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一、幾何的教育價(jià)值

如果說,數(shù)學(xué)是各國中小學(xué)課程中最為統(tǒng)一的一門學(xué)科的話,那么,幾何就是其中最不統(tǒng)一的一部分,其原因就在于幾何的多樣性。幾何的多樣性首先反映在它的特征上,其中包括作為空間科學(xué)的幾何;作為概念和過程的直觀表示的幾何;作為數(shù)學(xué)理論與數(shù)學(xué)模型源泉的結(jié)合點(diǎn)的幾何;作為思維和理解的一種途徑的幾何;作為演繹推理教學(xué)范例的幾何;作為應(yīng)用的工具的幾何等。其次反映在它的活動(dòng)方式上。幾何活動(dòng)一般涉及三種認(rèn)知過程:視覺、構(gòu)造、推理,每一種過程通常又涉及多個(gè)方面,如從視覺上看,有維度上的不同,結(jié)構(gòu)上的差異,背景上的區(qū)分,位置上的變化;從構(gòu)造上看,有實(shí)驗(yàn)性的操作,直觀的構(gòu)造,概念的形成,理論的構(gòu)建;從推理上看,包括直覺的推理,歸納的推理,非嚴(yán)格的自然推理,嚴(yán)密的演繹推理。正因?yàn)槿绱?幾何既可以作為不同水平的創(chuàng)造活動(dòng)的源泉,也可以成為訓(xùn)練各種推理能力的場所;既可以作為日常生活中所必需的基礎(chǔ)知識(shí),也可以成為解決各種問題的工具。此外還反映在課程處理的途徑上。從認(rèn)知過程看,有操作的、直覺的、演繹的或者分析的幾何;從課程結(jié)構(gòu)上看,有靜止的與動(dòng)態(tài)的幾何;從課程形式上看,又可以分為實(shí)驗(yàn)幾何、歐氏幾何、仿射幾何、解析幾何、拓?fù)鋷缀?、非歐幾何等。幾何的多樣性帶來了幾何眾多的教育價(jià)值。從各國的研究情況看,幾何的教育價(jià)值主要表現(xiàn)在以下幾個(gè)方面。

1.幾何有利于形成科學(xué)世界觀和理性精神現(xiàn)代社會(huì)的一個(gè)顯著特征是,科學(xué)已經(jīng)成為社會(huì)的一個(gè)直接的生產(chǎn)力。因此,學(xué)校教育的一個(gè)重要方面是讓學(xué)生熟悉如何構(gòu)造科學(xué)理論的一個(gè)具體實(shí)例,熟悉科學(xué)的方法。在這點(diǎn)上,作為世界文明史上的一個(gè)科學(xué)系統(tǒng),幾何是極好的模型,因?yàn)閹缀螐暮唵味宄幕A(chǔ)出發(fā),運(yùn)用推理的方法(以若干明顯的步驟),有順序地導(dǎo)出一系列重要的推斷,這些推斷不僅有著廣泛的應(yīng)用領(lǐng)域,而且使人在這變幻莫測的世界上體驗(yàn)到數(shù)學(xué)的確定性。正如愛因斯坦所說:“世界第一次目睹了一個(gè)邏輯體系的奇跡。這個(gè)邏輯體系如此精密地一步一步推進(jìn),以致它的每一個(gè)命題都是絕對(duì)不容置疑的——我這里說的是歐幾里德幾何。推理的這種可贊嘆的勝利,使人類的理智獲得了取得以后成就所必需的信心?！币虼?學(xué)校中的幾何教學(xué)有助于學(xué)生科學(xué)世界觀的形成。俄羅斯(包括東歐的一些國家)的幾何課程就比較重視這一點(diǎn)。相比之下,西方所追求的理性精神則具有更為廣泛的意義,它不僅包括方法論的成分(如科學(xué)的世界觀),也包括情感方面的因素(如科學(xué)的態(tài)度)。但即便如此,幾何也仍然是一個(gè)很好素材。而且,這種意義上的拓廣也有利于擺脫歐氏邏輯體系和演繹推理(特別是傳統(tǒng)三段論)的框框。

