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一、數(shù)學(xué)建模內(nèi)涵

所謂數(shù)學(xué)建模，即根據(jù)某種具體事物的特征和其與數(shù)量之間的依存關(guān)系，利用更加直觀、形式化的語言，將其概括為一種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的過程。一切數(shù)學(xué)概念，包括數(shù)學(xué)公式、方程、算法等都可以稱之為數(shù)學(xué)模型。如圓錐體的概念就是數(shù)學(xué)模型，圓錐體本身是自然界中物體的一種表現(xiàn)形式，但是利用數(shù)學(xué)建模就可以將其轉(zhuǎn)化為一種直觀的數(shù)學(xué)表述，并可在此基礎(chǔ)上進(jìn)行數(shù)學(xué)運(yùn)算。再如數(shù)學(xué)教材中關(guān)于數(shù)量關(guān)系的運(yùn)算，三棵樹與七棵樹合起來就是十棵樹，轉(zhuǎn)為化數(shù)學(xué)模型就是“3+7=10”。數(shù)學(xué)建模過程是為解決問題所構(gòu)造出的一種模型表現(xiàn)，利用數(shù)學(xué)模型可快速解決實(shí)際問題。

二、數(shù)學(xué)建模的一般步驟

數(shù)學(xué)建模主要包括三個步驟：第一步是根據(jù)需要解決的實(shí)際問題選擇合適的數(shù)學(xué)模型類型，如求解物體表面積就需要選擇幾何模型，求解數(shù)量關(guān)系就需要選擇方程模型；第二步是將實(shí)際已知的信息應(yīng)用在數(shù)學(xué)模型上并進(jìn)行推理和演算，得出答案；第三步是將所得答案應(yīng)用在原實(shí)際問題中，即實(shí)際檢驗(yàn)。

三、常見的數(shù)學(xué)建模方法及其應(yīng)用

1.集合模型建模方法及其應(yīng)用

集合模型建模過程就是將已知條件中的關(guān)系看作集合之間的關(guān)系，借助集合的交、補(bǔ)、合并原理和計(jì)算方法求出答案。如某舞蹈隊(duì)共45人，其中，20人參加拉丁舞排練，10人參加民族舞排練，只有1人既參加了拉丁舞排練也參加了民族舞排練，那么只參加拉丁舞排練的有多少人？沒有參加任何一種舞蹈排練的有多少人？從題干描述可以得知，拉丁舞排練人數(shù)與民族舞排練人數(shù)之間產(chǎn)生了交叉，可借助集合模型進(jìn)行求解。我們以長方形的平面部分表示整個舞蹈隊(duì)人數(shù)，用A圈表示參加拉丁舞排練的人數(shù)，用B圈表示參加民族舞排練的人數(shù)，A圈與B圈之間的交集表示同時參加兩種舞蹈排練的人數(shù)，長方形內(nèi)A圈和B圈之外的陰影區(qū)域則表示兩種舞蹈排練都沒有參加的人數(shù)。從建立的數(shù)學(xué)集合圖形中我們可以得出，只參加拉丁舞排練的人數(shù)為：20-1=19（人），沒有參加任何一種舞蹈排練的有：45-（19+10）=16（人）。

2.方程模型建模方法及其應(yīng)用

方程建模的目的在于降低實(shí)際問題的解決難度，避免受到逆向思維的影響。如某校外活動小組組織52人參加公園劃船活動，大船和小船共租了11條，每條大船上可以坐6人，每條小船上可以坐4人，那么該活動小組租了幾條大船幾條小船？從題干描述中可以看出，從已知條件到未知條件的求解是一個逆向思維的過程。因此可以設(shè)大船有x條，坐大船的有6x人，那么小船有（11-x）條，坐小船的就有4（11-x）人，已知該活動小組共有52人，那么可以構(gòu)建下列方程：6x+4（11-x）=52，通過運(yùn)算解得x=4，因此大船有4條，小船有（11-4）=7條。

3.幾何模型建模方法及其應(yīng)用

幾何建模的目的在于通過構(gòu)建熟知的幾何模型，將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于形的問題，根據(jù)具體的形的性質(zhì)，簡化問題解決過程。如某實(shí)驗(yàn)容器中含有某種A物質(zhì)溶液，加入一杯水稀釋后，容器中A的濃度為25%，隨后再加入一杯物質(zhì)A，容器中的物質(zhì)A濃度為40%，那么容器中原有物質(zhì)A溶液濃度是多少？從題干描述可以得知，已知條件中既有未加入水之前的物質(zhì)A溶液，也包括加入水之后的物質(zhì)A溶液和再次加入A之后的物質(zhì)A溶液。將加一杯物質(zhì)A之后的溶液分成10份，其中有4份為物質(zhì)A，其余6份為水，根據(jù)上述轉(zhuǎn)化可以用小方塊表示物質(zhì)A，用小圓圈表示水，將小方塊和小圓圈分別列出。加入物質(zhì)A之前，物質(zhì)A的濃度為25%，那么物質(zhì)A和水之間的比例為1∶3，也就是2個方塊和6個小圓圈，那么加入一杯物質(zhì)A就是2個小方塊，因此原始容器中有2個小方塊和6個小圓圈，6個圓圈也就是三杯水，那么物質(zhì)A濃度為：2÷（2+4）×100%≈33.3%，容器中原有物質(zhì)A溶液濃度約為33.3%。利用數(shù)學(xué)建模方法解決實(shí)際問題，需具備抽象能力、轉(zhuǎn)化能力、運(yùn)算能力和實(shí)踐檢驗(yàn)?zāi)芰Φ榷喾矫婢C合能力。本文通過具體分析幾種常見數(shù)學(xué)模型的建模方法及其應(yīng)用方法，不僅展現(xiàn)了數(shù)學(xué)建模方式在解決實(shí)際問題方面的快速有效，也提示廣大數(shù)學(xué)教師在進(jìn)行數(shù)學(xué)建模能力培養(yǎng)時，應(yīng)當(dāng)指導(dǎo)學(xué)生多接觸一些實(shí)際問題，培養(yǎng)其數(shù)學(xué)建模方法的應(yīng)用能力。

作者：張磊 單位：江蘇模特藝術(shù)學(xué)校