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摘要：數(shù)感是人們?cè)跀?shù)概念擴(kuò)展中而產(chǎn)生的對(duì)數(shù)學(xué)的一種敏感與一般理解。建立數(shù)感有助于提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，有助于學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的自我構(gòu)建，有助于發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)新精神和實(shí)踐能力，有助于提高學(xué)生的文化修養(yǎng)。

關(guān)鍵詞：數(shù)感；涵義；教育價(jià)值

我國(guó)2001年頒發(fā)的《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)稿）》（以下簡(jiǎn)稱《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》）在關(guān)于學(xué)習(xí)內(nèi)容中安排了四個(gè)學(xué)習(xí)領(lǐng)域，指出“課程內(nèi)容的學(xué)習(xí)，強(qiáng)調(diào)學(xué)生的數(shù)學(xué)活動(dòng)，發(fā)展學(xué)生的數(shù)感、符號(hào)感、空間觀念、統(tǒng)計(jì)觀念，以及應(yīng)用意識(shí)與推理能力”，同時(shí)描述了數(shù)感的主要表現(xiàn)。在總體目標(biāo)的具體闡述中，將“建立初步的數(shù)感”列入數(shù)學(xué)思考目標(biāo)的首項(xiàng)要求，可見(jiàn)，數(shù)感已成為我國(guó)義務(wù)教育階段數(shù)學(xué)課程中一個(gè)全新的重要內(nèi)容。

什么是數(shù)感？數(shù)學(xué)課程中安排數(shù)感有什么教育價(jià)值？自然就成為數(shù)學(xué)教育工作者十分關(guān)注的問(wèn)題。

一、數(shù)感的涵義

“數(shù)感”的英文是“NumberSense”，也可以翻譯成數(shù)覺(jué)或數(shù)意識(shí)。這個(gè)在西方數(shù)學(xué)教育中的常見(jiàn)詞語(yǔ)，首次作為我國(guó)數(shù)學(xué)課程的一項(xiàng)培養(yǎng)目標(biāo)，為我國(guó)當(dāng)前的數(shù)學(xué)教育傳達(dá)了一種全新的信息。什么是數(shù)感？可以從其歷史發(fā)展過(guò)程中，國(guó)內(nèi)外學(xué)者的有關(guān)論述中加以考察。

（一）數(shù)感是關(guān)于數(shù)字（量）的直覺(jué)

1976年，Carpenter與他的同事分析NAEP數(shù)據(jù)在估算上的作用之后，得出結(jié)論：在學(xué)生能很好地進(jìn)行估算之前，他們一定發(fā)展了一種數(shù)量的直覺(jué)，一種用數(shù)字表現(xiàn)量的感覺(jué)。[1](34)后來(lái)這種關(guān)于數(shù)量的直覺(jué)被稱為數(shù)感。

1989年在美國(guó)的NCTM中，對(duì)數(shù)感進(jìn)行了如下的闡述：“數(shù)感是一種關(guān)于數(shù)字的直覺(jué)，它從數(shù)字的所有不同的意義的表述得以表現(xiàn)?！盵1](34)

（二）數(shù)感是關(guān)于數(shù)概念的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)

1988年，JudithSowder將數(shù)感定義為：“一個(gè)具有良好組織的概念網(wǎng)格結(jié)構(gòu)，它能夠使一個(gè)數(shù)字和它相關(guān)的操作特性相關(guān)聯(lián)，并且以靈活而有創(chuàng)造性的方式解決數(shù)字問(wèn)題?！盵1](34)這就是說(shuō)，數(shù)感是關(guān)于數(shù)概念的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，這個(gè)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)是隨著數(shù)概念的不斷擴(kuò)大（自然數(shù)小數(shù)有理數(shù)實(shí)數(shù)復(fù)數(shù)）在人腦中逐步形成的，它幫助人腦接納數(shù)學(xué)中的其他知識(shí)，使人開(kāi)始以數(shù)為基礎(chǔ)逐步建構(gòu)數(shù)學(xué)知識(shí)系統(tǒng)，并且能夠自覺(jué)選擇靈活而有創(chuàng)造性的方式解決數(shù)字（量）問(wèn)題。