2.幾何有助于培養(yǎng)良好的思維習(xí)慣波利亞說過,數(shù)學(xué)教育的意義并不是要教會(huì)學(xué)生去使用數(shù)學(xué)知識(shí),而是要培養(yǎng)學(xué)生的思維習(xí)慣,一種數(shù)學(xué)文化修養(yǎng)。從這層意義上講,幾何是一種有效的訓(xùn)練手段。幾何材料具有深刻的邏輯結(jié)構(gòu)、豐富的直觀背景和鮮明的認(rèn)知層次。通過幾何的學(xué)習(xí)可以使學(xué)生學(xué)會(huì)利用不同途徑去解決問題,對(duì)幾何結(jié)果形成合理的猜想,對(duì)數(shù)量結(jié)論進(jìn)行快速的估計(jì),為解決具體問題提供直觀的模型,進(jìn)而養(yǎng)成推理嚴(yán)謹(jǐn)、言必有據(jù)和條理化的思維習(xí)慣。

3.幾何有助于發(fā)展演繹推理和邏輯思維能力這一點(diǎn),在歐氏幾何兩千多年的歷史中已經(jīng)得到了充分的肯定。正如英國學(xué)者費(fèi)克爾(D.S.Fielker)所說:“歐幾里德的那些定理之所以重要,不是因?yàn)樗怯杏玫?能夠應(yīng)用的或它們本身的價(jià)值,而是因?yàn)樗麄兪茄堇[推理系統(tǒng)的自然發(fā)展的一部分?！碑?dāng)然,對(duì)于歐氏幾何在發(fā)展演繹推理和邏輯思維能力中的作用,我們還是應(yīng)該辨證地看待。首先,幾何在培養(yǎng)邏輯思維和演繹推理能力方面仍有著重要的作用,這是毫無疑問的。因?yàn)閹缀我髮?duì)思維進(jìn)行系統(tǒng)的、較為嚴(yán)格的訓(xùn)練,這有利于對(duì)演繹推理有較深入的理解。當(dāng)學(xué)生掌握了定義的作用并且學(xué)習(xí)只運(yùn)用這些定義而不運(yùn)用他的直覺知識(shí)時(shí)(這些知識(shí)常常凌駕于具有定義所呈現(xiàn)的性質(zhì)的對(duì)象上),當(dāng)他不得不謹(jǐn)慎地區(qū)分直覺的途徑、直覺的真實(shí)性和證據(jù)與推理的方法時(shí),他就開始理解什么是論證。正是在幾何中(而不是在代數(shù)中)產(chǎn)生的這種直覺和形式化的十分特殊的聯(lián)系,使得幾何仍然成為啟發(fā)邏輯思維和培養(yǎng)演繹推理能力的最有效的途徑。也正是因?yàn)檫@個(gè)緣故,幾何不能被當(dāng)作一個(gè)完全成熟的精確模型,而應(yīng)該作為一種訓(xùn)練工具,使學(xué)生通過訓(xùn)練掌握邏輯思維和演繹推理的基本方法:如發(fā)現(xiàn)解決問題的“好”的策略;從特殊情形探索出一般結(jié)果;尋找命題的不同證明;逐步地形成理論等等。其次,在初級(jí)階段,幾何作為一種訓(xùn)練邏輯思維與演繹推理的工具,有它的長處,它的內(nèi)容的直觀性、難度的層次性、真假的實(shí)驗(yàn)性以及推理過程的可預(yù)見性,使它成為訓(xùn)練邏輯思維與演繹推理的理想材料。但是,從本質(zhì)上來說,邏輯思維與演繹推理不能依賴于直觀和直覺,因此,要使學(xué)生的邏輯思維水平達(dá)到較高層次,純符號(hào)推理的代數(shù)證明應(yīng)該引起足夠的重視。此外,歐氏綜合幾何也不能被認(rèn)為是中學(xué)中演繹方法的嚴(yán)謹(jǐn)?shù)暮瓦壿嫷奈┮荒Ｐ汀Ｒ延幸恍W(xué)者提出用邏輯學(xué)或數(shù)學(xué)的其他材料(如組合數(shù)學(xué)等)來代替幾何的教育功能,但I(xiàn)CMI的研究表明,到目前為止,還缺乏令人信服的證據(jù)和成功的實(shí)驗(yàn)。而相比之下,幾何材料則經(jīng)歷了上千年的千錘百煉。

