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摘要：概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)是數(shù)學(xué)類(lèi)以及非數(shù)學(xué)類(lèi)專(zhuān)業(yè)的重要基礎(chǔ)課程之一。針對(duì)大班教學(xué)的精細(xì)化管理、課下的QQ交流群+課下課中的雨課堂、數(shù)學(xué)史以及案例的引入，增強(qiáng)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，提高了學(xué)生的學(xué)習(xí)效率；在知識(shí)的應(yīng)用中，點(diǎn)燃學(xué)習(xí)熱情，激發(fā)創(chuàng)新活力。另外在雨課堂的使用中也遇到一些問(wèn)題，解決的辦法尚在探索中。

關(guān)鍵詞：概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)；大班教學(xué)；QQ+雨課堂；數(shù)學(xué)史；案例

概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)是理、工、經(jīng)管各專(zhuān)業(yè)重要的基礎(chǔ)課之一。其內(nèi)容豐富，實(shí)用性強(qiáng)。它是專(zhuān)門(mén)研究和探索客觀世界中隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性的一門(mén)學(xué)科，是數(shù)學(xué)的一個(gè)重要分支，其理論與方法已廣泛應(yīng)用于工業(yè)、農(nóng)業(yè)、軍事和科學(xué)技術(shù)中。在教學(xué)的過(guò)程中，對(duì)大班的管理、交流與互動(dòng)相當(dāng)有難度；學(xué)習(xí)該門(mén)課程既要在設(shè)定的數(shù)學(xué)程度上堅(jiān)持嚴(yán)謹(jǐn)性，又要兼顧對(duì)概念的直觀理解，在一定程度上靈活運(yùn)用。鑒于該門(mén)課的特點(diǎn)以及大班教學(xué)中遇到的困難，現(xiàn)提出如下改革舉措。

1概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教學(xué)改革舉措

1.1大班的精細(xì)化管理

工科院校的概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課程一般都是大班教學(xué)，一個(gè)大班一般有180人左右。一個(gè)教師面對(duì)這么多的學(xué)生，無(wú)論是書(shū)面作業(yè)的批改還是一對(duì)一的交流，無(wú)疑都是困難的。為了解決這個(gè)問(wèn)題，筆者采用精細(xì)化管理。1.1.1書(shū)面作業(yè)的批改。為了交流、學(xué)習(xí)的方便，筆者把學(xué)生以宿舍為單位分成幾十個(gè)學(xué)習(xí)小組，每個(gè)學(xué)習(xí)小組一般2-4位學(xué)生。筆者每次課開(kāi)始的10min左右，都是對(duì)前次課后作業(yè)的反饋、有針對(duì)地講解。為了提高大家的注意力、新鮮感和責(zé)任感，每位學(xué)生都是監(jiān)督員、評(píng)判員，手握紅筆對(duì)小組其他成員的作業(yè)進(jìn)行評(píng)判。在評(píng)判中也增進(jìn)了相互了解、交流和友誼。一般如果時(shí)間充足，每次課會(huì)隨機(jī)邀請(qǐng)1-2位學(xué)生走上講臺(tái)跟大家交流，這樣既是對(duì)大家課下學(xué)習(xí)情況的督促和檢查，同時(shí)也鍛煉了學(xué)生的口頭表達(dá)能力，另外，學(xué)生的講解，也很容易引起大家的共鳴。為了促進(jìn)大家認(rèn)真完成，每章都會(huì)收上來(lái)一一檢查，根據(jù)作業(yè)的正確率、書(shū)寫(xiě)以及互批改正的落實(shí)情況進(jìn)行分級(jí)，作為平時(shí)成績(jī)?cè)u(píng)分的依據(jù)之一。1.1.2問(wèn)題的交流。學(xué)生們?cè)趯W(xué)習(xí)中不可避免地會(huì)遇到各式各樣的問(wèn)題，為了得到及時(shí)的解決，筆者成立了學(xué)習(xí)互助小組，小組成員可以是好朋友，可以是同宿舍的舍友，當(dāng)然有時(shí)候有的學(xué)生能力較強(qiáng)、樂(lè)于奉獻(xiàn)，筆者就將需要幫助的學(xué)生分給他，結(jié)成對(duì)子，大家一起學(xué)習(xí)進(jìn)步。這樣大家很團(tuán)結(jié)，學(xué)習(xí)熱情也很高。

