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很久以前我就想寫(xiě)一篇這樣的文章了。一方面，就我自己觀(guān)察來(lái)看，很多非數(shù)

學(xué)專(zhuān)業(yè)的朋友甚至包括一些數(shù)學(xué)系的本科生對(duì)究竟什么是數(shù)學(xué)有一種不正確的理解

。這種流行的理解就是，數(shù)學(xué)是一種為其他科學(xué)服務(wù)的工具或者說(shuō)語(yǔ)言。數(shù)學(xué)的任

務(wù)就是把已經(jīng)列成式子的現(xiàn)實(shí)問(wèn)題算出一個(gè)用數(shù)字表示的結(jié)果而已。我經(jīng)常在我們

系的StudyingHall被一些外系的學(xué)生搞得哭笑不得，在他/她的眼里，我們就是一

群比別人算得快的奇怪動(dòng)物。然而在我看來(lái)，數(shù)學(xué)無(wú)疑是具有自己獨(dú)立精神的一門(mén)

科學(xué)，或者說(shuō)是藝術(shù)。但是這一點(diǎn)往往只是在數(shù)學(xué)的教科書(shū)中被泛泛而談，并不真

正讓人信服。另外一個(gè)動(dòng)力就是我想人的思想可以說(shuō)九成九被他所占有的知識(shí)所決

定，讀不同的專(zhuān)業(yè)的人很可能會(huì)有對(duì)世界的不同看法。這篇文章肯定是戴著我自己

的眼鏡寫(xiě)的，正好袞袞諸公分析一下我的思想的緣起，俾能起到拋磚引玉的作用。

英國(guó)大數(shù)學(xué)家G.Hardy曾經(jīng)說(shuō)過(guò)[1]，對(duì)于一個(gè)數(shù)學(xué)家來(lái)說(shuō)，不去證明任何定

理而只是泛泛而談數(shù)學(xué)實(shí)在是令人感到悲哀，因?yàn)檫@種情況多半發(fā)生在一個(gè)因?yàn)槟?/p>

老（對(duì)于數(shù)學(xué)家來(lái)說(shuō)，四十歲就已經(jīng)是老人了）而不再具有年輕時(shí)的創(chuàng)造性的人身

上。一個(gè)擁有創(chuàng)造力并正在改寫(xiě)當(dāng)代數(shù)學(xué)的年青人不會(huì)屑于去向外行“談數(shù)學(xué)”。

我現(xiàn)在還只是一個(gè)學(xué)生，在數(shù)學(xué)上和Hardy比只不過(guò)是個(gè)三歲毛頭。按照中國(guó)古代

的說(shuō)法小孩是不必忌諱的，所以就不必為泛泛而談數(shù)學(xué)而感到任何不適。再說(shuō)這個(gè)

世界上有許多的“外行”擁有比我更好的數(shù)學(xué)功底，還有更多的人其實(shí)比我更加具

有學(xué)數(shù)學(xué)的天份，我實(shí)在不敢有“不屑一顧”的傲氣。

（一）數(shù)學(xué)對(duì)歷史的兩次推動(dòng)

這篇文章到底要怎么下筆，我想了很久，最后還是認(rèn)為該從歷史談起。西方有

一句形容古板學(xué)究的話(huà)，叫做言必稱(chēng)希臘。好吧就讓我們從頭談起吧，從這個(gè)科學(xué)

皇后在希臘當(dāng)黃毛丫頭的場(chǎng)景開(kāi)始吧。

埃及的亞歷山大城自公元前三百年左右就有了世界上第一所大學(xué)，第一座圖

書(shū)館。歐洲的戰(zhàn)亂并沒(méi)有怎么波及到這里，所以這里也成了當(dāng)時(shí)西方世界第一流學(xué)

者的天堂。就是在羅馬征服埃及以后，學(xué)術(shù)傳統(tǒng)仍然被保留下來(lái)。當(dāng)時(shí)的羅馬皇帝

在各行省征苛稅，但對(duì)其它方面并沒(méi)有干涉的興趣。在科學(xué)和文學(xué)?，征服者是

崇拜希臘人的。羅馬士兵在戰(zhàn)亂中殺死了阿基米德，當(dāng)時(shí)的統(tǒng)帥Marcellus垂胸頓

足，后悔莫及。后Henllenistic時(shí)期學(xué)術(shù)氣氛仍算是寬松，Apollonius系統(tǒng)地研究

了圓錐曲線(xiàn)，托勒密等人對(duì)三角學(xué)推動(dòng)很大，而丟番圖提出的問(wèn)題至今仍是純數(shù)學(xué)

中的難題。

主歷三二五年，羅馬康斯坦丁大帝接受基督教為國(guó)教。那時(shí)希臘的最后一塊屬

地埃及也已經(jīng)陷落三百五十五年了。從這以后曾經(jīng)備受壓迫的基督教（天主教）開(kāi)

始成為壓迫異端的急先鋒。公元四七六年，西羅馬帝國(guó)在北方各蠻族的不斷打擊下

毀滅。但是就象入侵并占領(lǐng)了漢族中國(guó)的滿(mǎn)族人最終被同化一樣，強(qiáng)大的基督教戰(zhàn)勝

了羅馬兵團(tuán)所沒(méi)有戰(zhàn)勝的敵人----古羅馬帝國(guó)垮掉了，他們的宗教思想?yún)s獲得了前

所未有的勝利，基督的威勢(shì)在歐洲的每一個(gè)角落建立起來(lái)。公元五二九年，在狂熱

的天主教信徒不斷的壓力下，雅典學(xué)院因轉(zhuǎn)播異端思想被關(guān)閉。在此之前亞歷山大

大學(xué)和圖書(shū)館已經(jīng)焚毀，整個(gè)古希臘數(shù)學(xué)時(shí)期就此結(jié)束了。

從此中世紀(jì)的陰影就一直在分籠罩了一千年左右。要等到一五一七年馬丁路

德在維滕貝格發(fā)表反贖罪券的《九十五條論綱》正式向教皇挑戰(zhàn)并成為新教創(chuàng)始人

后歐洲的宗教壟斷才被打破。在路德改宗前歐洲還發(fā)生了一些影響世界的大事情。

一四九二年一個(gè)叫克里斯托弗·

哥倫布的意大利人發(fā)現(xiàn)了一個(gè)他稱(chēng)之為印度的龐大

新世界，以后各國(guó)特別是英倫三島受宗教迫害的人們就找到了一個(gè)棲身之地，在這

之前在繁榮的意大利已經(jīng)開(kāi)始了文藝復(fù)興，各種各樣的新思潮和新技術(shù)伴隨著新的

資本都在蠢蠢欲動(dòng)。

這時(shí)候還有一些不是那么為正史所看中的人物在另外一個(gè)世界，一個(gè)只有靠人

類(lèi)抽象的思辯才能夠達(dá)到的世界里努力地耕耘著。他們是伽利略，開(kāi)普勒，哥白尼

，帕斯卡，笛卡爾，萊布尼茲，牛頓.....特別是牛頓和萊布尼茲所發(fā)現(xiàn)的微機(jī)分

，整個(gè)地改寫(xiě)了科學(xué)史。通過(guò)數(shù)學(xué)工具的極大改進(jìn)，一系列原本用初等方法無(wú)從下

手的問(wèn)題迎刃而解。一個(gè)對(duì)社會(huì)的影響當(dāng)然是提高了當(dāng)時(shí)的生產(chǎn)力的需求，從而孕

育出最終埋葬神權(quán)和君權(quán)的資產(chǎn)階級(jí)，另外一個(gè)更加直接的影響卻是從天文學(xué)上來(lái)