4.幾何是一種理解、描述和聯(lián)系現(xiàn)實(shí)空間的工具按照ICMI的觀點(diǎn),“幾何作為一種理解、描述和聯(lián)系現(xiàn)實(shí)空間的工具,也許是數(shù)學(xué)中最直觀、具體和真實(shí)的部分”。當(dāng)數(shù)學(xué)的其他分支經(jīng)過多次的現(xiàn)代處理而漸漸遠(yuǎn)離其生活源泉的時(shí)候,幾何(特別是歐氏綜合幾何)仍保持著與現(xiàn)實(shí)空間的直接的豐富的聯(lián)系。事實(shí)上,初等歐氏幾何本身就是對(duì)現(xiàn)實(shí)空間質(zhì)樸地加以數(shù)學(xué)化和直接應(yīng)用的結(jié)果。幾何中幾乎所有概念都是在對(duì)物理空間的具體概念進(jìn)行組織的過程中發(fā)展起來的。這種局部組織對(duì)人類的日?；顒?dòng)仍有重要的意義。學(xué)生在他的一生中將面對(duì)具體的對(duì)象、具體的關(guān)系、具體的變換,它們可以分別形象地表現(xiàn)為幾何的對(duì)象、幾何的關(guān)系、幾何的變換。通過這種生動(dòng)的類比,學(xué)生能夠建立實(shí)際情況的幾何模型,從而用概括化的數(shù)學(xué)方法去解決問題。

5.幾何能為各種水平的創(chuàng)造活動(dòng)提供豐富的素材首先,幾何能夠?yàn)閷W(xué)生的個(gè)體活動(dòng)提供豐富多采的問題和練習(xí)。可以說,沒有哪一門學(xué)科的練習(xí)題能像幾何習(xí)題這樣,從教育性和科學(xué)性兩方面都經(jīng)過了千錘百煉,從而形成了許多突出的優(yōu)點(diǎn),如幾何題的綜合性便于學(xué)生在研究時(shí)能夠借助于觀察、實(shí)驗(yàn)、類比、直覺和推理等多種手段;幾何題的層次性使得不同能力水平的學(xué)生都能從中得到益處;幾何題的啟發(fā)性可以使學(xué)生建立廣泛的聯(lián)系,并把幾何應(yīng)用于更多的領(lǐng)域;而幾何題的系統(tǒng)化則有利于學(xué)生長期地有計(jì)劃地進(jìn)行訓(xùn)練。其次,幾何活動(dòng)常常包含創(chuàng)造活動(dòng)的各個(gè)方面,從構(gòu)造猜想、表述假設(shè)、提供證明、發(fā)現(xiàn)特例和反例,到最后形成理論,這些過程在各種水平的幾何活動(dòng)中都可以被發(fā)現(xiàn)。許多數(shù)學(xué)家都認(rèn)為,雖然古典幾何作為一門學(xué)科來說已經(jīng)死亡,但各種水平的幾何活動(dòng)仍然是創(chuàng)造力的取之不盡的源泉。此外,創(chuàng)造活動(dòng)的一個(gè)重要因素就是直覺。一方面幾何直覺在數(shù)學(xué)活動(dòng)中常常起著關(guān)鍵的作用,代數(shù)的分析中出現(xiàn)的眾多的幾何術(shù)語表明:在某種意義上,幾何的直覺已經(jīng)滲透到一切數(shù)學(xué)領(lǐng)域中,甚至在那些看來幾何是無所作為的領(lǐng)域內(nèi),幾何直覺仍然保持有強(qiáng)盛的生命力,其原因就在于幾何直覺所能啟示的東西是重要的,可接近的和有趣的,并且可以警告我們不致在問題、思想和方法的廣闊沙漠中迷失方向。另一方面,隨著計(jì)算機(jī)的普及,幾何語言(如圖形、表格、圖像等)已經(jīng)成為日常生活中一種重要工具,從而也為幾何直覺在其他領(lǐng)域的廣泛遷移提供了條件。正因?yàn)槿绱?弗賴登塔爾認(rèn)為:“把這種從學(xué)生在物理空間的具體活動(dòng)通過抽象、繪圖、作出模型的有限步驟達(dá)到幾何直覺的最高階段的道路清楚地描繪出來是有巨大的教育學(xué)方面的好處的?？梢钥隙ǖ氖?道路是存在的,并且?guī)缀谓虒W(xué)的目標(biāo)之一應(yīng)該是按照使之成為學(xué)生數(shù)學(xué)思維的一種有效工具的道路,延長或改造原始的空間直覺”。