（三）數(shù)感是與數(shù)字相關(guān)的教育目的的非精確形式

1989年，Resnick用非決定論的、開(kāi)放式的思考對(duì)數(shù)感進(jìn)行了闡述：數(shù)感抵抗我們已經(jīng)在學(xué)校教育中所設(shè)定的以聯(lián)系被指定目的的精確形式。[1](34)即是說(shuō)，作為一項(xiàng)教育目的，對(duì)于設(shè)定的與數(shù)字相關(guān)內(nèi)容的精確形式而言，數(shù)感是相應(yīng)的非精確形式。然而，當(dāng)它發(fā)生的時(shí)候，列出數(shù)感的主要特征是相對(duì)容易的。（1）數(shù)感是非算法。那是因?yàn)樾袆?dòng)的路徑不被預(yù)先完全敘述。（2）數(shù)感是合成物?？偮窂讲皇恰翱吹靡?jiàn)”（心理上）地來(lái)自任何單一觀點(diǎn)。（3）數(shù)感包括細(xì)微的判斷力和解釋。（4）數(shù)感包括多標(biāo)準(zhǔn)的運(yùn)用，有時(shí)各標(biāo)準(zhǔn)之間會(huì)彼此沖突。（5）數(shù)感時(shí)常不確定。不是與任務(wù)有關(guān)的每件在手邊的事物都是已知的。（6）數(shù)感包括思考程序的自我規(guī)則。（7）數(shù)感思考是需要努力的。

（四）數(shù)感是對(duì)于數(shù)和運(yùn)算的一般理解

1999年，RobertRey、BarbaraRey等六位學(xué)者在對(duì)澳大利亞、瑞典、美國(guó)以及我國(guó)臺(tái)灣的8~14歲學(xué)生數(shù)感的評(píng)定研究中提出，數(shù)感是指“對(duì)于數(shù)和運(yùn)算的一般理解，連同這種能力和傾向一起的是使用這種理解去靈活地作出數(shù)學(xué)判斷，并且發(fā)展有用、有效率的策略去處理具體的數(shù)學(xué)情境。它導(dǎo)致一種關(guān)于使數(shù)字變成一種有意義的實(shí)體的數(shù)字觀點(diǎn)，以及關(guān)于數(shù)學(xué)的操作和成果可以產(chǎn)生感覺(jué)的期望?！盵1](34)

2001年，《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》在關(guān)于學(xué)習(xí)內(nèi)容的說(shuō)明中，描述了數(shù)感的主要表現(xiàn)：“理解數(shù)的意義；能用多種方法來(lái)表示數(shù)；能在具體的情境中把握數(shù)的相對(duì)大小關(guān)系；能用數(shù)來(lái)表達(dá)和交流信息；能為解決問(wèn)題而選擇適當(dāng)?shù)乃惴?；能估算運(yùn)算的結(jié)果，并對(duì)結(jié)果的合理性作出解釋。”這些表現(xiàn)說(shuō)明，我國(guó)數(shù)學(xué)課程中的數(shù)感主要是指對(duì)數(shù)和運(yùn)算的一般理解。

2002年，我國(guó)學(xué)者馬云鵬、史炳星認(rèn)為：數(shù)感是人對(duì)數(shù)與運(yùn)算的一般性理解。這種理解可以幫助人們用靈活的方法作出數(shù)學(xué)判斷和為解決復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題作出有用的策略。在中小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，發(fā)展學(xué)生的數(shù)感主要是指：使學(xué)生具有應(yīng)用數(shù)字表示具體的數(shù)據(jù)和數(shù)量關(guān)系的能力；能夠判定不同的算術(shù)運(yùn)算，有能力進(jìn)行計(jì)算，并具有選擇適當(dāng)?shù)姆椒ǎㄈ缧乃?、筆算、使用計(jì)算器）實(shí)施計(jì)算的經(jīng)驗(yàn)；能依據(jù)數(shù)字進(jìn)行推論，并對(duì)數(shù)據(jù)和推論的精確性和可靠性進(jìn)行檢驗(yàn)。建立數(shù)感可以理解為會(huì)“數(shù)學(xué)地”思考，這是十分重要的。[2]