的。這個(gè)天文學(xué)在中世紀(jì)經(jīng)院哲學(xué)里占了相當(dāng)大的比重，因?yàn)榘凑栈浇探塘x，天

體是天使和圣靈運(yùn)行的軌跡，是完美的。天是圓的，地球在這個(gè)圓的最中心。當(dāng)這

些觀(guān)念被科學(xué)一個(gè)個(gè)地打破以后，教皇的權(quán)威，甚至說(shuō)圣經(jīng)本身的權(quán)威，才真正受

到了根本性的沖擊。對(duì)于牛頓到底有多重要，下面這收詩(shī)大概可以反映一下吧：

“NatureandNature''''''''slawslayhidinnight;

Godsaid,''''''''letNewtonbe,''''''''andallwaslight."[1]

信仰這個(gè)東西是非常奇怪的。和狂熱的信徒談天你會(huì)發(fā)現(xiàn)你幾乎無(wú)法用另一套

信仰來(lái)改變他。這不僅僅是幾百上千年以前中世紀(jì)的事，也不是只有西方民族或者

有宗教的地方才有。今天的朝鮮和昨天的民柬在信仰狂熱的程度上絕不亞于費(fèi)迪南

德和伊沙貝拉治下的西班牙。畢竟在那里宗灘門(mén)興三個(gè)半世紀(jì)才燒死了三萬(wàn)兩千

人，加上其他刑罰處死和間接死亡的，不過(guò)百萬(wàn)之?dāng)?shù)吧，而他們?cè)趤喼薜耐蕚儏s

在短短的幾十年內(nèi)就達(dá)到了這個(gè)目標(biāo)。其實(shí)就在幾十年前我們的國(guó)家在思想領(lǐng)域又

何嘗不是如此？七八年鄧小平說(shuō)出了一句“實(shí)踐是檢驗(yàn)真理的唯一標(biāo)準(zhǔn)”，沒(méi)過(guò)多

久全國(guó)人民突然就發(fā)現(xiàn)了過(guò)去的荒謬----怎么會(huì)是那樣呢？怎么會(huì)那么笨呢？在這

里皇帝的新衣一旦被揭下，謊言就變得一錢(qián)不值。今天的西方世界在回想起中世紀(jì)

的一幕幕場(chǎng)景時(shí)恐怕也和我們一樣會(huì)覺(jué)得荒謬大于恐懼吧，為什么當(dāng)時(shí)的人們會(huì)為

對(duì)圣經(jīng)上某一句話(huà)的不同解釋如此憤怒，以至于非要把同樣是信奉上帝的兄弟姐妹

送上火刑架呢？甚至在英國(guó)有很長(zhǎng)一段時(shí)間里竟然要在全國(guó)找最美麗的女人來(lái)燒死

，只因?yàn)楫?dāng)時(shí)那里的神學(xué)家確信這些美人是撒旦的化身！

路德和加爾文站起來(lái)挑戰(zhàn)羅馬教皇的權(quán)威了，但丁更早些在《神曲》里把教皇

判入了地獄，但是人們很快就發(fā)現(xiàn)，單憑文學(xué)和神學(xué)的革命并不能夠改變上帝獨(dú)一

無(wú)二的地位，人本主義并沒(méi)有因?yàn)椤渡袂范蔀橹髁鳌Ｉ踔列陆淌最I(lǐng)加爾文在教

皇鞭長(zhǎng)莫及的日內(nèi)瓦還燒死了塞爾維特，而且足足把他烤了兩個(gè)小時(shí)。歷史的車(chē)輪

似乎又在向著循環(huán)往復(fù)的軌道上滑去?？可駥W(xué)本身的辯論只能夠產(chǎn)生新的神學(xué)；靠

文學(xué)的啟蒙可以產(chǎn)生懷疑，卻無(wú)法最后戰(zhàn)勝神學(xué)；靠地理上的發(fā)現(xiàn)可以解決一時(shí)的

壓迫，但是一個(gè)清教徒的天堂依然讓人們嗅到了舊世界信仰之爭(zhēng)的味道；靠美學(xué)

----達(dá)·芬奇的名作并沒(méi)有改變天主教堂的圖案，再說(shuō)這世上還有比那些送上火刑

架的“撒旦”更美的作品么？

只有真實(shí)和時(shí)間，才是戰(zhàn)勝精神強(qiáng)權(quán)的終極力量。西方有一句話(huà)，說(shuō)是（強(qiáng)權(quán)

）可以短時(shí)間欺騙所有人，也可以永遠(yuǎn)欺騙一些人，但是它不能永遠(yuǎn)欺騙所有人。

象317是個(gè)素?cái)?shù)這樣的真實(shí)，就是再堅(jiān)強(qiáng)的神學(xué)信仰也只有在這個(gè)事實(shí)面前底頭。

而物質(zhì)生活的真實(shí)呢，一旦產(chǎn)業(yè)革命的機(jī)器開(kāi)動(dòng)起來(lái)，田園詩(shī)

似的貴族們又如何抵

擋呢？打敗舊制度的歸根到底是靠以微機(jī)分為代表的理性擊敗了神學(xué)和以機(jī)器為代

表的新生產(chǎn)力戰(zhàn)勝了貴族勢(shì)力。如果沒(méi)有這些，一切革命都將重復(fù)類(lèi)似于中國(guó)農(nóng)民

革命的老路。

牛頓和他之后一個(gè)世紀(jì)的科學(xué)家們生活在一個(gè)背靠絕對(duì)真理挑戰(zhàn)世俗神權(quán)和政

權(quán)的偉大時(shí)代。在馬斯頓荒原，英國(guó)革命軍戰(zhàn)勝了保王黨的反動(dòng)勢(shì)力；在美洲，八

年艱苦的奮戰(zhàn)打跑了日不落帝國(guó)的總督；在巴黎，第三等級(jí)廢除了歐洲最頑固的君

主制。在那個(gè)時(shí)期的主流科學(xué)家頭腦里，一個(gè)來(lái)源與物質(zhì)世界，卻又比它更加完美

的理性取代了華麗的拉丁文圣經(jīng)。人作為上帝的影子的日子過(guò)去了，任何權(quán)勢(shì)在真

理面前必須是平等的。微機(jī)分之后的科學(xué)文明中心在法國(guó)。那時(shí)全歐的人文主義旗

幟在以狄德羅和達(dá)郎貝爾為首的法國(guó)百科全書(shū)派學(xué)者手里。達(dá)郎貝爾對(duì)發(fā)展方程，

函數(shù)論和代數(shù)都有重大貢獻(xiàn)，他有一句名言：“代數(shù)是慷慨的，你從她那里得的總

是比你想要的多”，另外他還說(shuō)過(guò)，“幾何上的真理是物理真理的漸進(jìn)形式，就是

說(shuō)后者無(wú)窮地逼近前者但卻永不相交”[2]，這大概更加接近現(xiàn)代科學(xué)家們的想法

吧。

時(shí)間就這樣一點(diǎn)一點(diǎn)卻又是無(wú)可抗拒地從中世紀(jì)走到了十九世紀(jì)末?？茖W(xué)學(xué)飛

速地發(fā)展著，正如當(dāng)時(shí)的資本主義一樣。神權(quán)和君權(quán)一點(diǎn)一點(diǎn)地退出了舞臺(tái)，科學(xué)

