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一、數(shù)學建模的過程與例析

嚴格來說，數(shù)學建模需要經(jīng)歷一個嚴密的過程．這個過程往往分為多個步驟，下面結合具體實例來說明．實例：某物體做簡諧振動，點O為其平衡位置，取向右為正方向．已知振幅為5厘米，周期為4秒，從右邊距離平衡位置最大距離處開始計時．

（1）求物體相對于平衡位置的位移與時間的函數(shù)關系；

（2）求經(jīng)過12秒后物體所在的位置及運動方向．（三角函數(shù)知識的應用問題）第一步：模型準備．這一步的關鍵在于了解數(shù)學問題（應用）的背景，尋找其實際意義及其中的有用信息．該實例中的問題背景是一個簡諧振動，這是學生在物理學習中熟悉的內容（本問題屬于跨學科的數(shù)學應用問題）．其中有用的信息可以根據(jù)學習經(jīng)驗去猜想與判斷，像平衡位置、正方向、振幅、周期等、計時位置等，一般都會成為有用信息．第二步：模型假設與建立．根據(jù)模型準備經(jīng)過假設的過程并建立模型，這一步需要用到一些重要的數(shù)學工具（公式定理等），最終目標是建立一個合理的數(shù)學結構，即數(shù)學模型．根據(jù)實例中的信息可以發(fā)現(xiàn)，簡諧振動可以讓學生生成一個基本的函數(shù)關系即簡諧振動方程而這些信息的提取需要學生在物理數(shù)學知識的學習中形成良好的記憶，同時又需要將該方程與原來的實例信息進行對應，如振動頻率與實例中的周期對應，初相位與計時位置對應等．這一步是數(shù)學建模的核心步驟，在本實例中應當說模型的建立一般不會出現(xiàn)太大的問題，因此在后面的模型檢驗中就不需要花費太多的精力，如果遇到更為復雜的應用問題，不像本實例這樣一目了然，比如說本實例中可以將一些具體的數(shù)據(jù)省略，或者讓簡諧振動變得更隱蔽一些，那在模型假設與建立時就需要更多的精力與智慧．第三步：模型求解與分析．這一步的關鍵是將實例中的信息（參數(shù)）代入模型當中去．關于這一點，上述步驟中已經(jīng)有所描述，此處不再贅述．第四步：模型檢驗．即將模型的分析結果與實際情形進行比較，以此判斷模型建立的合理性．檢驗的重要途徑是看根據(jù)目前建立的模型所得到的結果是否具有實例角度的實際意義，如果吻合度好，則說明模型建立成功，否則失敗，一旦模型建立失敗，就進入循環(huán)的階段．如本實例中，由于學生有一定的物理與數(shù)學知識基礎，因此在模型假設與建立階段就有較大的信心，畢竟實例說明了是“簡諧振動”，因此基本可以判斷模型是正確的．事實上如果題目不說明是簡諧振動，而說是一個振動且不計能量損耗，那學生的判斷就需要多走幾個步驟了．第五步：模型應用．這是一個與具體實例相關的步驟，一般沒有固定的描述．在本實例中，模型應用主要體現(xiàn)在對第二問的回答上，事實上第二問可以無限延伸，任何一個時刻時物體的位置都可以由建立的數(shù)學模型計算出來．以上是數(shù)學模型及其建立的一般過程．需要強調的是，數(shù)學建模不只是一個利用數(shù)學知識生成數(shù)學模型的過程，嚴格來說它還是一種數(shù)學思想方法，是學生將學得的數(shù)學知識學以致用的一個重要的工具．盡管實際數(shù)學應用的過程中并不刻意追求以上步驟的完整性，但基于這樣的思路去培養(yǎng)學生的建模能力卻是必要的．另外，需要注意的是，數(shù)學模型的建立往往不是一個純粹的數(shù)學問題，其與實際生活的關系，與其他學科的關系，都是需要數(shù)學教師高度關注的，而關注的具體方式就是充分地了解學生的原有認知基礎．也就是說，數(shù)學建模實際上是一個綜合性的過程，不是僅憑數(shù)學知識的建立就能完成的，生活應用性、跨學科性是其本質特征．

二、數(shù)學建模的教學與反思

在多年的高中數(shù)學教學中，筆者發(fā)現(xiàn)數(shù)學建模的教學有著重要的作用．如上所說，數(shù)學建模具有綜合性，因此其能夠促進學生對數(shù)學知識的綜合運用能力．但實際教學中的挑戰(zhàn)也是非常明顯的，當下學生的數(shù)學學習有一個明顯的不足，那就是學生對知識之間的聯(lián)系認識不足，往往滿足于利用剛剛所學的知識解決眼前的問題，這對于數(shù)學建模來說提出了很大的挑戰(zhàn)．如何從學生的記憶系統(tǒng)中提取出有效的信息以完成數(shù)學模型的建立，是一個很大的問題；此外，強大的應試壓力讓學生更多地滿足于一般的數(shù)學習題的解答，對數(shù)學建模的積極性有時不太高（當然，其中數(shù)學建模的復雜性也影響了學生的興趣）．反思這些現(xiàn)象，筆者以為高中數(shù)學教學中的建模工作更加具有重要性與必要性．無論是從應試的角度來看，還是從學生的數(shù)學素養(yǎng)提高的角度來看，數(shù)學建模本身就是數(shù)學綜合能力的體現(xiàn)，也是衡量數(shù)學教師教學水平的重要指標．我們認為，只有當自己所教的學生能夠用所學的數(shù)學知識有效地解決實際問題時，數(shù)學教學才是成功的．因此，無論是數(shù)學新知建立的過程，還是數(shù)學應用的過程，都需要在原有知識基礎上讓學生生成建模的意識，并在數(shù)學知識應用的過程中生成能力．值得一提的是，在數(shù)學應用問題的解決過程中，通過一些專題訓練來提高學生的建模能力是值得嘗試的策略．筆者的教學經(jīng)驗表明，學生在專題訓練的過程中，建模的意識會比較強，建模的目標也比較明確，在緊張的復習時間中抽出時間進行專題訓練，可能是一件事半功倍的事情．

作者：楊利娜 單位：安徽阜陽市城郊中學