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1關(guān)于命題的兩個(gè)定義

關(guān)于命題，初中的定義是：判斷一件事情的語(yǔ)句叫命題；高中的定義是可以判斷真假的語(yǔ)句叫命題．這兩個(gè)定義都不嚴(yán)格．兩個(gè)定義中使用的“判斷”一詞，與語(yǔ)文中通常的意義不盡相同．在邏輯學(xué)上，它的意義是：判斷是對(duì)客觀事物有所肯定或否定的思維形式，判斷有真有假．所以，初中和高中的兩個(gè)定義在意義上是完全相同的：命題是這樣一個(gè)語(yǔ)句，這個(gè)語(yǔ)句能夠判斷真假．例如語(yǔ)句“4的平方根是2”，作為一個(gè)判斷，它是錯(cuò)誤的，所以它是命題，是假命題．

2關(guān)于“或”、“且”的含義

復(fù)合命題“p或q”與“p且q”是用邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”與“且”聯(lián)結(jié)兩個(gè)命題p與q，既不能用“或”與“且”去聯(lián)結(jié)兩個(gè)命題的條件，也不能用它們?nèi)ヂ?lián)結(jié)兩個(gè)命題的結(jié)論．

例1（1）已知p：方程（x-1）（x-2）=0的根是x=1；

q：方程（x-1）（x-2）=0的根是x=2，

寫(xiě)出“p或q”．

（2）p：四條邊相等的四邊形是正方形；

q：四個(gè)角相等的四邊形是正方形，

寫(xiě)出“p且q”．

錯(cuò)解：（1）p或q：方程（x-1）（x-2）=0的根是x=1或x=2；（2）p且q：四條邊相等且四個(gè)角相等的四邊形是正方形．

分析：（1）（2）兩題中的p、q都是假命題，所以“p或q”、“p且q”也都是假命題，而上述解答中寫(xiě)出的兩個(gè)命題卻都是真命題．錯(cuò)誤的原因是：（1）聯(lián)結(jié)了兩命題的結(jié)論；（2）聯(lián)結(jié)了兩命題的條件．

正確的答案是：

（1）p或q：方程（x-1）（x-2）=0的根是x=1或方程（x-1）（x-2）=0的根是x=2．

（2）p且q：四條邊相等的四邊形是正方形且四個(gè)角相等的四邊形是正方形．

這兩個(gè)命題都是假命題．

但是，在不影響命題真值的情況下，又可省略第二個(gè)命題的主語(yǔ)，這是符合語(yǔ)言習(xí)慣的．

例2已知p：菱形的對(duì)角線互相平分；

q：菱形的對(duì)角線互相垂直，

寫(xiě)出“p且q”．

解：p且q：菱形的對(duì)角線互相平分且（菱形的對(duì)角線互相）垂直．

這個(gè)命題中括號(hào)內(nèi)的部分可以省略．

文［1］中“4的平方根是2，或4的平方根是-2”，就不能簡(jiǎn)寫(xiě)成“4的平方根是2或-2”．

3關(guān)于“非”的含義

“非”的含義有下列四條：

3．1“非p”只否定p的結(jié)論

“非”就是否定，所以“非p”也叫做命題p的否定，但“非p”之“非”只否定命題的結(jié)論，不能否定命題的條件，也不能將條件和結(jié)論都否定，這也是“非p”與否命題的區(qū)別．所以欲寫(xiě)“非p”應(yīng)先搞清p的條件與結(jié)論．

例3p：有些質(zhì)數(shù)是奇數(shù)．寫(xiě)出“非p”．

錯(cuò)解：有些質(zhì)數(shù)不是奇數(shù)．

分析：因?yàn)閜是真命題，所以“非p”應(yīng)為假命題，上述命題不假，故答案錯(cuò)．錯(cuò)誤的原因是對(duì)p的條件與結(jié)論沒(méi)有搞清楚．這個(gè)命題的條件是“質(zhì)數(shù)”，結(jié)論是“有些是奇數(shù)”，正確的解法：先將p寫(xiě)成等價(jià)形式，質(zhì)數(shù)有些是奇數(shù)，“非p”：質(zhì)數(shù)無(wú)奇數(shù)．

不是用“不”否定“是”，而是用“無(wú)”否定“有些是”．

例4p：方程x2－5x＋6＝0有兩個(gè)相等的實(shí)根．寫(xiě)出“非p”

錯(cuò)解：方程x2－5x＋6＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)根．

分析：命題p的條件是“方程x2－5x＋6＝0”，結(jié)論是“有兩個(gè)相等的實(shí)根”，所以“非p”應(yīng)否定“有”，而不能否定“相等”，所以“非p”應(yīng)為：方程x2－5x＋6＝0沒(méi)有兩個(gè)相等的實(shí)根．

