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教學(xué)目標(biāo)

1．理解分?jǐn)?shù)指數(shù)的概念，掌握有理指數(shù)冪的運算性質(zhì)．

(1)理解n次方根，n次根式的概念及其性質(zhì)，能根據(jù)性質(zhì)進行相應(yīng)的根式計算．

(2)能認識到分?jǐn)?shù)指數(shù)是指數(shù)概念由整數(shù)向有理數(shù)的一次推廣，了解它是根式的一種新的寫法，能正確進行根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的互化．

(3)能利用有理指數(shù)運算性質(zhì)簡化根式運算．

2．通過指數(shù)范圍的擴大，使學(xué)生能理解運算的本質(zhì)，認識到知識之間的聯(lián)系和轉(zhuǎn)化，認識到符號化思想的重要性，在抽象的符號或字母的運算中提高運算能力．

3．通過對根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的關(guān)系的認識，使學(xué)生能學(xué)會透過表面去認清事物的本質(zhì)．

教學(xué)建議

教材分析

（1）本節(jié)的教學(xué)重點是分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的概念及其運算性質(zhì)．教學(xué)難點是根式的概念和分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的概念．

（2）由于分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的概念是借助次方根給出的，而次根式，次方根又是學(xué)生剛剛接觸到的概念，也是比較陌生的．以此為基礎(chǔ)去學(xué)習(xí)認識新知識自然是比較困難的．且次方根，分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的定義都是用抽象字母和符號的形式給出的，學(xué)生在接受理解上也是比較困難的．基于以上原因，根式和分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的概念成為本節(jié)應(yīng)突破的難點．

（3）學(xué)習(xí)本節(jié)主要目的是將指數(shù)從整數(shù)指數(shù)推廣到有理數(shù)指數(shù)，為指數(shù)函數(shù)的研究作好準(zhǔn)備．且有理指數(shù)冪具備的運算性質(zhì)還可以推廣到無理指數(shù)冪，也就是說在運算上已將指數(shù)范圍推廣到了實數(shù)范圍，為對數(shù)運算的出現(xiàn)作好了準(zhǔn)備，而使這些成為可能的就是分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的引入．

教法建議

（1）根式概念的引入是本節(jié)教學(xué)的關(guān)鍵．為了讓學(xué)生感到根式的學(xué)習(xí)是很自然也很必要的，不妨在設(shè)計時可以考慮以下幾點：

①先以具體數(shù)字為例，復(fù)習(xí)正整數(shù)冪，介紹各部分的名稱及運算的本質(zhì)是乘方，讓它與學(xué)生熟悉的運算聯(lián)系起來，樹立起轉(zhuǎn)化的觀點．

②當(dāng)復(fù)習(xí)負指數(shù)冪時，由于與乘除共同有關(guān)，所以出現(xiàn)了分式，這樣為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運算與根式相關(guān)作好準(zhǔn)備．

③在引入根式時可先由學(xué)生知道的平方根和立方根入手，再大膽寫出即誰的四次方根等于16．指出2和-2是它的四次方根后再把指數(shù)換成，寫成即誰的次方等于，在語言描述的同時，也把數(shù)學(xué)的符號語言自然的給出．

（2）在次方根的定義中并沒有將次方根符號化原因是結(jié)論的多樣性，不能亂表示，所以需要先研究規(guī)律，再把它符號化．按這樣的研究思路學(xué)生對次方根的認識逐層遞進，直至找出運算上的規(guī)律．