和經(jīng)濟(jì)的力量似乎已經(jīng)取得了全面的勝利。“上帝死了”，人作為主體出現(xiàn)在那個(gè)

喧囂的世界?！斑@是一個(gè)最好的時(shí)代，這是一個(gè)最糟的時(shí)代”[3]。世界似乎是永

無(wú)休止地被開(kāi)采著，人幾乎可以憑機(jī)器做到一切想做的事。在自然科學(xué)上，一個(gè)與

這種自大相對(duì)應(yīng)的是在那時(shí)，主流物理學(xué)家們認(rèn)為這個(gè)世界的規(guī)律已經(jīng)被發(fā)現(xiàn)完畢

了。一九零零年，英國(guó)的開(kāi)爾文勛爵在皇家學(xué)會(huì)的新年致辭中自負(fù)地宣稱(chēng)，物理學(xué)

的大廈已經(jīng)完成，今后物理學(xué)家的任務(wù)只是把實(shí)驗(yàn)做得更精確些（當(dāng)然那時(shí)他并沒(méi)

有料到，他眼中小小的“兩朵烏云”——黑體輻射的理論解釋和邁克爾遜——莫雷

實(shí)驗(yàn)對(duì)以太觀(guān)念的沖擊——引起了現(xiàn)代物理學(xué)翻天覆地的變化）。自然的，社會(huì)的

終極真理似乎就在人們手邊。隨后文明世界卻遭到了空前的打擊，那就是兩次世界

大戰(zhàn)。在那些年現(xiàn)實(shí)中的文明世界秩序已經(jīng)在意大利，德國(guó)國(guó)家社會(huì)主義和日本軍

國(guó)主義的沖擊下蕩然無(wú)存了。

兩次次世界大戰(zhàn)，全人類(lèi)為此付出了近億生命的代價(jià)?？茖W(xué)的標(biāo)志既不是體現(xiàn)

在治病救人的青霉素上，也不是體現(xiàn)在純粹數(shù)學(xué)和理論物理的完美結(jié)合廣義相對(duì)論

上，而是體現(xiàn)在可以一次毀滅一個(gè)城市的原子彈上。西方人文主義的傳統(tǒng)讓位于民

族主義和意識(shí)形態(tài)，二戰(zhàn)后東西方兩大陣營(yíng)相互敵對(duì)，勢(shì)不兩立。社會(huì)主義陣營(yíng)的

故事我就不說(shuō)了，美國(guó)的麥卡錫先生對(duì)美國(guó)共產(chǎn)黨（毋寧說(shuō)是同情共產(chǎn)黨的左派知

識(shí)分子）的迫害也足以名垂青史。與中世紀(jì)不同的是，現(xiàn)在沒(méi)有一個(gè)極權(quán)愚蠢到敢

于宣稱(chēng)科學(xué)在自己之下了，相反地這個(gè)權(quán)力為了強(qiáng)調(diào)自己的正確性合法性，往往宣

稱(chēng)自己是“科學(xué)”的。就算它還要迫害知識(shí)分子，也是用別的方法來(lái)進(jìn)行。這種迫

害進(jìn)行的方法說(shuō)來(lái)也很簡(jiǎn)單，那就是先宣稱(chēng)自己是科學(xué)和正確的化身，然后讓每一

個(gè)公民都相信，不“科學(xué)”不“正確”的人或者思想就必須予以消滅。最后給異端

貼標(biāo)簽的工作就比較容易了，各個(gè)不同的國(guó)家自有不同的方法和習(xí)慣。

好吧再讓我們回到數(shù)學(xué)吧，回到這個(gè)比現(xiàn)實(shí)世界優(yōu)美的避難所吧。讓我們從本

世紀(jì)的最初看看數(shù)學(xué)的發(fā)展。在這一時(shí)期，數(shù)學(xué)學(xué)上出了一件大事。這件事在正史

中當(dāng)然沒(méi)有推倒柏林墻那么重要，但是其內(nèi)在的意義，也許將比那個(gè)政治事件更能

讓我們的后代共鳴。

德國(guó)數(shù)學(xué)家希爾伯特于一九零零年在巴黎國(guó)際數(shù)學(xué)家代表大會(huì)上作了一次演講

[4]。在演講中希爾伯特提出了二十三個(gè)公開(kāi)問(wèn)題，這些問(wèn)題后來(lái)主宰了二十世紀(jì)

（至少是前五十年）的數(shù)學(xué)研究，幾乎所有的第一流數(shù)學(xué)家都在為攻克這些難題而

奮斗。在這次著名的演講中，他還說(shuō)到：“.....每一個(gè)確定的數(shù)學(xué)問(wèn)題，.....無(wú)

論這些問(wèn)題在我們看來(lái)多么難以解決，無(wú)論在這些問(wèn)題面前我們顯得多么無(wú)能為力

，我們?nèi)匀粓?jiān)定地相信，它們的解答一定能夠通過(guò)有限步純邏輯推理而得到。”這

一說(shuō)法后來(lái)被稱(chēng)之為希爾伯特綱領(lǐng)，是人類(lèi)可以解決一切問(wèn)題在看饉辯領(lǐng)域的縮

減版本。這二十三個(gè)問(wèn)題如今大部分已經(jīng)被解決或者部分解決，剩下未被解決的問(wèn)

題是如下幾個(gè)：

第二問(wèn)題：算數(shù)公里體系的相容性；

第六問(wèn)題：物理公理的數(shù)學(xué)處理；

第八問(wèn)題：素?cái)?shù)問(wèn)題；

第十二問(wèn)題：Abel域上的Kronecker定理的推廣。

這里面后兩個(gè)基本上是獨(dú)立的技巧性問(wèn)題，而前兩個(gè)卻事關(guān)整個(gè)數(shù)學(xué)物理的基礎(chǔ)，

進(jìn)而對(duì)整個(gè)人類(lèi)科學(xué)和邏輯產(chǎn)生影響。我不是搞物理的，就物理公理的數(shù)學(xué)化不好

作深入的評(píng)論，但是這無(wú)疑是希爾伯特或者說(shuō)任何一個(gè)相信希爾伯特綱領(lǐng)的科學(xué)家

的一個(gè)“野心”吧，先在數(shù)學(xué)領(lǐng)域建立起可以解決一切問(wèn)題的信心，然后再把物理

數(shù)學(xué)化，進(jìn)而推廣到一切人類(lèi)的科學(xué)領(lǐng)域。就象運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法時(shí)我們要證明兩件