6.幾何可以作為各種抽象數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的模型過去100年的數(shù)學(xué)史表明,今天的幾何既是線性代數(shù)的源泉也是其應(yīng)用的領(lǐng)域。不僅如此,許多重要的數(shù)學(xué)理論(如希爾伯特空間,拓?fù)鋵W(xué),測度論,群論,格論,微分幾何和代數(shù)幾何等)都可以通過幾何的途徑以自然的方式組織起來,或者從幾何模型中抽象出來。這些理論中的每一種都有它本身的幾何面貌,盡管它們中沒有一種在幾何面貌中是完善的。這就是為什么術(shù)語“幾何的”被更多地應(yīng)用于問題情景和模型而不是應(yīng)用于理論的原因。通過幾何的學(xué)習(xí),一方面可以發(fā)展學(xué)生的提煉了的直覺,另一方面也能發(fā)展他們的更形式的思維方法,為進(jìn)一步的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí),理解更為抽象的數(shù)學(xué)概念作好準(zhǔn)備。毫無疑問,幾何的這些教育價(jià)值是其立足中小學(xué)課程之根本,但同時(shí),也正因?yàn)樗兄姸嗟慕逃齼r(jià)值,而給幾何課程目標(biāo)的確定帶來一定的困難。

二、制訂幾何課程目標(biāo)的基本原則

課程目標(biāo)既是確定課程內(nèi)容的準(zhǔn)則,也是選擇課程方法的依據(jù),同時(shí)也是評(píng)價(jià)和評(píng)估的基礎(chǔ)。因此,確定幾何課程的目標(biāo)體系是幾何課程改革的關(guān)鍵。在具體設(shè)計(jì)幾何的課程目標(biāo)時(shí),應(yīng)遵循以下幾條原則。

1.幾何的課程目標(biāo)必須體現(xiàn)幾何的教育價(jià)值

根據(jù)現(xiàn)代數(shù)學(xué)課程理論,幾何課程目標(biāo)的設(shè)計(jì)應(yīng)考慮社會(huì)、文化、教育和數(shù)學(xué)學(xué)科幾個(gè)方面的因素,并在各種因素之間尋找一個(gè)平衡點(diǎn)。但筆者以為,平衡不等于平均。從幾何的特點(diǎn)來看,我們必須在兼顧其他因素的前提下有所側(cè)重,其側(cè)重點(diǎn)就是幾何的教育價(jià)值。千百年來,幾何課程雖歷經(jīng)風(fēng)雨,卻仍然生機(jī)勃勃的一個(gè)根本原因就在于它有著重要的教育價(jià)值,正如法國路易斯•巴斯德大學(xué)的名譽(yù)教授喬治•格萊斯?fàn)?GeorgesGlaeser)所說:“幾何的科學(xué)只有當(dāng)它被看作一種教育的工具時(shí),才呈現(xiàn)出它全部的重要性。”

2.幾何的課程目標(biāo)必須服從于總的教育目標(biāo)