教學(xué)設(shè)計示例

課題根式

教學(xué)目標(biāo)：

1．理解次方根和次根式的概念及其性質(zhì)，能根據(jù)性質(zhì)進行簡單的根式計算．

2．通過對根式的學(xué)習(xí)，使學(xué)生能進一步認清各種運算間的聯(lián)系，提高歸納，概括的能力．

3．通過對根式的化簡，使學(xué)生了解由特殊到一般的解決問題的方法，滲透分類討論的思想．

教學(xué)重點難點：

重點是次方根的概念及其取值規(guī)律．

難點是次方根的概念及其運算根據(jù)的研究．

教學(xué)用具：投影儀

教學(xué)方法：啟發(fā)探索式．

教學(xué)過程：

一.復(fù)習(xí)引入

今天我們將學(xué)習(xí)新的一節(jié)指數(shù)．指數(shù)與其說它是一個概念，不如說它是一種重要的運算，且這種運算在初中曾經(jīng)學(xué)習(xí)過，今天只不過把它進一步向前發(fā)展．

下面從我們熟悉的指數(shù)的復(fù)習(xí)開始．能舉一個具體的指數(shù)運算的例子嗎?

以為例，是指數(shù)運算要求學(xué)生指明各部分的名稱，其中2稱為底數(shù)，4為指數(shù)，稱為冪．

教師還可引導(dǎo)學(xué)生回顧指數(shù)運算的由來，是從乘方而來，因此最初指數(shù)只能是正整數(shù)，同時引出正整數(shù)指數(shù)冪的定義．．然后繼續(xù)引導(dǎo)學(xué)生回憶零指數(shù)冪和負整數(shù)指數(shù)冪的定義，分別寫出及，同時追問這里的由來．最后將三條放在一起，用投影儀打出整數(shù)指數(shù)冪的概念

2．5指數(shù)(板書)

1.關(guān)于整數(shù)指數(shù)冪的復(fù)習(xí)

(1)概念

既然是一種運算，除了定義之外，自然要給出它的運算規(guī)律，再來回顧一下關(guān)于整數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)．可以找一個學(xué)生說出相應(yīng)的運算性質(zhì)，教師用投影儀依次打出：

(2)運算性質(zhì)：;;．

復(fù)習(xí)后直接提出新課題，今天在此基礎(chǔ)上把指數(shù)從整數(shù)范圍推廣到分?jǐn)?shù)范圍．在剛才的復(fù)習(xí)我們已經(jīng)看到當(dāng)指數(shù)在整數(shù)范圍內(nèi)時，運算最多也就是與分式有關(guān)，如果指數(shù)推廣到分指數(shù)會與什么有關(guān)呢?應(yīng)與根式有關(guān)．初中時雖然也學(xué)過一點根式，但不夠用，因此有必要先從根式說起．

2.根式(板書)

我們知道根式來源于開方，開方是乘方的逆運算，所以談根式還是先從大家熟悉的乘方說起．

如

如果給出了4和2進行運算，那就是乘方運算．如果是知道了16和2，求4即，求?

問題也就是：誰的平方是16，大家都能回答是4和-4，這就是開方運算，且4和-4有個名字叫16的平方根．

再如

知3和8，問題就是誰的立方是8?這就是開方運算，大家也知道結(jié)果為2，同時指出2叫做8的立方根．

(根據(jù)情況教師可再適當(dāng)舉幾個例子，如，要求學(xué)生用語言描述式子的含義，I再說出結(jié)果分別為和-2，同時指出它們分別稱為9的四次方根和-8的立方根)

在以上幾個式子會解釋的基礎(chǔ)上，提出即一個數(shù)的次方等于，求這個數(shù)，即開次方，那么這個數(shù)叫做的次方根．

(1)次方根的定義：如果一個數(shù)的次方等于(，那么這個數(shù)叫做的次方根．

(板書)

對定義理解的第一步就是能把上述語言用數(shù)學(xué)符號表示，請同學(xué)們試試看．

由學(xué)生翻譯為：若(，則叫做的次方根．(把它補在定義的后面)

翻譯后教師在此基礎(chǔ)上再次提出翻譯的不夠徹底，如結(jié)論中的的次方根就沒有用符號表示，原因是什么?(如果學(xué)生不知從何入手，可引導(dǎo)學(xué)生回到剛才的幾個例子，在符號表示上存在的問題，并一起研究解決的辦法)最終把問題引向?qū)Φ拇畏礁娜≈狄?guī)律的研究．