3．2p與“非p”真假必須相反

例5寫(xiě)出例1（2）中命題p的否定“非p”．

錯(cuò)解：非p：四條邊都相等的四邊形不是正方形．

因?yàn)閜是假命題，“非p”必須是真命題，而上述命題也是假命題，所以上述命題不是“非p”．

正確答案為

“非p”：四條邊都相等的四邊形不都是正方形．

“是”的否定有時(shí)為“不是”，有時(shí)為“不都是”，要視“是”的含義而定，此例的“是”，其含義是“都是”，故其否定為“不都是”．

3．3“非p”必須包含p的所有對(duì)立面轉(zhuǎn)邏輯聯(lián)結(jié)詞“非”相當(dāng)于集合在全集中的補(bǔ)集．假定p與“非p”的結(jié)論所確立的集合分別是A、B，則A、B必須滿足A∪B=U（全集），A∩B=Ф．“非p”的結(jié)論必須包含p的結(jié)論的所有對(duì)立面．這一點(diǎn)如果不注意，使用反證法證題時(shí)就可能發(fā)生錯(cuò)誤．因?yàn)榉醋C法的理論依據(jù)是欲證p為真，可證“非p”為假，如果“非p”不包括p的所有對(duì)立面，反證法就站不住腳了．

例6p：方程x2－5x＋6＝0有兩個(gè)相等的實(shí)根．寫(xiě)出“非p”．（與例4相同）

正像寫(xiě)一個(gè)集合的補(bǔ)集必須先搞清全集一樣，這個(gè)題目也面臨類似的問(wèn)題．因?yàn)閷?shí)系數(shù)一元二次方程的解的情況有三種，任何一種的否定都應(yīng)該包含另外的兩種，所以p的對(duì)立面是“方程x2－5x＋6＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)根或無(wú)實(shí)根”．但“非p”不能這樣寫(xiě)，而寫(xiě)成等價(jià)形式：方程x2－5x＋6＝0沒(méi)有兩個(gè)相等的實(shí)根．

3．4“非p”必須使用否定詞語(yǔ)

寫(xiě)“非p”時(shí)還要注意，必須使用否定詞語(yǔ)對(duì)正面敘述的詞語(yǔ)進(jìn)行否定．

例7p：方程x2－5x＋6＝0有實(shí)根．寫(xiě)出“非p”．

錯(cuò)解：方程x2－5x＋6＝0有虛根．

盡管“虛”是對(duì)“實(shí)”的否定，但“虛”不是否定詞，“方程x2－5x＋6＝0有虛根”仍是簡(jiǎn)單命題，正確答案為：方程x2－5x＋6＝0無(wú)實(shí)根．

4給定一個(gè)復(fù)合命題，寫(xiě)出構(gòu)成它的簡(jiǎn)單命題時(shí)應(yīng)注意的問(wèn)題

例8指出構(gòu)成下列復(fù)合命題的簡(jiǎn)單命題：

（1）實(shí)數(shù)的平方是正數(shù)或0；

（2）4的平方根是2或-2；

（3）方程（x－1）（x－2）＝0的根為1或2；

（4）四邊相等且四個(gè)角相等的四邊形是正方形.

解：（1）p：實(shí)數(shù)的平方可能是正數(shù)；

q：實(shí)數(shù)的平方可能是0．

注：因?yàn)閷?shí)數(shù)的平方只有正數(shù)或0兩種情況，所以由p、q構(gòu)成的“p或q”中，“可能”一詞就可省略而成為“實(shí)數(shù)的平方是正數(shù)或0”，文［1］中認(rèn)為它是簡(jiǎn)單命題，這種認(rèn)識(shí)是錯(cuò)誤的．同樣，后三個(gè)小題的答案為：

（2）p：4的平方根可能是2；

q：4的平方根可能是-2

（3）p：方程（x-1）（x-2）=0的一個(gè)根是1；

q：方程（x-1）（x-2）=0的一個(gè)根是2．

（4）p：四邊相等的四邊形可能是正方形；

q：四個(gè)角相等的四邊形可能是正方形．

在由p、q寫(xiě)“p或q”、“p且q”時(shí)，有些詞語(yǔ)可以省略，反過(guò)來(lái)由“p或q”、“p且q”寫(xiě)p、q時(shí)，省略的詞語(yǔ)必須補(bǔ)上．而由“非p”寫(xiě)p時(shí)，必須先搞清“非p”的條件和結(jié)論．

結(jié)束語(yǔ)：命題的結(jié)構(gòu)問(wèn)題是很復(fù)雜的，中學(xué)只研究結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單的命題，本文的一些觀點(diǎn)只是筆者的一點(diǎn)教學(xué)體會(huì)，不當(dāng)之處，歡迎同行專家指正．

參考文獻(xiàn)

1關(guān)于命題的困惑，中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2002，1～2合期

2能力培養(yǎng)與測(cè)試，高一數(shù)學(xué)第一冊(cè)（上）北京：人民教育出版社