1.2QQ群+雨課堂

為了加強(qiáng)教師對(duì)大班學(xué)生的有效管理、溝通與交流，筆者建立了班級(jí)QQ群；為了對(duì)大班學(xué)生學(xué)習(xí)過(guò)程進(jìn)行量化和監(jiān)督，筆者引入了雨課堂。1.2.1建立班級(jí)QQ群。面對(duì)180人左右的大班，在QQ群發(fā)資料給大家，無(wú)疑是很方便的，學(xué)生下載下來(lái)，沒(méi)有網(wǎng)絡(luò)的時(shí)候也可以閱讀。學(xué)生有什么問(wèn)題可以在群里問(wèn)，有些問(wèn)題學(xué)生們可以相互解答，別的學(xué)生也可學(xué)習(xí)，實(shí)現(xiàn)了共享。教師把要討論的問(wèn)題在群里拋給大家，學(xué)生們踴躍討論，在網(wǎng)上討論問(wèn)題克服了面對(duì)面的靦腆，大家暢所欲言很積極。學(xué)生們有事情也可以發(fā)私信給教師，能得到教師的及時(shí)回復(fù)?？傊?，QQ群讓一個(gè)個(gè)個(gè)體通過(guò)某種方式凝聚在一起，教師發(fā)出一個(gè)聲音大家無(wú)論何時(shí)何處都能聽(tīng)到并及時(shí)做出回應(yīng)。QQ群讓大的學(xué)習(xí)集體有效的溝通、交流不僅成為可能而且成為現(xiàn)實(shí)。1.2.2雨課堂。筆者在2017年開(kāi)始將它用于大班的簽到。以前只能通過(guò)點(diǎn)名了解大家的考勤情況，對(duì)于一個(gè)近200人的大班而言，每次課都點(diǎn)名很難辦到，只能隨機(jī)點(diǎn)名，以督促警示大家嚴(yán)格要求自己。用雨課堂簽到，方便快捷，可以得到每位學(xué)生到課數(shù)據(jù)，包括遲到、曠課，不過(guò)目前還不能記錄是否早退。2020年春，一場(chǎng)突如其來(lái)的新冠疫情，全民不得不開(kāi)展在線教育，筆者選擇了雨課堂。雨課堂的彈幕功能，使得教師隨時(shí)了解學(xué)生的想法，及時(shí)調(diào)整教學(xué)內(nèi)容，這個(gè)互動(dòng)效果很好，學(xué)生們課堂參與的熱情很高。其次筆者每次課后都會(huì)制作下次課的課前小測(cè)，根據(jù)本次課的內(nèi)容把要掌握的重點(diǎn)、難點(diǎn)、易模糊的概念以及要擴(kuò)展的知識(shí)點(diǎn)通過(guò)小測(cè)的形式發(fā)給大家，每次小測(cè)中還會(huì)有一個(gè)或兩個(gè)下次課要學(xué)習(xí)的內(nèi)容的題目，以提醒大家預(yù)習(xí)準(zhǔn)備功課。每次課筆者會(huì)根據(jù)雨課堂提供的每個(gè)題的正確率來(lái)挑選題目進(jìn)行講解。小測(cè)雖然讓大家課下辛苦一些，但是大家的收獲也是滿滿的，所以學(xué)生們每次都私信我，很感謝小測(cè)這種形式，希望可以沿襲下去，師弟師妹們也可以受益。再就是雨課堂的課件課堂回放功能，這是面授無(wú)法比擬的，極大方便了學(xué)生們的復(fù)習(xí)和鞏固。還有為了使得課堂能經(jīng)得起反復(fù)回看、推敲、有回看的價(jià)值，要求教師在備課的時(shí)候要下大功夫，課堂的教學(xué)水平盡可能達(dá)到所能及的最高。課堂簽到以及小測(cè)的提交情況的數(shù)據(jù)都可以由雨課堂提供，學(xué)生學(xué)習(xí)過(guò)程的記錄可以作為學(xué)生平時(shí)成績(jī)?cè)u(píng)分的依據(jù)。總之，雨課堂的簽到、小測(cè)、課件回放，方便了教師對(duì)大班學(xué)生學(xué)習(xí)過(guò)程的了解、記錄，使得學(xué)生的學(xué)習(xí)更加高效，課堂互動(dòng)更加及時(shí)、有針對(duì)性。筆者在使用雨課堂時(shí)也遇到一些問(wèn)題，比如學(xué)生在雨課堂注冊(cè)時(shí)，使用的可能不是真實(shí)的姓名，或者學(xué)號(hào)有誤，這些需要筆者一個(gè)個(gè)去對(duì)照，把不合要求的刪除或加入黑名單。再就是小測(cè)的題目，少數(shù)學(xué)生不知道正確答案，為了應(yīng)付考核而隨意選取答案然后提交，這樣再做題次數(shù)上滿足了要求，但是其并未真正進(jìn)行思考。對(duì)于這種情況，為了盡量避免，系統(tǒng)可對(duì)答題時(shí)間進(jìn)行一定的限制，希望雨課堂軟件設(shè)計(jì)者能夠?qū)Υ颂剿饔行Ы鉀Q的方法，或是通過(guò)與其他雨課堂使用者的交流來(lái)解決此類(lèi)問(wèn)題。