(2)的次方根的取值規(guī)律：(板書)

先讓學(xué)生看到的次方根的個數(shù)是由的奇偶性決定的，所以應(yīng)對分奇偶情況討論

當(dāng)為奇數(shù)時，再問學(xué)生的次方根是個什么樣的數(shù)，與誰有關(guān)，再提出對的正負的討論，從而明確分類討論的標(biāo)準(zhǔn)，按的正負分為三種情況．

Ⅰ當(dāng)為奇數(shù)時

，的次方根為一個正數(shù);

，的次方根為一個負數(shù);

，的次方根為零．(板書)

當(dāng)奇數(shù)情況討論完之后，再用幾個具體例子輔助說明為偶數(shù)時的結(jié)論，再由學(xué)生總結(jié)歸納

Ⅱ當(dāng)為偶數(shù)時

，的次方根為兩個互為相反數(shù)的數(shù);

，的次方根不存在;

，的次方根為零．

對于這個規(guī)律的總結(jié)，還可以先看的正負，再分的奇偶，換個角度加深理解．

有了這個規(guī)律之后，就可以用準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)符號去描述次方根了．

(3)的次方根的符號表示(板書)

可由學(xué)生試說一說，若學(xué)生說不好，教師可與學(xué)生一起總結(jié)，當(dāng)為奇數(shù)時，由于無論為何值，次方根都只有一個值，可用統(tǒng)一的符號表示，此時要求學(xué)生解釋符號的含義：為正數(shù)，則為一個確定的正數(shù)，為負數(shù)，則為一個確定的負數(shù)，為零，則為零．

當(dāng)為偶數(shù)時，為正數(shù)時，有兩個值，而只能表示其中一個且應(yīng)表示是正的，另一個應(yīng)與它互為相反數(shù)，故只需在前面放一個負號，寫成，其含義為為偶數(shù)時，正數(shù)的次方根有兩個分別為和．

為了加深對符號的認識，還可以提出這樣的問題：一定表示一個正數(shù)嗎?中的一定是正數(shù)或非負數(shù)嗎?讓學(xué)生來回答，在回答中進一步認清符號的含義，再從另一個角度進行總結(jié)．對于符號，當(dāng)為偶數(shù)是，它有意義的條件是;當(dāng)為奇數(shù)時，它有意義的條件時．

把稱為根式，其中為根指數(shù)，叫做被開方數(shù)．(板書)

(4)根式運算的依據(jù)(板書)

由于是個數(shù)值，數(shù)值自然要進行運算，運算就要有根據(jù)，因此下面有必要進一步研究根式運算的依據(jù)．但我們并不過分展開，只研究一些最基本的最簡單的依據(jù)．

如應(yīng)該得什么?有學(xué)生講出理由，根據(jù)次方根的定義，可得Ⅰ=．(板書)

再問：應(yīng)該得什么?也得嗎?

若學(xué)生想不清楚，可用具體例子提示學(xué)生，如嗎?嗎?讓學(xué)生能發(fā)現(xiàn)結(jié)果與有關(guān)，從而得到Ⅱ=．(板書)

為進一步熟悉這個運算依據(jù)，下面通過練習(xí)來體會一下．

三．鞏固練習(xí)

例1.求值

(1)．(2)．

(3)．(4)．

(5)．(

要求學(xué)生口答，并說出簡要步驟．

四．小結(jié)

1．次方根與次根式的概念

2．二者的區(qū)別

3．運算依據(jù)

五．作業(yè)略

六．板書設(shè)計

2．5指數(shù)(2)取值規(guī)律(4)運算依據(jù)

1.復(fù)習(xí)

2.根式(3)符號表示例1

(1)定義