2002年，我國(guó)臺(tái)灣學(xué)者DerChingYang關(guān)于數(shù)感的表述是：“一個(gè)人對(duì)于數(shù)字和運(yùn)算的一般理解，以及處理日常生活中包括數(shù)字情境的一般能力，例如：形成有用的、靈活的和有效的策略（包括心算或估算）去處理數(shù)字問(wèn)題。”[1](34)

（五）數(shù)感是對(duì)于數(shù)字（量）的敏感及鑒別能力

2002年，我國(guó)學(xué)者鄭毓信認(rèn)為：為了說(shuō)明數(shù)感，可以先看一些類似詞語(yǔ)的用法，如“語(yǔ)感”“方向感”“美感”“質(zhì)感”等。顯然，這些詞語(yǔ)都代表了一種相關(guān)的能力，但與能力相比，又都含有一種“直感”的涵義，特別是指對(duì)于某些特定的事物或現(xiàn)象或?qū)傩曰蚍矫娴拿舾行?，及相關(guān)的鑒別（鑒賞）能力。而后者通常又并非是一種自覺(jué)的過(guò)程，仿佛已經(jīng)成了主體的一種本能，一種直接的“感知”，從而在很多情況下是說(shuō)不清、道不明的。[3]根據(jù)以上描述，數(shù)感可以理解為對(duì)于數(shù)字（量）的敏感及鑒別能力。

（六）數(shù)感是數(shù)概念擴(kuò)展中產(chǎn)生的一種對(duì)數(shù)學(xué)的敏感與理解

通過(guò)以上對(duì)數(shù)感的歷史發(fā)展中各種定義的考察，筆者認(rèn)為，數(shù)感是人們?cè)跀?shù)概念的擴(kuò)展中而產(chǎn)生的對(duì)數(shù)學(xué)的一種敏感與一般理解。

（1）這種敏感與理解是對(duì)數(shù)字（量）的直覺(jué)，它幫助人們對(duì)數(shù)字（量）的直感迅速地反應(yīng)為數(shù)學(xué)問(wèn)題，使數(shù)學(xué)問(wèn)題從感知層面敏捷地鏈接到數(shù)學(xué)思維。

（2）這種敏感與理解是關(guān)于數(shù)概念的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)。這個(gè)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)幫助人們以數(shù)為基礎(chǔ)掌握更多的數(shù)學(xué)知識(shí)，以選擇靈活而有創(chuàng)新的方式解決數(shù)量問(wèn)題。

（3）這種敏感與理解具有非算法、非單一、非確定、非邏輯等特點(diǎn)，其反應(yīng)時(shí)間短，穩(wěn)定性差，是所需解決的問(wèn)題與數(shù)學(xué)思維之間的按鈕，其靈敏度與數(shù)概念網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的個(gè)性化有關(guān)。

二、數(shù)感的教育價(jià)值

數(shù)感的涵義及其特征，決定了數(shù)感的教育價(jià)值。正是對(duì)數(shù)感教育價(jià)值的認(rèn)識(shí)，美國(guó)2000年的NCTM第32頁(yè)中強(qiáng)調(diào)指出：“這個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的核心就是發(fā)展數(shù)感?！薄稊?shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》也首次將數(shù)感安排為學(xué)習(xí)內(nèi)容，并列為“數(shù)學(xué)思考”中的重要目標(biāo)。數(shù)學(xué)課程中安排數(shù)感的教育價(jià)值，可以從如下四個(gè)方面理解。

（一）建立數(shù)感有助于提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)

作為公民素養(yǎng)之一的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，不只是用計(jì)算能力的強(qiáng)弱和解決書本問(wèn)題能力的大小來(lái)衡量。學(xué)生學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)地思考問(wèn)題，具有理解和解釋實(shí)際問(wèn)題的數(shù)學(xué)敏感，是數(shù)學(xué)素養(yǎng)的重要標(biāo)志。即是說(shuō)，數(shù)感的建立是提高學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的重要標(biāo)志。