1.3將數(shù)學(xué)史融入課堂

與數(shù)學(xué)的其他分支一樣，在公理系統(tǒng)的基礎(chǔ)上發(fā)展起來(lái)的概率論更多地依賴(lài)于邏輯的正確性，而與實(shí)際物理現(xiàn)象的聯(lián)系不是十分緊密。因而不免會(huì)有抽象、枯燥的特點(diǎn)。將數(shù)學(xué)家的軼聞趣事融入課堂，能增加趣味，活躍課堂氣氛。比如可以談一談給出概率論公理化定義的蘇聯(lián)大數(shù)學(xué)家柯?tīng)柲缏宸?。他小時(shí)候就是“別人家的孩子”“百科書(shū)般的存在”，興趣廣泛，除了熱愛(ài)數(shù)學(xué)之外，還喜歡旅行、游泳、詩(shī)歌、歷史等。他的研究幾乎遍及數(shù)學(xué)的所有領(lǐng)域，如射影幾何、數(shù)理統(tǒng)計(jì)、函數(shù)論、拓?fù)鋵W(xué)、逼近論等等，研究數(shù)學(xué)的同時(shí)，還涉獵古建筑、雕塑、繪畫(huà)等人文學(xué)科。在長(zhǎng)達(dá)半個(gè)多世紀(jì)的學(xué)術(shù)生涯里，柯?tīng)柲缏宸虿粩嗵岢鲂聠?wèn)題、構(gòu)建新思想、創(chuàng)造新方法，在數(shù)學(xué)舞臺(tái)上保持著歷久不衰的生命力，這也得益于他健康的體魄。他酷愛(ài)體育鍛煉，被人稱(chēng)作“戶外數(shù)學(xué)家”。他的許多奇妙的數(shù)學(xué)思想都是在林間漫步、湖中暢游、山坡滑雪時(shí)候誕生的。就是這樣一位讓人頂禮膜拜的數(shù)學(xué)家，也有讓人匪夷所思的一面。曾經(jīng)在學(xué)術(shù)會(huì)議上，跟數(shù)學(xué)家Luzin意見(jiàn)不合，居然大打出手。實(shí)踐證明，課堂中引入數(shù)學(xué)史，學(xué)生能更好地走近數(shù)學(xué)家、理解其數(shù)學(xué)思想，進(jìn)而受到啟發(fā)，豐富自己的知識(shí)體系。