教育是一個(gè)系統(tǒng)工程,幾何作為中小學(xué)教育體系中數(shù)學(xué)學(xué)科的一個(gè)分支,自然不能孤立地去考察其課程目標(biāo)。一般講,幾何的課程目標(biāo)涉及下面三個(gè)層次。第一個(gè)層次是所有課程都必須承擔(dān)的共同的教育任務(wù)。在這方面,目前已有許多重要的論述,如國際21世紀(jì)教育委員會(huì)在報(bào)告《學(xué)習(xí)——內(nèi)在的財(cái)富》中提出的教育的四個(gè)支柱:學(xué)會(huì)認(rèn)知,學(xué)會(huì)做事,學(xué)會(huì)共同生活,以及學(xué)會(huì)生存。再如美國卡內(nèi)基教學(xué)促進(jìn)基金會(huì)前任主席厄爾斯特•波伊爾在《基礎(chǔ)學(xué)?！粋€(gè)學(xué)習(xí)化的社區(qū)大家庭》中提出了教育必須“致力于品格的塑造”的觀點(diǎn),以及品格的七個(gè)主要方面:“誠實(shí)、尊重、負(fù)責(zé)、同情、自律、堅(jiān)韌、奉獻(xiàn)”,并學(xué)會(huì)“有理想地生活”等。這些內(nèi)容構(gòu)成了公民素質(zhì)中的基礎(chǔ)部分,也體現(xiàn)了“以人為本”的現(xiàn)代教育思想。因此,它們處于目標(biāo)體系的最高層次。第二個(gè)層次是數(shù)學(xué)教育在整個(gè)教育體系中所承擔(dān)的特殊的任務(wù),這些任務(wù)是由數(shù)學(xué)學(xué)科本身的特點(diǎn)所決定的,它們構(gòu)成了公民素質(zhì)中的特殊的、然而是必不可少的部分,這也是數(shù)學(xué)學(xué)科賴以生存之根本。在世界各國的教育體制中,數(shù)學(xué)和語言(包括母語和外語)通常都構(gòu)成了基礎(chǔ)教育的核心課程,但是很顯然,數(shù)學(xué)和語言無論在學(xué)科性質(zhì)、理論體系、學(xué)習(xí)方法及教育價(jià)值等方面都有很大的區(qū)別。數(shù)學(xué)在教育體系中的任務(wù)是幫助學(xué)生形成科學(xué)的世界觀,養(yǎng)成良好的思維習(xí)慣,發(fā)展邏輯思維和演繹推理能力,運(yùn)用數(shù)學(xué)解決問題等,這些都是語言(包括其他學(xué)科)所無法替代的。第三個(gè)層次是幾何課程在數(shù)學(xué)教育中所承擔(dān)的特殊任務(wù)。數(shù)學(xué)學(xué)科在選擇課程內(nèi)容時(shí)有三個(gè)依據(jù):一是教育性,二是基礎(chǔ)性,三是實(shí)用性。與數(shù)學(xué)的其他分支相比,在這三點(diǎn)上,幾何課程有其自己的特色。首先,從教育性上,幾何的突出的優(yōu)勢在于它有著眾多的教育價(jià)值。其次,雖然就理論體系來說,傳統(tǒng)的綜合幾何已經(jīng)被排除在現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)之外,但卻構(gòu)成了另一種更為重要的、方法論意義上的基礎(chǔ):幾何概念為抽象的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)提供直觀的模型,幾何方法在所有數(shù)學(xué)領(lǐng)域內(nèi)都有廣泛的作用,幾何直覺是數(shù)學(xué)理解和問題解決的重要工具,幾何的公理系統(tǒng)是組織科學(xué)體系的典范。此外,幾何的實(shí)用性也并非表現(xiàn)在它的知識(shí)的直接應(yīng)用上。的確,很少有學(xué)生在日后的生活中會(huì)運(yùn)用勾股定理、計(jì)算三角形面積、證明兩直線平行,但是,從幾何中得到的空間感、幾何直覺和思維習(xí)慣則能使每一個(gè)人終身受益。上述三個(gè)層次的目標(biāo)不是相互分離的,而具有辨證的關(guān)系。一方面,幾何的教學(xué)目標(biāo)必須從屬于數(shù)學(xué)的教育目標(biāo),而數(shù)學(xué)的教育目標(biāo)又必須從屬于基礎(chǔ)教育階段總的教育目標(biāo);另一方面,一般的教育目標(biāo)往往也必須融入到特殊的教育目標(biāo)中去,并由此得以實(shí)現(xiàn),這樣就形成了一個(gè)完整的、有機(jī)的目標(biāo)體系。