事：“對(duì)最基本的出發(fā)點(diǎn)成立；假設(shè)對(duì)n成立，證對(duì)n+1也成立”相仿，第六問(wèn)題更

象是后一步，而第二問(wèn)題則更象是前一步（的一個(gè)必要條件）。如果前一步走不通

，后一步也就失去了意義。

為了更好的說(shuō)明問(wèn)題，我想我不得不講點(diǎn)專(zhuān)業(yè)化的東西了。大家都知道所有的

自然數(shù){1，2，.....}是個(gè)無(wú)窮集合，而且肯定也知道全體實(shí)數(shù)，通常記作R的也是

個(gè)無(wú)窮集合。直觀(guān)告訴我們，雖然都是無(wú)窮集合，后者比前者應(yīng)該要“大”[5]。

數(shù)學(xué)怪才康托(Cantor）第一次給出了一個(gè)嚴(yán)格的證明，這個(gè)證明我想在實(shí)變函數(shù)

的第一章就可以找得到?？低羞€證明了一個(gè)和一般人直觀(guān)很不一致的結(jié)論，那就是

一個(gè)正方形或者正方體的點(diǎn)數(shù)和一條小得可憐的一維線(xiàn)段的點(diǎn)數(shù)是“一樣多”的。

這樣一來(lái)一個(gè)自然的問(wèn)題就出來(lái)了：有沒(méi)有一種無(wú)窮大，它比自然數(shù)（數(shù)學(xué)上稱(chēng)之

為可數(shù)集）的無(wú)窮大要大，卻又比實(shí)數(shù)（數(shù)學(xué)上稱(chēng)之為連續(xù)統(tǒng)）的無(wú)窮大要??？這

就是有名的希爾伯特第一問(wèn)題，連續(xù)統(tǒng)假設(shè)了。

一九六三年美國(guó)的PaulJ.Cohen以一個(gè)大家都意想不到的方式解決了這個(gè)問(wèn)

題：連續(xù)統(tǒng)假設(shè)和實(shí)數(shù)公理體系（Zermelo-Fraenkel公里系統(tǒng)）是相互獨(dú)立的，也

就是說(shuō)，我們既不可以用實(shí)數(shù)公理來(lái)證明它，也不可能證偽！希爾伯特幸運(yùn)地在這

個(gè)消息之前很早就去世了，但是不幸地是，在他逝世前十二年（一九三一年），一

個(gè)叫哥德?tīng)朳6]的年輕人已經(jīng)徹底擊碎了他的理想：在任何一個(gè)數(shù)學(xué)體系里，一定

存在既不能能夠被證明，也不能夠被證偽的命題[7]。那一年希爾伯特已年近七旬，

而哥德?tīng)柖鍤q。在這里理想國(guó)里老派學(xué)者的綱領(lǐng)被年輕人徹底給擊敗了。和我?

們驕傲的宣言正好成對(duì)比的是，數(shù)學(xué)的真理讓我們知道我們永恒的無(wú)知。

時(shí)間似乎又回到了兩千年前的古希臘。蘇格拉底說(shuō)：“我唯一知道的是我的無(wú)

知?！眱汕陙?lái)我們的智力不斷地在發(fā)展，我們的科學(xué)不斷地在完善，我們比起任

何一個(gè)時(shí)代都更有資格判斷對(duì)錯(cuò)。我們甚至想要運(yùn)用邏輯去證明一切事物都可以貼

上“正”“誤”的標(biāo)簽。然后達(dá)到一個(gè)正確的天堂。而這時(shí)數(shù)學(xué)又一次改變了人類(lèi)

的哲學(xué)，當(dāng)人們盲目地崇拜上帝時(shí)她用鋒利的矛挑戰(zhàn)神性，而當(dāng)人們把“正確”當(dāng)

做新的偶像來(lái)崇拜時(shí)，又是她告訴人們，人類(lèi)任何對(duì)真理的認(rèn)識(shí)總有不足，地上不

僅僅沒(méi)有神的天國(guó)，也沒(méi)有絕對(duì)真理的標(biāo)準(zhǔn)。只有對(duì)不同的哪怕是錯(cuò)誤的思想的包

容并蓄，只有放下打擊“錯(cuò)誤”的執(zhí)著，憑著對(duì)異端的寬容，我們才能真正接近真

理。

“所有的動(dòng)物生而平等，但是有些比別的更平等[1]?！痹跀?shù)學(xué)里也一樣存在

這個(gè)現(xiàn)象。如果只是要合乎邏輯的話(huà)幾何可以有很多種，代數(shù)也一樣。就算動(dòng)用美

學(xué)的標(biāo)準(zhǔn)，也很難說(shuō)我們的數(shù)學(xué)就比它的這些兄弟們更好一些。那為什么我們今天

見(jiàn)到的數(shù)學(xué)是這樣的而不是那樣的？我想，原因在于我們總是用現(xiàn)實(shí)世界的眼睛去

觀(guān)察和發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)。歐氏幾何之所以有這樣的公理而不是別的，是因?yàn)樗罘袭?dāng)時(shí)

人類(lèi)對(duì)自然世界的觀(guān)察。這樣一來(lái)它就比別的幾何在數(shù)學(xué)里具有更高的地位，擁有

更多的關(guān)注。

偉大的蘇格拉底曾經(jīng)向普羅塔奇思(Protarchus)問(wèn)道：“是不是有兩種數(shù)學(xué)，

一種是平民百姓的，一種是哲學(xué)家的？.....（平民）在建筑和作買(mǎi)賣(mài)時(shí)運(yùn)用的算

法和測(cè)量的技術(shù)與哲學(xué)家們的（歐氏）幾何和極為精細(xì)的計(jì)算比較如何——我的意

思是，它們是一種還是兩種？”

普羅塔奇思：“.....我認(rèn)為是兩種”。[2]

這段對(duì)話(huà)其實(shí)反映出數(shù)學(xué)自降生以來(lái)，就被分成從目標(biāo)上來(lái)說(shuō)截然不同的兩部

分：純粹數(shù)學(xué)和應(yīng)用數(shù)學(xué)。我認(rèn)為這種分類(lèi)并不能?chē)?yán)格地從內(nèi)容上進(jìn)行，比如說(shuō)屬