例如，一個(gè)小學(xué)一年級(jí)學(xué)生學(xué)習(xí)了自然數(shù)的意義之后，懂得了自然數(shù)可以表示物體的個(gè)數(shù)，當(dāng)他看見(jiàn)盤子里的蘋果時(shí)，不再是注意蘋果的顏色，而是關(guān)注蘋果的個(gè)數(shù)，并且懂得比較兩個(gè)盤子中蘋果的多少。于是可以認(rèn)為這個(gè)小學(xué)生具有了自然數(shù)感，這是他數(shù)學(xué)素養(yǎng)提高的標(biāo)志。又如，一個(gè)初中畢業(yè)生，學(xué)了不少數(shù)學(xué)知識(shí)，但不會(huì)估計(jì)學(xué)校運(yùn)動(dòng)場(chǎng)的大小，不會(huì)用恰當(dāng)?shù)姆绞较騽e人說(shuō)明自己所在的位置，不能在需要的時(shí)候用數(shù)學(xué)方式解釋某些現(xiàn)象，這樣的學(xué)生不能說(shuō)是具有較高的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)形成的關(guān)鍵是在具體的問(wèn)題情境中去探索、去發(fā)現(xiàn)，學(xué)會(huì)從現(xiàn)實(shí)情境中提出問(wèn)題，找出數(shù)學(xué)模型。從一個(gè)復(fù)雜的情境中發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，就需要具備一定的數(shù)感。培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)感，讓學(xué)生學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)地思考，有助于提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，克服數(shù)學(xué)教育中過(guò)分地強(qiáng)調(diào)知識(shí)與技能訓(xùn)練、忽視數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)的聯(lián)系、忽視數(shù)學(xué)的實(shí)際運(yùn)用等傾向。

（二）建立數(shù)感有助于學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的自我構(gòu)建

我們知道，數(shù)感是關(guān)于數(shù)概念的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，數(shù)概念網(wǎng)絡(luò)是接受數(shù)學(xué)知識(shí)的一個(gè)平臺(tái)。數(shù)概念網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的形成和穩(wěn)定是數(shù)感建立的關(guān)鍵，數(shù)感的建立有助于學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的自我構(gòu)建。

例如，學(xué)生學(xué)習(xí)了負(fù)數(shù)的概念，當(dāng)他購(gòu)物支出5元錢時(shí)，就會(huì)與負(fù)數(shù)建立聯(lián)系──用“-5”來(lái)表示這一問(wèn)題。又如，怎樣為參加學(xué)校運(yùn)動(dòng)會(huì)的全體運(yùn)動(dòng)員編號(hào)？要求從號(hào)碼上就可以分辨出年級(jí)和班級(jí)，區(qū)分出男生和女生，表示出參加的項(xiàng)目類別。這是一個(gè)實(shí)際問(wèn)題，它沒(méi)有固定的編排方式，而且不同的編排方式在實(shí)用性上是不同的。學(xué)生對(duì)于這一問(wèn)題有效地解決，也要依托于數(shù)感的建立。

（三）建立數(shù)感有助于發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)新精神和實(shí)踐能力

學(xué)生在數(shù)感建立的過(guò)程中，有很多機(jī)會(huì)接觸和體驗(yàn)現(xiàn)實(shí)問(wèn)題，交流自己對(duì)有關(guān)數(shù)的問(wèn)題的個(gè)性化看法，用不同的方式思考和解決同一問(wèn)題，對(duì)原有的數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)進(jìn)行改造。這無(wú)疑有助于發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)新精神和實(shí)踐能力。

例如，德國(guó)數(shù)學(xué)家高斯小時(shí)候?qū)τ凇?+2+3+…+100=？”問(wèn)題的解決，就是一個(gè)由數(shù)感促進(jìn)創(chuàng)新的典型案例。又如，池塘水面上生長(zhǎng)著浮萍，浮萍所占水面面積每天增加1倍。經(jīng)過(guò)100天，整個(gè)池塘長(zhǎng)滿了浮萍。問(wèn)經(jīng)過(guò)多少天，浮萍所占面積是池塘水面面積的一半？從表面上來(lái)看，這是一個(gè)指數(shù)方程的問(wèn)題。如果學(xué)生具有良好的數(shù)感，對(duì)“浮萍所占水面面積每天增加1倍。經(jīng)過(guò)100天，整個(gè)池塘長(zhǎng)滿了浮萍”就會(huì)產(chǎn)生一種敏感與理解，從而從隱秘形式中發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的實(shí)質(zhì)：長(zhǎng)滿浮萍的前一天，即經(jīng)過(guò)99天，浮萍所占面積正好是池塘水面面積的一半。