3.幾何課程目標(biāo)必須有適當(dāng)?shù)膮^(qū)分

按照大眾數(shù)學(xué)的觀點(diǎn),數(shù)學(xué)課程應(yīng)該滿足不同學(xué)生的不同需求,并使得所有人都能夠從數(shù)學(xué)教育中得到最大的益處。做到這一點(diǎn)的關(guān)鍵是教育的區(qū)分化。教育的區(qū)分化通常也有三個(gè)層次:第一是大綱的區(qū)分(即課程標(biāo)準(zhǔn)上的區(qū)分),第二是教材的區(qū)分(即一綱多本),第三是教學(xué)的區(qū)分(即課堂教學(xué)中的因材施教)。我國的教學(xué)實(shí)踐和國外的先進(jìn)經(jīng)驗(yàn)都表明,要想真正做到教育的區(qū)分化,就必須從課程標(biāo)準(zhǔn)上進(jìn)行區(qū)分。也就是說,必須根據(jù)學(xué)生的不同需求、不同能力、不同文化傳統(tǒng)和環(huán)境來制訂不同水平的課程目標(biāo)。教育區(qū)分化的另一層含義就是在制訂總的課程目標(biāo)的同時(shí),還應(yīng)該有階段上的區(qū)分。也就是說,課程目標(biāo)的實(shí)施不可能是一步到位的,而是一個(gè)逐步遞進(jìn)、不斷完善的過程。

4.幾何課程目標(biāo)必須以興趣為基礎(chǔ)

數(shù)學(xué)歷來被看作是一門難學(xué)難教的科目,因此,在數(shù)學(xué)教育領(lǐng)域內(nèi),學(xué)習(xí)的動(dòng)機(jī),特別是興趣,是一個(gè)關(guān)鍵的因素。過去,人們僅僅把興趣作為實(shí)現(xiàn)課程目標(biāo)的條件和途徑,這是不夠的,興趣還應(yīng)該成為課程目標(biāo)的一個(gè)組成部分。這里至少有兩個(gè)理由:首先,按照人本主義心理學(xué)的觀點(diǎn),教育的最高目的是培養(yǎng)自我實(shí)現(xiàn)的人,而一個(gè)自我實(shí)現(xiàn)的人應(yīng)該有廣泛的興趣。幾何既然作為基礎(chǔ)教育中的一門重要課程,那么,培養(yǎng)學(xué)生對(duì)幾何的興趣也應(yīng)該是幾何教學(xué)的一個(gè)重要任務(wù)。其次,成功的教育以興趣為先導(dǎo),但人的興趣并不是天生的,興趣的培養(yǎng)和激發(fā)既需要一定的過程,也需要一定的情景和機(jī)會(huì)。數(shù)學(xué)史中有豐富的例子可以說明,幾何是數(shù)學(xué)興趣的一個(gè)主要的激發(fā)點(diǎn)。

5.幾何課程目標(biāo)必須照顧到民族特點(diǎn)