于應(yīng)用數(shù)學(xué)的微分方程理論就有很多定理十分優(yōu)美和抽象，當(dāng)年被證明出來(lái)大概也

還是出于認(rèn)識(shí)真理的動(dòng)力；而以前非歐幾何完全是在純數(shù)學(xué)的小圈子里面流通的，

后來(lái)也在二十世紀(jì)成了描述現(xiàn)實(shí)宇宙的重要工具。最有意思的是這么一個(gè)故事，在

一九一零年左右，普林斯頓大學(xué)一位數(shù)學(xué)家和一位物理學(xué)家在討論課程表的時(shí)候，

物理學(xué)家很有把握地聲稱(chēng)，他們無(wú)疑可以去掉抽象代數(shù)，因?yàn)樗^不會(huì)對(duì)物理有用

的[3]。結(jié)果是沒(méi)出幾十年，不懂群論就已經(jīng)無(wú)法進(jìn)行基礎(chǔ)物理的研究了。在數(shù)學(xué)

的發(fā)展史上，“純粹”往往在多年以后找到“應(yīng)用”，而“應(yīng)用”也常常成為理論

研究的動(dòng)力，它們二者與其說(shuō)成是兩個(gè)不同的數(shù)學(xué)分支，不如說(shuō)成是統(tǒng)一的數(shù)學(xué)的

兩個(gè)側(cè)面。就象在希臘神話(huà)中，雅典娜不僅有俏麗的面容，也有強(qiáng)大的力量。純粹

思辯的數(shù)學(xué)在自然科學(xué)中是極有力的工具，以至于馬克思曾經(jīng)說(shuō)過(guò)，一門(mén)科學(xué)只有

當(dāng)它能夠成功地運(yùn)用數(shù)學(xué)的時(shí)候，才可以真正算作發(fā)展成熟了。[4]

然而為什么數(shù)學(xué)是如此地有用？這本身卻是一個(gè)難以回答的哲學(xué)問(wèn)題。就象我

在前面兩章里所闡述的，數(shù)學(xué)是為數(shù)很少的幾個(gè)公設(shè)在邏輯推理下可以得到的所有

命題的總和。如果把“真理”理解為在現(xiàn)實(shí)世界里行得通的某種“法則”，那么正

好和常識(shí)相反，數(shù)學(xué)里不包含任何“真理”。在物理，化學(xué)，生物里我們經(jīng)?？梢?/p>

看到這樣的論斷：A具有性質(zhì)B。驗(yàn)證它的方法是實(shí)驗(yàn)C。和這種毫不猶豫地求助于

實(shí)驗(yàn)的風(fēng)格不同的是，在勾股定理的命題描述后面，你絕不會(huì)看見(jiàn)驗(yàn)證它的實(shí)驗(yàn)是

什么什么，取代這一步驟的是從歐幾里得幾何的幾條公理出發(fā)，通過(guò)清晰的邏輯把

它證明出來(lái)。按照羅素等人的解釋?zhuān)罢切蔚闹苯沁吰椒胶偷扔谛边叺钠椒健?/p>

這個(gè)給人以“客觀(guān)真理”印象的命題是過(guò)于簡(jiǎn)化了，它應(yīng)該被說(shuō)成：“從歐氏幾何

的公理和實(shí)數(shù)的策墨羅-富蘭克爾公理體系出發(fā)，推出勾股定理的邏輯值為真”。

后一種說(shuō)法其實(shí)就和客觀(guān)實(shí)踐無(wú)關(guān)了，如果我們把前提修改一下，后面那個(gè)符合實(shí)

踐的結(jié)論很可能就不成立。比方說(shuō)在非歐幾何里，這條定理就行不通。這兩個(gè)不同

的結(jié)論可以很好地共存，而且還不象經(jīng)典力學(xué)和相對(duì)論那樣是彼此近似的關(guān)系。

原

因是單從邏輯的角度上講，只要它們各自的前提不存在內(nèi)部矛盾就是平等的。而前

提是不是正確？是不是我們這個(gè)自然世界的性質(zhì)？數(shù)學(xué)家們狡猾地笑笑，說(shuō)：這就

是物理學(xué)家，化學(xué)家，生物學(xué)家們的事情了。

一個(gè)現(xiàn)實(shí)問(wèn)題的數(shù)學(xué)解法之合理性是出自近似性。從應(yīng)用的角度講，我們從來(lái)

就不需要絕對(duì)的精確，恐怕永遠(yuǎn)也達(dá)不到它。根號(hào)二是個(gè)無(wú)理數(shù)？那不要緊，反正

我們連有理數(shù)長(zhǎng)的尺子也造不出來(lái)。exp(x)=x沒(méi)有“解析解”？這也不要緊，要緊

的是我們能夠想出一個(gè)逼近的方法，有多精確的需要，就能夠通過(guò)有限步運(yùn)算達(dá)到

多么精確。

回到幾何和數(shù)學(xué)本身，它們是有限步邏輯的產(chǎn)物，哪怕最接近“現(xiàn)實(shí)”的數(shù)學(xué)

也已注定了是這個(gè)無(wú)限復(fù)雜的世界的某種近似。那么真實(shí)世界中任何問(wèn)題都能夠被

某種數(shù)學(xué)所漸進(jìn)描述么？學(xué)過(guò)一些比較專(zhuān)業(yè)的數(shù)學(xué)就知道，這個(gè)問(wèn)題等價(jià)于“全體

數(shù)學(xué)空間”在“全體現(xiàn)實(shí)問(wèn)題空間”里稠密，而這一般來(lái)說(shuō)并不是顯然的。好在我

們的科學(xué)發(fā)展暫時(shí)還沒(méi)有碰到這些問(wèn)題，多么復(fù)雜的物理問(wèn)題最后總是找到相應(yīng)的

數(shù)學(xué)工具，而且在很多時(shí)候這件事情還富有戲劇性：物理學(xué)家們有時(shí)發(fā)現(xiàn)，他們需

要的工具，很早以前一小群純粹數(shù)學(xué)家們就已經(jīng)準(zhǔn)備好了。這種應(yīng)用在數(shù)學(xué)界的影

響也是巨大的，因?yàn)樗涯撤N“沒(méi)有用”的純粹數(shù)學(xué)隱含的應(yīng)用性揭示出來(lái)，從而

強(qiáng)烈地暗示，任何抽象的數(shù)學(xué)研究終歸會(huì)被派上用場(chǎng)，成為應(yīng)用數(shù)學(xué)。這也是非歐