1.4引入實(shí)際的案例

要讓學(xué)生很好地理解某個(gè)概念或者公式，教師引入實(shí)際的案例，往往能達(dá)到很好的效果。比如在講述概率中利用事情發(fā)生的可能性大小做決策時(shí)，可以引入如下案例：2000年悉尼奧運(yùn)會(huì)開(kāi)幕前，氣象學(xué)家對(duì)兩個(gè)開(kāi)幕候選日“9月10日”和“9月15日”的100年氣象學(xué)資料分析發(fā)現(xiàn)，“9月10日”的下雨天數(shù)為86天，“9月15日”的下雨天數(shù)為22天。即“9月10日”和“9月15日”的下雨頻率分別為86%和22%，因此最后決定開(kāi)幕日定為“9月15日”。另外一個(gè)案例為1939年9月英國(guó)對(duì)德宣戰(zhàn)后，英國(guó)為了擺脫德國(guó)對(duì)潛艇的襲擊，艦船開(kāi)始以單獨(dú)行動(dòng)為主，以減小目標(biāo)被暴露的可能性。但經(jīng)過(guò)一段實(shí)戰(zhàn)的檢驗(yàn)，這種單獨(dú)行動(dòng)的方式不僅沒(méi)能減少損失，反而由于艦船失去了相互掩護(hù)，增大了被德國(guó)潛艇乘隙而入各個(gè)擊破的機(jī)會(huì)。到了1940年，英國(guó)汲取了前一段反潛作戰(zhàn)的教訓(xùn)，開(kāi)始廣泛采用小型護(hù)航船隊(duì)的方式進(jìn)行活動(dòng)，這樣一來(lái)，德國(guó)潛艇不僅越來(lái)越難找到單艘商船和軍艦進(jìn)行襲擊，而且自身還遭受了一定的損失。為此，1940年，上半年英國(guó)海上交通出現(xiàn)了一段暫時(shí)的寧?kù)o。但是到了下半年，情況又發(fā)生了很大的變化。德國(guó)潛艇摸到了英國(guó)船隊(duì)的活動(dòng)規(guī)律，調(diào)整了戰(zhàn)法，使英國(guó)的小型護(hù)航船隊(duì)又開(kāi)始受到德國(guó)潛艇群的圍殲。為了擺脫困境，首相丘吉爾招賢覓策，英國(guó)的一名數(shù)學(xué)家挺身而出，為最終打破德國(guó)潛艇封鎖戰(zhàn)提供了一條十分有效的對(duì)策。這位數(shù)學(xué)家運(yùn)用概率論的方法，經(jīng)過(guò)全面的分析后提出：船隊(duì)能否被襲擊，取決于航行中是否與敵相遇，而與敵相遇屬于可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件。其規(guī)律是：在同等數(shù)量船只的情況下，編隊(duì)的規(guī)模越小，其批次就會(huì)越多，而批次越多，航行中與對(duì)方潛艇相遇的機(jī)會(huì)就會(huì)越大。反之，相遇的機(jī)會(huì)就會(huì)越小。再者，德國(guó)潛艇的數(shù)量與運(yùn)輸船隊(duì)相比總是少數(shù)，它所攜帶的彈藥更是有限。每次相遇戰(zhàn)中，英國(guó)運(yùn)輸船隊(duì)被擊沉的船只數(shù)量限于德國(guó)潛艇的作戰(zhàn)能力和作戰(zhàn)效果。這就說(shuō)明，運(yùn)輸船隊(duì)的規(guī)模越大，數(shù)量越多，每艘船只被擊沉的概率就會(huì)越小。因而，英國(guó)采取了集中航渡和集中護(hù)航的方式。實(shí)戰(zhàn)檢驗(yàn)充分證明了這位數(shù)學(xué)家提出的概率論法則很有效果。丘吉爾利用科學(xué)家打贏了一場(chǎng)海戰(zhàn)，概率論戰(zhàn)勝了潛艇戰(zhàn)，成為世界海戰(zhàn)史上一段美談。自此，大規(guī)模護(hù)航船隊(duì)的方式成為一條基本戰(zhàn)法沿用至今。實(shí)踐表明，引入案例教學(xué)，不僅可以調(diào)節(jié)課堂的氛圍，而且有利于學(xué)生加深對(duì)某概念的理解。