每一個(gè)民族都有自己的特點(diǎn),有優(yōu)勢也有不足,教育的任務(wù)就是要取長補(bǔ)短。這一點(diǎn)在各國的課程設(shè)計(jì)中都有所反映,如德國的幾何課程特別重視創(chuàng)造能力的培養(yǎng);俄羅斯的幾何課程側(cè)重于科學(xué)世界觀的形成;日本的幾何比較強(qiáng)調(diào)邏輯思維;美國的課程標(biāo)準(zhǔn)則更注重學(xué)生的幾何活動(dòng)等等。因此,我國的數(shù)學(xué)教育改革在借鑒國外先進(jìn)經(jīng)驗(yàn)的同時(shí),同樣也應(yīng)該具有自己的特點(diǎn);在發(fā)揮民族優(yōu)勢的同時(shí),也應(yīng)該注意彌補(bǔ)傳統(tǒng)的不足。從這個(gè)角度看,在制訂幾何教學(xué)目標(biāo)時(shí),必須考慮以下兩點(diǎn)。第一個(gè)是我們民族的刻苦好學(xué)精神和以家庭為中心的活動(dòng)方式。雖然我們不再提倡“發(fā)懸梁,錐刺股”的苦行僧精神,但也不能像西方的一些做法那樣,把學(xué)習(xí)蛻化為一種純粹的娛樂活動(dòng)。特別是幾何這樣一門學(xué)科,往往要經(jīng)過嚴(yán)格的訓(xùn)練,有時(shí)這種訓(xùn)練甚至是枯燥的,因此需要更多的吃苦耐勞精神。多年來,我國的幾何教育在國際上始終保持較高的水平就是一個(gè)很好的例證。西方個(gè)性化教育發(fā)展了學(xué)生的創(chuàng)造能力,但導(dǎo)致了基礎(chǔ)教育水平的低下,這也是一個(gè)不爭的事實(shí)。第二個(gè)是民族的弱點(diǎn)。日本東京學(xué)藝大學(xué)教育學(xué)部教授衫山吉茂在其名著《建立在公理方法上的中小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)指導(dǎo)》中就特別強(qiáng)調(diào)幾何的這種教育價(jià)值。他認(rèn)為,東方人缺乏從具體事物中抽出原理的體系,進(jìn)行體系化、抽象化的精神和建立假說進(jìn)行演繹的思維方式,而數(shù)學(xué)思想,特別是公理化思想則能起到很好的彌補(bǔ)作用。如果我們認(rèn)同這種觀點(diǎn)的話,那么,毫無疑問,幾何課程由于其特有的演繹風(fēng)格、明確的概念結(jié)構(gòu)、邏輯的理論體系而應(yīng)該在這方面擔(dān)負(fù)起特殊的任務(wù)。

三、幾何課程目標(biāo)體系的初步設(shè)想

在具體設(shè)計(jì)我國21世紀(jì)中小學(xué)幾何課程目標(biāo)之前,還有以下兩個(gè)問題需要考慮。首先是處理方式問題。在設(shè)計(jì)幾何課程目標(biāo)時(shí),目前大體上有兩種風(fēng)格:一種是“大綱”風(fēng)格,一種是“標(biāo)準(zhǔn)”風(fēng)格。前者的特點(diǎn)是:首先給出幾何教學(xué)的能力目標(biāo),然后以知識(shí)點(diǎn)為線索對(duì)能力目標(biāo)進(jìn)行細(xì)化和落實(shí);后者則以數(shù)學(xué)活動(dòng)為線索,把知識(shí)目標(biāo)和能力目標(biāo)分別劃分為若干個(gè)水平。應(yīng)該說,兩者各有長短,我們要做的就是取長補(bǔ)短。其次是水平劃分問題。在這方面,目前比較流行的理論主要是范希爾(vanHiele)理論和SOLO理論。其中,范希爾在格式塔心理學(xué)和皮亞杰發(fā)生認(rèn)識(shí)論的基礎(chǔ)上,從整體上把幾何思維分為認(rèn)識(shí)、分析、序列、演繹、嚴(yán)密5種水平,并提出了相應(yīng)的教學(xué)策略。而SOLO(StructureoftheObservedLearningOutcome)理論則進(jìn)一步解釋了學(xué)生個(gè)體在幾何方面的理解,它首先定義了5個(gè)模式:感覺、想象、具體符號(hào)、形式、后形式,用來描述相應(yīng)的思維的類型,然后再利用水平的劃分對(duì)模式進(jìn)行定性的分析。根據(jù)這兩個(gè)理論,參考各國的先進(jìn)經(jīng)驗(yàn),并結(jié)合上面的一些論述,筆者認(rèn)為,為了更好地融合知識(shí)目標(biāo)和能力目標(biāo),更準(zhǔn)確地劃分各種水平,就應(yīng)該從以往的線性的目標(biāo)體系,轉(zhuǎn)變?yōu)榱Ⅲw的目標(biāo)體系。為此,筆者設(shè)計(jì)了下面的三維模型(見圖)。當(dāng)然,模型僅僅給出了幾何課程目標(biāo)的基本框架,在具體操作時(shí)還必須考慮下面幾個(gè)問題。