幾何創(chuàng)始人之一的羅巴切夫斯基的信心，而且我們還知道，愛(ài)因斯坦沒(méi)有讓他失望

。“所有數(shù)學(xué)都是有用的”這個(gè)命題大致是前面“所有現(xiàn)實(shí)問(wèn)題都有數(shù)學(xué)模型”的

逆命題。很可惜，就和前面那個(gè)命題一樣，這也是難以證明的。困難來(lái)自于無(wú)限，

希望卻也來(lái)自無(wú)限。數(shù)學(xué)的發(fā)展與人類(lèi)對(duì)無(wú)限的挑戰(zhàn)和超越密不可分。

在上一章里，我已經(jīng)提到所有的數(shù)學(xué)都是研究涉及無(wú)限的模式，哪怕最簡(jiǎn)單的

自然數(shù)也不例外。現(xiàn)在我們更進(jìn)一步，看看我們是怎么解決由數(shù)本身所構(gòu)成的無(wú)限

命題。第一步我想我們應(yīng)該看看最為簡(jiǎn)單的無(wú)限：自然數(shù)所產(chǎn)生的無(wú)限（這種無(wú)限

有個(gè)學(xué)名，叫做“可數(shù)無(wú)窮大”）。在近代數(shù)學(xué)定義中，這個(gè)無(wú)限可以通過(guò)“給定

一個(gè)自然數(shù)n，總存在n+1比它大”這一事實(shí)來(lái)描述。這些語(yǔ)言本身僅僅涉及有限，

因而是我們可以把握的。由此我們還得到數(shù)學(xué)歸納法，它可以處理含有這種無(wú)窮大

的命題，比方說(shuō)“1+2+……+n=n*(n+1)/2”。步驟是先證明最開(kāi)始的一個(gè)情況是對(duì)

的，然后證明第n+1個(gè)情況的正確性可以由第n個(gè)情況所推出。這就象是在搭梯子，

只要第一下踏中了，而且保證一腳踏實(shí)后就可以踏第二腳，那么哪怕這梯子有無(wú)限

多級(jí)，我們也滿(mǎn)可以登上去。

然而這并不是一個(gè)讓人放心的邏輯。事實(shí)上它違反了一個(gè)“常識(shí)”：如果真有

無(wú)限級(jí)的梯子，就算一個(gè)人結(jié)結(jié)實(shí)實(shí)地踩中了第一腳，并且保證下一腳永不踏空，

他也沒(méi)有辦法爬完全部梯子。不過(guò)好在我們誰(shuí)也沒(méi)有真正見(jiàn)到過(guò)無(wú)限級(jí)的梯子，真

正的無(wú)窮是不為人所見(jiàn)的。世界是那樣的復(fù)雜，我們把它叫做無(wú)窮；而人卻是渺小

的，我們只能感知到有限。無(wú)限如果不和有限結(jié)合起來(lái)，就是對(duì)我們毫無(wú)用處的無(wú)

限。這條想象中的“無(wú)限梯”是那樣真實(shí)，以至于我們已經(jīng)忘了它其實(shí)來(lái)自于“非

常長(zhǎng)”然而仍然是有限的梯子的經(jīng)驗(yàn)。我們不必為那條無(wú)限梯永遠(yuǎn)爬不到頂而煩惱

，我們的勝利來(lái)自于每一級(jí)被征服的有限，和不斷延續(xù)的過(guò)程。過(guò)程！是的，無(wú)限

不是靜止的體驗(yàn)，無(wú)限來(lái)自不停息的過(guò)程。每一個(gè)被征服的具體的n+1都是有限，

歸納的過(guò)程卻意味著我們征服了第一個(gè)無(wú)限。

談到過(guò)程，就要談?wù)剷r(shí)間了。和自然數(shù)不同，時(shí)間是連續(xù)的。換句話(huà)說(shuō)，在萬(wàn)

分之一毫秒中我們還可以插入許多億分之一毫秒，而且這一分割還可以繼續(xù)下去，

要多細(xì)有多細(xì)。在現(xiàn)實(shí)生活中，人對(duì)“微小”的認(rèn)識(shí)水平是有限制的。所以無(wú)限可

分并不是直接的經(jīng)驗(yàn)，而是和可數(shù)無(wú)窮大一樣，是有限經(jīng)驗(yàn)的一種抽象。這種無(wú)限

可分的性質(zhì)不光時(shí)間有，空間也是有的，它們合在一起構(gòu)成了我們這個(gè)宇宙的框架

。最早對(duì)這一框架的數(shù)學(xué)描述是歐氏幾何，通過(guò)笛卡爾等人的努力，實(shí)數(shù)和這一幾

何通過(guò)坐標(biāo)系建立了不可分割的關(guān)系。

幾何的出發(fā)點(diǎn)是抽象的“點(diǎn)”，“直線(xiàn)”等概念，這些概念，在現(xiàn)實(shí)生活中是

不存在的。確實(shí)，有誰(shuí)能夠見(jiàn)到一個(gè)沒(méi)有任何大小的“點(diǎn)”呢？又有哪一條“直線(xiàn)

”不是彎曲的呢？然而今天對(duì)于任何一個(gè)受過(guò)教育的人來(lái)講，這些奇怪的人造動(dòng)物

都是再自然不過(guò)的了。我們把力學(xué)問(wèn)題抽象為幾何，通過(guò)數(shù)學(xué)來(lái)推導(dǎo)，運(yùn)算，得到

一個(gè)數(shù)字或者圖形，然后再把它的力學(xué)意義解釋出來(lái)。而這個(gè)結(jié)論總是對(duì)的，這可

以從無(wú)數(shù)實(shí)驗(yàn)中看出來(lái)。可是這種正確，卻是基于在現(xiàn)實(shí)生活中誰(shuí)也沒(méi)有見(jiàn)到過(guò)的

“點(diǎn)”和“線(xiàn)”的看邏輯推理。

解釋它的辦法仍然是用過(guò)程的概念：比方說(shuō)一個(gè)“點(diǎn)”或者說(shuō)一個(gè)實(shí)數(shù)不是個(gè)

固定的概念——無(wú)限小的“存在”，而是一個(gè)可以不斷逼近（縮小）的過(guò)程。一顆

質(zhì)量為3.75公斤的石子在113.14牛頓的推進(jìn)力下沿直線(xiàn)運(yùn)行了3.03秒，那么它的軌

跡就有138.50米。這里的任何一個(gè)數(shù)字都不是對(duì)現(xiàn)實(shí)實(shí)驗(yàn)的真實(shí)描述，而是近似。

隨著對(duì)3.75公斤，113.14牛頓，3.03秒近似水平的提高，軌跡也會(huì)越來(lái)越接近

138.50米。這個(gè)“越來(lái)越接近”又是一個(gè)涉及無(wú)限的過(guò)程了，它被有限的邏輯以

F=ma,S=a*t^2/2的形式表達(dá)出來(lái)。其中第一個(gè)式子來(lái)源于物理經(jīng)驗(yàn)，第二個(gè)式子

則是微積分的一個(gè)結(jié)果。

微積分和它所生成的分析學(xué)是近代數(shù)學(xué)最值得銘記的里程碑，它在數(shù)學(xué)中的重

要性怎么估計(jì)都不會(huì)過(guò)高?？墒撬谷辉谙喈?dāng)長(zhǎng)的一段時(shí)間里不是嚴(yán)格意義上的數(shù)