1.5在應(yīng)用中，點(diǎn)燃學(xué)習(xí)熱情，激發(fā)創(chuàng)新活力

比如講貝葉斯定理時(shí)可以簡(jiǎn)述它在人工智能中的應(yīng)用。貝葉斯定理源于18世紀(jì)英國(guó)數(shù)學(xué)家托馬斯·貝葉斯生前為解決一個(gè)“逆向概率”問(wèn)題而寫(xiě)的一篇論文。所謂“逆向概率”，就是說(shuō)，當(dāng)不能準(zhǔn)確知悉一個(gè)事物的本質(zhì)時(shí)，可以依靠經(jīng)驗(yàn)去判斷其本質(zhì)屬性。貝葉斯定理建立在主觀判斷的基礎(chǔ)上，可以先估計(jì)一個(gè)值，然后根據(jù)客觀事實(shí)不斷修正。這個(gè)研究看起來(lái)平淡無(wú)奇，論文直到貝葉斯死后的第二年才由他的一位朋友在1763年發(fā)表。那么貝葉斯定理在人工智能領(lǐng)域又是如何體現(xiàn)它的強(qiáng)大威力的呢？自然語(yǔ)言處理是人工智能諸多應(yīng)用中的一類(lèi)，即讓計(jì)算機(jī)代替人來(lái)翻譯語(yǔ)言、識(shí)別語(yǔ)音、認(rèn)識(shí)文字、進(jìn)行海量文獻(xiàn)的自動(dòng)檢索。但是，人類(lèi)的語(yǔ)言可以說(shuō)是信息里最復(fù)雜最動(dòng)態(tài)的一部分。人們最初想到的方法是讓計(jì)算機(jī)學(xué)習(xí)人類(lèi)的語(yǔ)法、分析語(yǔ)句等等。可是，幾十年過(guò)去了，基于這個(gè)語(yǔ)法規(guī)則的方法幾乎毫無(wú)突破。率先成功用數(shù)學(xué)方法解決自然語(yǔ)言處理的是賈里尼克。他認(rèn)為語(yǔ)音識(shí)別就是根據(jù)接收到的一個(gè)信號(hào)序列推測(cè)說(shuō)話人實(shí)際發(fā)出的信號(hào)序列和要表達(dá)的意思?；诮o定文字出現(xiàn)這條語(yǔ)音的條件概率建立聲學(xué)模型；對(duì)出現(xiàn)該條文字序列的先驗(yàn)概率建立語(yǔ)言模型，隨著大量數(shù)據(jù)輸入模型的迭代，貝葉斯定理的威力日益凸顯。語(yǔ)音識(shí)別本質(zhì)上就是找到概率最大的文字序列，一旦出現(xiàn)條件概率，貝葉斯定理總能挺身而出。

2結(jié)語(yǔ)

為了解決工科大班教學(xué)所遇到的管理、交流的難題，筆者對(duì)大班采取精細(xì)化管理，并用“QQ群+雨課堂”加以輔助。為了提高學(xué)生學(xué)習(xí)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的興趣和學(xué)習(xí)效率，筆者將“數(shù)學(xué)史”和“實(shí)際案例”引入課堂。應(yīng)用概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)知識(shí)解決當(dāng)代的問(wèn)題，更是體現(xiàn)出這門(mén)學(xué)科不是空頭理論，這拉近了學(xué)生與這門(mén)學(xué)科的距離，點(diǎn)燃了學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情。教學(xué)實(shí)踐表明，上述方法可以解決大班教學(xué)遇到的部分難題，可以提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和學(xué)習(xí)效率，可以激發(fā)學(xué)生學(xué)以致用、用中謀創(chuàng)的熱情。

作者:王琳 孫琳 單位:廣東工業(yè)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院