數(shù)感是一種對(duì)數(shù)字（量）的直覺(jué)：“拿創(chuàng)造來(lái)說(shuō)，關(guān)鍵是直覺(jué)……直覺(jué)像是思維的‘感覺(jué)’；人們通過(guò)感官的感覺(jué)，只能認(rèn)識(shí)事物的現(xiàn)象，可是用直覺(jué)就能夠認(rèn)識(shí)事物的本質(zhì)和規(guī)律性，所以直覺(jué)也可以說(shuō)是思維的洞察力。”[4]具有良好數(shù)感的人，就會(huì)憑借對(duì)數(shù)字（量）的本質(zhì)認(rèn)識(shí)建構(gòu)自身的數(shù)概念網(wǎng)絡(luò)，有效地接納數(shù)學(xué)知識(shí)，形成良好的數(shù)學(xué)意識(shí)。在遇到實(shí)際問(wèn)題時(shí)，就會(huì)靈敏地鏈接數(shù)學(xué)思維，從而進(jìn)行數(shù)學(xué)地思考，創(chuàng)造性地解決實(shí)際問(wèn)題。

（四）建立數(shù)感有助于提高學(xué)生的文化修養(yǎng)

從數(shù)學(xué)文化學(xué)的觀點(diǎn)來(lái)看，數(shù)學(xué)是一種具有獨(dú)特價(jià)值的人類文化。數(shù)學(xué)文化的獨(dú)特價(jià)值，一是體現(xiàn)在它的兼容性上，即它支撐著科學(xué)技術(shù)的各個(gè)領(lǐng)域，包容著人文精神的方方面面。正如數(shù)學(xué)家克萊因所說(shuō)：“音樂(lè)激發(fā)或撫慰情懷，繪畫使人賞心悅目，詩(shī)歌能動(dòng)人心弦，哲學(xué)使人獲得智慧，科技可以改善生活，但數(shù)學(xué)卻能提供以上的一切。”數(shù)學(xué)家在贊美數(shù)學(xué)時(shí)，即使是不同的流派，在這一點(diǎn)上也是異口同聲的。二是體現(xiàn)在它的先進(jìn)性上。這是由功利和非功利兩個(gè)方面的先進(jìn)性所決定的。當(dāng)數(shù)學(xué)與科學(xué)技術(shù)相結(jié)合時(shí)，就能轉(zhuǎn)化為強(qiáng)大的物質(zhì)力量，創(chuàng)造出新的、先進(jìn)的社會(huì)生產(chǎn)力，這是數(shù)學(xué)文化價(jià)值的功利方面；抽象而具有神秘魅力的數(shù)學(xué)，同時(shí)還蘊(yùn)涵了高深莫測(cè)的哲學(xué)、美學(xué)、語(yǔ)言學(xué)等人文精神，抽象數(shù)學(xué)中許多沒(méi)有直接“用處”的成果，可以提高人的文化修養(yǎng)和文化品格，是人類文化中的無(wú)價(jià)瑰寶，這是數(shù)學(xué)文化價(jià)值的非功利方面。[5]

數(shù)感是數(shù)學(xué)文化的一個(gè)重要成分。建立數(shù)感有助于提高學(xué)生的文化修養(yǎng)，主要表現(xiàn)為三個(gè)方面：第一，數(shù)感是人們對(duì)數(shù)學(xué)的一種敏感與理解，是數(shù)學(xué)（理性）精神形成的基礎(chǔ)；第二，數(shù)感是數(shù)學(xué)思考的催化劑，是思維發(fā)展的階段性（精神）成果；第三，數(shù)感是一種認(rèn)知的直覺(jué)，是創(chuàng)新精神培養(yǎng)的關(guān)鍵。具有良好數(shù)感的人，在遇到實(shí)際問(wèn)題時(shí)，就會(huì)憑借對(duì)問(wèn)題的直覺(jué)，觸發(fā)創(chuàng)新思維的按鈕，探究問(wèn)題解決的創(chuàng)造性策略。

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