學(xué)——因?yàn)樗幕A(chǔ)要到很晚以后才被建立在堅(jiān)實(shí)的邏輯之上。天文學(xué)家開(kāi)普勒嘗

試著做最早的積分，被叫做“dolichometry”——小桶的量度——即量度由曲面包

圍起來(lái)的物體的容積。這是非公理化的，經(jīng)驗(yàn)的幾何學(xué)，而不是歐幾里得以后的那

種幾何學(xué)[5]。牛頓發(fā)明的“流數(shù)”運(yùn)算，不僅是為了研究物理提供工具，連陳述

都是物理化的，而這種不精確性，來(lái)源就是把無(wú)窮小量當(dāng)作靜止的恒量。在牛頓時(shí)

代的微積分運(yùn)算中，我們經(jīng)?？梢钥吹接眠@個(gè)無(wú)窮小量做分母（這意味著它不等于

零），而在隨后的乘法中和它相乘的量又都被消去（這時(shí)它就是零了），從而得到

結(jié)果。這個(gè)矛盾當(dāng)時(shí)無(wú)法解決，而且它并不是象虛數(shù)那樣完全是形式上的問(wèn)題，那

種推導(dǎo)方法還有可能會(huì)得出象0=1這種荒謬的結(jié)論。以前曾經(jīng)是如此嚴(yán)格地合乎道

德的數(shù)學(xué)也犯了原罪；它吃了智慧果，這為它開(kāi)辟了獲得最大成就但也造成謬誤的

道路[6]。

現(xiàn)在我們高等數(shù)學(xué)/數(shù)學(xué)分析教科書(shū)上已經(jīng)找不到這個(gè)象幽靈一樣的無(wú)窮小量

了，取而代之的是柯西和魏爾斯特拉斯所發(fā)現(xiàn)的極限思想和用來(lái)描述它的ε-δ法

則。無(wú)窮小量現(xiàn)在被看成某個(gè)函數(shù)的極限過(guò)程，精確的描述如下：對(duì)于任意ε>0.

存在δ>0,當(dāng)|x-x_0|<δ時(shí)|f(x)-f(x_0)|<ε，記為當(dāng)x→x_0時(shí)，f(x)→

f(x_0)。

這里ε和δ都代表了有限，“任意”和“存在”是集合論或者說(shuō)是邏輯運(yùn)算的

語(yǔ)言，通過(guò)它們把代表無(wú)限的無(wú)窮小量刻畫(huà)出來(lái)?？此票孔镜拿枋鲋型嘎兜倪€是那

個(gè)思想：如果不能夠從有限出發(fā)刻畫(huà)無(wú)限，那樣的無(wú)限就毫無(wú)意義；如果一種計(jì)算

不能

寫(xiě)成標(biāo)準(zhǔn)的邏輯語(yǔ)言，它就不能被稱(chēng)為真正的數(shù)學(xué)。數(shù)學(xué)的力量表現(xiàn)在豐富多

彩的應(yīng)用上，但更是出自它無(wú)比的嚴(yán)密。在歷史上應(yīng)用很多次走在了嚴(yán)密的前面，

就象微積分那樣，但最終數(shù)學(xué)總可以為它們建立嚴(yán)格的邏輯，盡管有時(shí)不得不付出

直觀(guān)性和有效性的代價(jià)。后者一個(gè)典型的例子就是概率論。古典概率的直觀(guān)體系很

早就有了雛形，而且被實(shí)踐證明是管用的。然而要到本世紀(jì)柯?tīng)柲缏宸颍?/p>

Kolmogorov）突破性的工作后它才談得上有一個(gè)嚴(yán)格的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。這套體系是建立

在測(cè)度論上的，而在現(xiàn)有的體系下一定有很多事件是無(wú)法定義概率的（不可測(cè)），

所以概率的定義域就從來(lái)自經(jīng)驗(yàn)的“全部可能的事件”縮減為一個(gè)純粹為滿(mǎn)足數(shù)學(xué)

嚴(yán)格性而建筑的δ-algebra之上。這種不自然多多少少削弱了概率論的力量（盡管

幾乎所有我們見(jiàn)過(guò)的集合都是可測(cè)的），因此直到現(xiàn)在還有人反對(duì)它，試圖建立一

套更加完美的理論。

不管新的體系會(huì)是什么樣子，有一點(diǎn)是肯定的：它一定是保證了邏輯嚴(yán)密性后

的推廣，只有這樣，我們才有充分的信心去運(yùn)用它?？墒沁壿嬘譃槭裁磿?huì)適用于我

們這個(gè)世界？這是還未得到解決的哲學(xué)問(wèn)題。抽象的邏輯其實(shí)一樣來(lái)自于重復(fù)足夠

多次的經(jīng)驗(yàn)，我們的經(jīng)驗(yàn)則是視覺(jué)，聽(tīng)覺(jué)，觸覺(jué)，嗅覺(jué)——通過(guò)機(jī)器可以把它們延

伸，通過(guò)思考可以間接地感受它們，然而歸根到底它們還是基于這些感覺(jué)。也許

1+1=2不是感覺(jué)，可是它也是從一大類(lèi)我們感知得到的具體事物中抽象出來(lái)的規(guī)律

。這個(gè)規(guī)律，就我們過(guò)去的經(jīng)驗(yàn)所知是正確的。之所以我們要去（通過(guò)研究過(guò)去的

經(jīng)驗(yàn)）追求規(guī)律，是為了把握我們難以把握的未來(lái)，如果歷史對(duì)未來(lái)毫無(wú)影響，如

果宇宙隨時(shí)間的變化完全不可知，我們還有研究科學(xué)的必要嗎？我們的信心只能建

立在宇宙的規(guī)律性上，這種規(guī)律性也許永遠(yuǎn)不能夠?yàn)槿祟?lèi)所完全認(rèn)識(shí)，但總是在某

個(gè)地方“存在”著，全部自然科學(xué)包括數(shù)學(xué)不是創(chuàng)造它，而是發(fā)現(xiàn)它。然而即使全

部的過(guò)去都支持某一種規(guī)律，這種規(guī)律就一定會(huì)在將來(lái)永遠(yuǎn)地成立下去嗎？太陽(yáng)明

天還會(huì)升起，這可以通過(guò)物理定律來(lái)證明，可是物理定律恰恰是從象太陽(yáng)無(wú)數(shù)次有

規(guī)律的升起這樣的大量經(jīng)驗(yàn)中得出的，這就象是自己證明自己，并沒(méi)有產(chǎn)生新的信

息。

到這里我打算停下來(lái)，把問(wèn)題交給搞自然科學(xué)的同仁們。歸跟到底，那些建立

模型解釋模型的任務(wù)不在數(shù)學(xué)家身上。我們所從事的工作就象是下圍棋，給定了規(guī)

則（邏輯）后就演繹出許多推論，在數(shù)學(xué)上的“正確”意味著合乎這種規(guī)則，和現(xiàn)

