)學(xué)中的定義是通過(guò)揭示其本質(zhì)而來(lái)的，定義都是充要條件，均為可逆的。所以，其命逆題也是成立的。因此，定義既是某一個(gè)數(shù)學(xué)概念的判定方法，又是這一概念的性質(zhì)。在教學(xué)中應(yīng)充分利用這一特征，尤為注意定義的逆用解決問(wèn)題。在定義的教學(xué)中，除了讓學(xué)生理解定義本身及其應(yīng)用外，還要善于引導(dǎo)啟發(fā)學(xué)生逆向思考，從而加深對(duì)定義的理解。

如絕對(duì)值是這樣定義的：“正數(shù)的絕對(duì)值是它的本身，負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù)，零的絕對(duì)值是零?！背藦恼蚶斫庥?jì)算，還要教學(xué)生逆向理解。如“計(jì)算|5|=？|-5|=？”，這是從正向理解計(jì)算，“一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值等于5，這個(gè)數(shù)是多少？”，這是逆向理解計(jì)算。

2.在興趣培養(yǎng)過(guò)程中增強(qiáng)逆向思維意識(shí)。

隨著年齡的增長(zhǎng)，初一學(xué)生的有意注意進(jìn)一步發(fā)展，但興趣在學(xué)習(xí)中仍起著重要作用。由興趣引起的無(wú)意注意在學(xué)習(xí)中仍是不可缺少的因素。所以教師應(yīng)根據(jù)授課內(nèi)容，創(chuàng)設(shè)良好的教學(xué)情境，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和求知欲望，促進(jìn)學(xué)生積極思維，有利于培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維，取得最佳教學(xué)效果。我們以學(xué)生為主體，教師為主導(dǎo)，通過(guò)層層設(shè)問(wèn)，及時(shí)指點(diǎn)啟迪，創(chuàng)設(shè)良好的思維情境，結(jié)合圖形，激發(fā)學(xué)生聯(lián)想，引導(dǎo)學(xué)生步步深入，形成逆向思維。

3.將逆向思維滲透到解題方法的教學(xué)中。

教師對(duì)定理的教學(xué)、命題的教學(xué)、公式的教學(xué)都是為了一個(gè)相同的目的。這個(gè)目的就是幫助學(xué)生迅速準(zhǔn)確地解題，在解題過(guò)程中同樣可以運(yùn)用逆向思維。

（1）反證法。數(shù)學(xué)中有一些命題很難從正面推斷出結(jié)論，對(duì)于這些命題可以采用反證法。反證法是一種間接的證明方法，即根據(jù)已知條件推理判斷命題的相反面是錯(cuò)誤的，進(jìn)而說(shuō)明命題是正確的。反證法的運(yùn)用能夠拓展學(xué)生思維的深度。

（2）舉反例法。學(xué)生在做選擇題時(shí)使用反證法往往會(huì)收到事半功倍的效果。舉反例法就是找到某個(gè)滿足命題的條件，但在這個(gè)條件下命題結(jié)論無(wú)法成立的例子，這樣做的目的是說(shuō)明命題不正確。能否熟練運(yùn)用舉反例法取決于學(xué)生思維是否敏捷。

（3）分析法。分析法也叫做逆推證法，分析法在各個(gè)題型中都適用，在條件探究題中使用較多。使用分析法的前提是學(xué)生知道解題過(guò)程可逆，從結(jié)論倒推命題成立的條件。分析法對(duì)學(xué)生的綜合能力要求比較高。

4.設(shè)置習(xí)題訓(xùn)練，鍛煉學(xué)生的逆向思維。

數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決方法有很多種，如分析法、反證法等，這些方法的應(yīng)用實(shí)際就是對(duì)逆向思維的運(yùn)用。分析法是幾何課程中鍛煉學(xué)生逆向思維能力的重要方法。所以，教師在幾何教學(xué)中要加強(qiáng)對(duì)學(xué)生分析法的授予。如根據(jù)定理“同位角相等，兩直線平行”進(jìn)行平行線判定時(shí)，筆者首次向?qū)W生講述了分析法的應(yīng)用。教師要結(jié)合課本實(shí)例進(jìn)行例題分析，使學(xué)生充分理解分析法的內(nèi)涵，從而提高學(xué)生的逆向思維能力。

初一數(shù)學(xué)教學(xué)對(duì)學(xué)生逆向思維的開(kāi)發(fā)有助于學(xué)生擺脫固有的思維模式的束縛，不斷發(fā)現(xiàn)新的思路和新的方法，幫助學(xué)生全面地分析問(wèn)題和解決問(wèn)題，從而為學(xué)生更高水平的學(xué)習(xí)奠定堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)，為培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力和創(chuàng)新思維提供指導(dǎo)。

參考文獻(xiàn)：

[1]周蘭萍，夏海峰.逆向思維在初中數(shù)學(xué)習(xí)題中的應(yīng)用[J].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2013，24：30.

[2]劉如.探討初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的逆向思維[J].數(shù)理化解題研究（初中版），2014，02：32.