首先是目標(biāo)的細(xì)化。在模型中,每個(gè)維度都有5個(gè)一級(jí)目標(biāo),由此產(chǎn)生125個(gè)二級(jí)子目標(biāo),而這些子目標(biāo)往往又有其具體的含義,或者包含若干特殊的方面,如“圖形”“表示”在“直觀”水平的含義一般指對(duì)圖形的各種畫法(平面圖、直觀圖、透視圖等)的整體的認(rèn)識(shí);而“概念”“推理”在“演繹”水平上則體現(xiàn)為對(duì)概念邏輯體系的把握等等。

其次是年級(jí)的區(qū)分。世界各國在年級(jí)的區(qū)分上通常有兩種做法。一種是按每個(gè)年級(jí)進(jìn)行區(qū)分,如我國的大綱、德國的標(biāo)準(zhǔn)等。另一種是按學(xué)段進(jìn)行區(qū)分,如美國2000年標(biāo)準(zhǔn)草案就劃分為:學(xué)齡前～2年級(jí);3～5年級(jí);6～8年級(jí);9～12年級(jí)四個(gè)學(xué)段。筆者比較贊成后一種做法,因?yàn)閺男睦韺W(xué)角度看,兒童認(rèn)知水平的發(fā)展雖然有一定的階段性,但卻沒有清晰的、一致的界線;而且國外的實(shí)踐也證明,按學(xué)段進(jìn)行區(qū)分,既有利于課程的操作,也有利于教學(xué)的調(diào)整。此外是案例的說明。這是課程目標(biāo)體系的一個(gè)有機(jī)的組成部分,適當(dāng)?shù)陌咐仁菍?duì)課程目標(biāo)的進(jìn)一步刻畫,也有利于教學(xué)中對(duì)目標(biāo)的準(zhǔn)確把握和落實(shí)。最后是教學(xué)的措施。范希爾和SOLO理論的一個(gè)突出的優(yōu)點(diǎn)是將目標(biāo)層次和教學(xué)措施結(jié)合在一起,從而進(jìn)一步明確了在某個(gè)特殊層次內(nèi)的教學(xué)特點(diǎn),以及從一個(gè)層次過渡到另一個(gè)層次所必須具備的條件和相應(yīng)的教學(xué)途徑,這樣就形成了一個(gè)“目標(biāo)為教學(xué)導(dǎo)向,教學(xué)為目標(biāo)服務(wù)”的良好機(jī)制。

幾何就像一面多棱鏡,每一面都能折射出不同的光芒,可以滿足不同人的不同需求,但也難以找到一個(gè)共同的核心。對(duì)此,國際數(shù)學(xué)教育委員會(huì)(ICMI)在其1998年的研究叢書的前言中指出:“在制訂中學(xué)幾何課程時(shí),我們必須作出選擇。歷史上的各種課程試驗(yàn),往往由于偏重于某個(gè)特征而忽略了其他特征,至今沒有一個(gè)成功的例子。特別的經(jīng)驗(yàn)表明,不可能跳過早期的直覺的階段,而把幾何教學(xué)局限于形式的、代數(shù)的特征。當(dāng)然,另一方面也沒有理由忽視形式的幾何,它曾經(jīng),今天仍然,今后也將是嚴(yán)格演繹推理的模型。同樣,也不能忽視它的代數(shù)特征,從根本上看,它是進(jìn)一步學(xué)習(xí)的最有效的途徑。關(guān)鍵是找到平衡點(diǎn),但不可能是單一的途徑?！庇兴鶄?cè)重但尋找平衡,這正是筆者寫作此文的出發(fā)點(diǎn)。