實(shí)生活中的“正確”具有不同（然而非常相關(guān)）的哲學(xué)意義。由此可見(jiàn)，數(shù)學(xué)不是

具體科學(xué)，更不是“客觀(guān)真理”的總匯。

[1]《動(dòng)物莊院》，GeorgeOrwell

[2]《AppliedMathematicsIsBadMathematics》，P.Halmos

[3]《MathematicsinthePhysicalScience》，F(xiàn).J.Dyson

[4]《馬克思回憶錄》，拉法格著，轉(zhuǎn)引自《數(shù)學(xué)與人類(lèi)文化》，孫小禮著

[5]《論數(shù)學(xué)》，馮·諾伊曼

[6]《反杜林論》，恩格斯

迦羅華小傳

E·迦羅華（EvaristeGalois），法國(guó)數(shù)學(xué)家。一八一一年生于巴黎近郊的

Bourg-la-Reine。他父親當(dāng)時(shí)是那里的鎮(zhèn)長(zhǎng)，他母親是知識(shí)婦女，她在家里一直教

小迦羅華到十二歲，到那時(shí)他才開(kāi)始上正規(guī)的學(xué)校。但是由于不喜歡學(xué)校正規(guī)教育

的僵化體制和一成不變的教材，迦羅華在學(xué)校的成績(jī)很快就從剛進(jìn)去時(shí)的名列前矛

跌到了谷底。有一次他偶然找到了一本勒讓德寫(xiě)的幾何學(xué)專(zhuān)著，這個(gè)成績(jī)一塌糊涂

的小家伙很快就全部看

懂了。學(xué)校的代數(shù)課本對(duì)他來(lái)說(shuō)實(shí)在太boring，他于是就去

找數(shù)學(xué)大師拉格朗日和阿貝爾求學(xué)。然而在大師們那里他也表現(xiàn)不好，得到的評(píng)價(jià)

是該生十分古怪，喜歡爭(zhēng)辯，老是惹麻煩。

十六歲時(shí)他投考聞名全歐的EcolePolytechnique，結(jié)果考官根本不能理解他

的答題，因而被拒。后來(lái)Terquem是這樣評(píng)價(jià)的：“Acandidateofsuperior

intelligenceislostwithanexaminerofinferiorintelligence”。后他再

次報(bào)考該校，又碰到一幫這樣的考官，在復(fù)試（面試）的時(shí)候，他甚至憤而拿粉筆

擦扔中一名考官。這一扔，也就扔掉了他讀Polytechnique的希望。不過(guò)他雖然這

兩年沒(méi)有讀大學(xué)，卻還是找到了一個(gè)能夠容忍他的數(shù)學(xué)老師，LouisRichard，自

此開(kāi)始真正意義上的數(shù)學(xué)研究。他的第一篇論文也正是在這個(gè)階段（十七歲時(shí)）發(fā)

表的。就在這個(gè)時(shí)候還發(fā)生了一件影響他人生觀(guān)的事情，他的父親，因?yàn)槭艿疆?dāng)時(shí)

法國(guó)天主教會(huì)的迫害而自殺了。

十九歲（一八二九年）終于上了另外一所學(xué)校EcoleNormale，然而不久（一

八三零年）法國(guó)發(fā)生革命。當(dāng)時(shí)EcoleNormale的校長(zhǎng)把所有的學(xué)生都鎖在學(xué)校里

面，只除可憐的迦羅華以外----他因?yàn)閼延忻裰骼硐?，?xiě)了支持暴動(dòng)罵校長(zhǎng)的公開(kāi)

信而被開(kāi)除了。在EcoleNormale短短的一年時(shí)間里，迦羅華發(fā)表了三篇關(guān)于代數(shù)

方程的論文，并寄給法國(guó)科學(xué)院。當(dāng)時(shí)科學(xué)院的秘書(shū)把它們帶回家準(zhǔn)備去讀，不過(guò)

他在寫(xiě)出評(píng)價(jià)之前就死了，那些論文再也沒(méi)人找得到。

開(kāi)除以后二十歲不到的他試圖開(kāi)辦他自己的數(shù)學(xué)學(xué)校，結(jié)果是沒(méi)有人肯當(dāng)他的

學(xué)生。然后他就加入了國(guó)民衛(wèi)隊(duì)，并且說(shuō)了一句對(duì)于我們中國(guó)人或多或少熟悉的話(huà)

：如果必須用尸體來(lái)激勵(lì)民眾，拿我的去好了。具有戲劇性的故事還在后面：他這

個(gè)危險(xiǎn)分子似乎是不可避免地被抓了起來(lái)，罪名是“試圖謀害國(guó)王”。這本是求仁

得仁，但在法庭上法官不知為什么卻又判他無(wú)罪。最后他還是被判了六個(gè)月的徒刑

，罪名是“illegallywearingauniform”！

當(dāng)他刑滿(mǎn)釋放后，他這一生第一次，也是唯一的一次卷入了愛(ài)情紛爭(zhēng)。就象他

一慣的不走運(yùn)，他這一次也沒(méi)有好多少。性子火暴的他很快就對(duì)愛(ài)情，他的女友和

他自己完全厭惡了。幾天過(guò)后情緒低沉的他接受了他的政敵的決斗挑戰(zhàn)。他自己知

道他不會(huì)有什么機(jī)會(huì)贏，于是整晚就在寫(xiě)數(shù)學(xué)手稿，那是他短暫不幸而又閃亮的一

生唯一能夠給他安慰，體現(xiàn)他的價(jià)值的東西了，也是他不愿隨自己的生命帶走的。

他把這些新的結(jié)果，連同那次被法國(guó)科學(xué)院弄丟的論文的結(jié)果寄給了他的朋友

AugusteChxxxxier，然后在一八三二年五月三十日依約前往決斗場(chǎng)。

在那里他被射中腹部，一時(shí)斷不了氣。在送往醫(yī)院的路上他對(duì)他兄弟說(shuō)：“別

哭，我可是要鼓起全部勇氣才能在二十歲去死呢?！蓖纯嘟Y(jié)束于第二天，然后他被

安葬于一個(gè)連標(biāo)記都沒(méi)有的墓穴里。

二十四年以后，劉維爾整理并發(fā)表了迦羅華的一些文章和傳記。而真正理解他

的成就，還要等到1870年約當(dāng)寫(xiě)出Traitedessubstitutions，或者更晚一些，到

二十世紀(jì)克萊因（FelixKlein）和李（SophusLie）把他的理論系統(tǒng)地運(yùn)用到幾

何上去時(shí)人們才真正認(rèn)識(shí)到他們?cè)?jīng)擁有過(guò)一個(gè)怎樣的天才。迦羅華只活了二十歲

，寫(xiě)的全部論文只有六十頁(yè)紙。在他生前他的數(shù)學(xué)思想不為人所理解，政治主張也

大逆不道。然而在他死后人們稱(chēng)他是現(xiàn)代代數(shù)學(xué)的開(kāi)創(chuàng)者，而他的祖國(guó)，再也不會(huì)

有“謀害國(guó)王”這條罪名了。他真正當(dāng)?shù)闷養(yǎng)ell的評(píng)論-----

Inallthehistoryofsciencethereisnocompleterexampleofthe

triumphofcrassstupidityoveruntamablegeniusthanisaffordedbythe

alltoobrieflifeofEvaristeGalois